Operations Research

Optimierungsmodelle Übung

Du kannst dir unter Optimierungsmodellen noch nicht so viel vorstellen? Kein Problem! In diesem Video erklären wir dir nochmal alles an einem Beispiel.

Inhaltsübersicht

Beispielrechnung zur linearen Optimierung

Im letzten Video haben wir dir ein lineares Problem aus der Produktionsprogrammplanung vorgestellt. Anhand eines Beispiels wollen wir dieses nun lösen. Eine Firma stellt Fertigkuchen und Pizzateig her, die im Kühlregal von Supermärkten angeboten werden. Die Produkte durchlaufen die gleichen Produktionsmaschinen Zutatenmischer, Industrieofen und Kühlmaschine mit unterschiedlichen Zeiten. Die Maschinen haben dabei Kapazitätsgrenzen in Zeiteinheiten. Die Firma möchte nun wissen wie viel sie von beiden Produkten herstellen soll, um ihren Gewinn zu maximieren.

Gewinnmaximierung bei zwei Produkten

Die jeweiligen Bearbeitungszeiten der Maschinen für die zwei Produkte sowie die Kapazitäten der Maschinen, den Deckungsbeitrag und die maximalen Bedarfe für Fertigkuchen und Pizzateig kannst du dieser Tabelle entnehmen.  Als erstes erstellen wir die Zielfunktion. Dafür nimmst du den Deckungsbeitrag von beiden Produkten mal die jeweilige Entscheidungsvariable. Diese gibt uns an, wie viele Einheiten des jeweiligen Produkts produziert werden. Also maximierst du 5x1 plus 2x2. Für die erste Nebenbedingung musst du die Bearbeitungszeit von Kuchen und Pizzateig im Zutatenmischer mit ihrer Entscheidungsvariable multiplizieren und dann addieren.

Lineare Optimierung
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Nebenbedingungen und Zielfunktion

Dieser Wert muss nun kleiner oder gleich der Kapazität c1 sein. In diesem Fall 160 Zeiteinheiten. Das gleiche machst du auch für die beiden anderen Maschinen, da die Nebenbedingung ja für alle i gilt. So erhältst du für die erste Nebenbedingung im Grundmodell, drei Nebenbedingungen in unserem Beispiel. Als vierte Nebenbedingung musst du nur noch die Bedarfsmengen der beiden Produkte einfügen. Die fünfte ist die Nichtnegativitätsbedingung.

Grafische Darstellung der Nebenbedingungen

Dieses Programm kannst du jetzt ganz einfach grafisch auftragen, indem du die Produktionsmenge von Kuchen auf die x-Achse und die von Pizzateig auf die y-Achse setzt. Wenn du nun die Nebenbedingungen einträgst, erhältst du eine Begrenzung des zulässigen Bereichs. Anhand der zweiten Nebenbedingung zeigen wir dir wie man diese einzeichnet. Am einfachsten und schnellsten geht das, wenn du die Ungleichung einmal nach x1 und einmal nach x2 auflöst. Für x1 teilst du dafür einfach durch 2 und erhältst auf der anderen Seite 120. X2 kannst du dabei einfach vernachlässigen. Für x2 teilst du durch 3 und erhältst auf der anderen Seite 80. Beide Punkte verbindest du jetzt miteinander und hast so deine Restriktion eingetragen. Das machen wir für die anderen Nebenbedingungen genauso. Dadurch erhalten wir unsere zulässige Menge.

Betrachtung der Zielfunktionsgerade

Um abzulesen, welches unser optimales Produktionsprogramm ist, musst du noch die Zielfunktionsgerade beachten. Um diese einzuzeichnen, kannst du dein Geodreieck so anordnen, dass es die x1 Achse und x2 Achse im richtigen Verhältnis 5 zu 2 schneidet. Lege es deswegen am besten bei x1 gleich 50 und bei x2 gleich 20 an. Jetzt verschiebst du die Zielfunktion solange parallel nach rechts, bis du die zulässige Menge verlässt. Hier liest du die Werte des Eckpunktes ab, der als letztes berührt wurde. Das optimale Produktionsprogramm ist also 60 Mengeneinheiten Fertigkuchen und 40 Mengeneinheiten Pizzateig. Diese beiden Werte setzt du nun für x1 und x2 in die Zielfunktion ein. Unser Gesamtdeckungsbeitrag beträgt damit 380 Geldeinheiten.

Lösung lineare Optimierung
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Lösung lineare Optimierung

Falls du noch ein weiteres Beispiel dazu sehen möchtest, dann schau dir unser Video zur Produktionsprogrammplanung an.

Anwendung von Lösungsalgorithmen

Bei komplizierteren Problemen ist eine grafische Lösung natürlich nicht mehr möglich. Deshalb musst du dann Lösungsalgorithmen anwenden. Um deine Programmplanung für den Algorithmus vorzubereiten, musst du sie in die Normalform bringen. Diese wandelt die Ungleichheitszeichen in Gleichheitszeichen um. Dazu fügst du zusätzlich sogenannte Schlupfvariablen ein. Diese müssen eine Einheitsmatrix in den Nebenbedingungen ergeben; also von links oben nach rechts unten einen Wert von eins haben. Sie sind wichtig für die Anwendung des Simplex Algorithmus im nächsten Video. Die Zielfunktion und die weiteren Nebenbedingungen bleiben gleich und können übernommen werden. Damit haben wir auch schon die Normalform erstellt!

Falls du jetzt Hunger bekommen haben solltest, dann iss am besten erstmal eine Pizza und schau dir dann das nächste Video an. Bis gleich!

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