Differenzenquotient (Video)

Lerne in diesem kurzen Video, was ein Differenzenquotient ist und wie du ihn ganz einfach berechnen kannst. Wir erklären dir Schritt für Schritt die Grundlagen, damit du sofort loslegen kannst.

VIDEOSKRIPT

Du fragst dich, was ein Differenzenquotient ist und wie du ihn berechnest? In diesem Video erklären wir es dir einfach und verständlich anhand von Grafiken und Beispielen. Los geht’s!

Differenzenquotient einfach erklärt

Mal angenommen du hast eine Funktion f(x) (f von x) und zwei Punkte A und B gegeben. Dann sind die Punkte durch eine Gerade, der sogenannten Sekante, miteinander verbunden. Der Differenzenquotient

𝑚=𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)𝑏−𝑎
�
=
�
(
�
)
−
�
(
�
)
�
−
�

(f von b minus f von a geteilt durch b minus a) beschreibt die Steigung dieser Sekante.

Er wird auch mittlere Änderungsrate genannt.

Ein Bild, das Text, Karte enthält.

Automatisch generierte Beschreibung

@Animation: Bitte nacheinander aufbauen: Funktion, Punkte A und B mit den gestrichelten Linien und Beschriftung, dann Sekante

Mittlere Änderungsrate Differenzenquotient

Aber woher kommt diese Formel des Differenzenquotienten?

Da der Differenzenquotient der Steigung der Sekante entspricht, musst du, um die Frage zu beantworten, die Steigung dieser Geraden bestimmen. Das geht ganz einfach mit einem Steigungsdreieck, welches du unterhalb der Sekante einzeichnest:

Ein Bild, das Text, Karte, drinnen enthält.

Automatisch generierte Beschreibung

Für die Steigung musst du jetzt nur die Höhe des Dreiecks
∆𝑦
(Delta y) durch die Länge des Dreiecks
∆𝑥
(Delta x) teilen:

𝑚=∆𝑦∆𝑥

Ein Bild, das Text, Karte, drinnen enthält.

Automatisch generierte Beschreibung

Form

Textfeld

Form

Textfeld

Die Höhe des Dreiecks bestimmst du, indem du
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
�
�
−
�
�

(f von b minus f von a) rechnest.

Ein Bild, das Text, Karte, drinnen enthält.

Automatisch generierte Beschreibung

Form

Textfeld

Die Länge
∆𝑥
∆
�

(Delta x) entspricht
𝑏−𝑎
�
−
�

(b minus a).

Ein Bild, das Text, Karte, drinnen enthält.

Automatisch generierte Beschreibung

Form

TextfeldTextfeld

Form

Textfeld

Jetzt musst du nur noch den Quotienten aus den beiden Termen bestimmen und bekommst so die Steigung der Sekante, nämlich

𝑚=∆𝑦∆𝑥=𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)𝑏−𝑎
�
=
∆
�
∆
�
=
�
�
−
�
(
�
)
�
−
�

(f von b minus f von a durch b minus a). Wunderbar!

Differenzenquotient Aufgaben

Dann wollen wir doch mal explizit so einen Differenzenquotient berechnen.

Beispiel 1

Gegeben ist die Funktion

𝑓(𝑥)=𝑥2+𝑥
�
�
=
�
2
+
�

(f von x gleich x Quadrat plus x) und du sollst die mittlere Änderungsrate der Funktion zwischen
𝑎=3
�
=
3

(a gleich drei) und
𝑏=11
�
=
11

(b gleich elf) berechnen.

Das heißt als erstes berechnest du die Funktionswerte, die die Funktion an diesen Stellen besitzt, also
𝑓(𝑎)
�
�

(f von a) und
𝑓(𝑏)
�
�

(f von b).

Setzt du
𝑎=3
�
=
3

(a gleich drei) in
𝑓(𝑥)
�
�

(f von x) ein, ist das Ergebnis zwölf.

𝑓(𝑎)=𝑓(3)=32+3=12
�
�
=
�
3
=
3
2
+
3
=
12

An der Stelle
𝑏=11
�
=
11

(b gleich elf) nimmt f den Wert hundertzweiunddreißig an.

𝑓(𝑏)=112+11=132
�
�
=
11
2
+
11
=
132

Jetzt setzt du deine Ergebnisse in die Formel des Differenzenquotient ein und erhältst so eine mittlere Änderungsrate von fünfzehn.

𝑚=𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)𝑏−𝑎=𝑓(11)−𝑓(3)11−3=132−128=15
�
=
�
�
−
�
�
�
−
�
=
�
11
−
�
3
11
−
3
=
132
−
12
8
=
15

Gut gemacht!

Schauen wir uns noch ein Beispiel an, bei dem klarer wird wieso man den Differenzenquotient eigentlich auch mittlere Änderungsrate nennt.

Beispiel 2

Stell dir mal vor, du fährst mit dem Zug in den Urlaub und die Funktion f(x) (f von x) beschreibt den Weg, den du während deiner Fahrt zurücklegst.

Der Graph der Funktion sieht dann so aus:

Ein Bild, das Text, Mann, Wasser, weiß enthält.

Automatisch generierte Beschreibung

Auf der x-Achse ist die Zeit in Stunden und auf der y-Achse die Strecke in Kilometern aufgetragen.

Auf deinem Weg kommst du nun nach einer halben Stunde an Augsburg vorbei. Wie du dem Graphen entnehmen kannst, hast du bis dahin eine Strecke von zehn Kilometern zurückgelegt. Das heißt es gilt

𝑓(0,5)=10
�
0
,
5
=
10

(f von Null Komma fünf gleich zehn). Eine Stunde später kannst du München sehen. Zu diesem Zeitpunkt ist der Zug mit dir an Board insgesamt achtzig Kilometer gefahren. Es gilt also

𝑓(1,5)=80
�
1
,
5
=
80

(f von Eins Komma fünf gleich achtzig). Du würdest gerne wissen, welche durchschnittliche Geschwindigkeit der Zug auf der Strecke Augsburg-München besaß. Dafür zeichnest du eine Sekante durch die Punkte A(0,5;10) (A Null Komma fünf, zehn) und M(1,5;80) (M eins Komma fünf, achtzig). Wie du vielleicht weißt, berechnest du die Geschwindigkeit, indem du die Strecke durch die Zeit teilst. In diesem Fall entspricht das genau der Steigung der Sekante, welche du über dieses Steigungsdreieck berechnen kannst:

Ein Bild, das Text, Karte, Mann, Wasser enthält.

Automatisch generierte Beschreibung

@Animation: Bitte zuerst die Sekante (gestrichelte Linie), dann das Steigungsdreieck einzeichnen

Das heißt die durchschnittliche Geschwindigkeit v entspricht der Höhe des Dreiecks
∆𝑦
∆
�

(Delta y) geteilt durch die Länge des Dreiecks
∆𝑥
∆
�

(Delta x):

𝑣=∆𝑦∆𝑥
�
=
∆
�
∆
�

Ein Bild, das Text, Karte, Mann, Wasser enthält.

Automatisch generierte Beschreibung

Form

Textfeld

Form

Textfeld

Was genau mit der Formel des Differenzenquotient übereinstimmt, nämlich

𝑣=∆𝑦∆𝑥=𝑓(1,5)−𝑓(0,5)1,5−0,5
�
=
∆
�
∆
�
=
�
1
,
5
−
�
(
0
,
5
)
1
,
5
−
0
,
5

(f von eins Komma fünf minus f von Null Komma fünf, geteilt durch eins Komma fünf minus Null Komma fünf).

Ein Bild, das Text, Karte, Mann, Wasser enthält.

Automatisch generierte Beschreibung

Form

Textfeld

Form

Textfeld

Das Ergebnis ist

=∆𝑦∆𝑥=𝑓(1,5)−𝑓(0,5)1,5−0,5=80−101=70
=
∆
�
∆
�
=
�
1
,
5
−
�
(
0
,
5
)
1
,
5
−
0
,
5
=
80
−
10
1
=
70

(achtzig minus zehn, geteilt durch eins), also siebzig.

Damit besaß der Zug auf der Strecke Augsburg-München eine durchschnittliche Geschwindigkeit von 70km/h (siebzig Kilometern pro Stunde).

Anders ausgedrückt hat der Zug damit im Mittel eine Strecke von siebzig Kilometer in einer Stunde zurückgelegt. Du hast also die mittlere Änderungsrate des Zugs zwischen den Stellen
𝑎=0,5
�
=
0
,
5

(a gleich Null Komma fünf) und
𝑏=1,5
�
=
1
,
5

(b gleich eins Komma fünf) berechnet. Ausgezeichnet!

Grenzwert des Differenzenquotient

Sehen wir uns nun noch einmal kurz den Graphen an:

Ein Bild, das Text, Karte enthält.

Automatisch generierte Beschreibung

Der Differenzenquotient hat einen engen Zusammenhang mit einem weiteren Begriff der Differentialrechnung, dem Differentialquotient.

lim𝑏→𝑎𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)𝑏−𝑎
lim
�
→
�
⁡
�
�
−
�
�
�
−
�

Ihn erhältst du, indem du den Grenzwert des Differenzenquotient bildest, also b gegen a laufen lässt.

Ein Bild, das Text, Karte, Luft, weiß enthält.

Automatisch generierte BeschreibungGraphisch gesehen geht dadurch die Sekante zu einer Tangente im Punkt A über:

Outro

Perfekt! Jetzt weißt du alles Wichtige über den Differenzenquotient und kannst ihn problemlos berechnen.