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Quotientenregel

Wichtige Inhalte in diesem Video

Du willst wissen, wie die Ableitung mit der Quotientenregel funktioniert? Dann bist du hier genau richtig! Wenn du dich beim Lernen lieber zurücklehnst, dann schau dir doch unser Video dazu an.

Inhaltsübersicht

Quotientenregel einfach erklärt

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(00:12)

Du benötigst die Quotientenregel immer dann, wenn du einen Bruch von Funktionen ableiten willst. Das heißt, wenn im Zähler (oben) und im Nenner (unten) ein x vorkommt.

Deine Funktion f(x) sieht also so aus:

$f(x) = \frac{\textcolor{red}{g(x)}}{\textcolor{blue}{h(x)}} \qquad \underrightarrow{vereinfacht} \qquad f = \frac{\textcolor{red}{g}}{\textcolor{blue}{h}}$

Mit dieser Formel kannst du die Ableitung ganz leicht bestimmen:

Quotientenregel Formel

$f = \frac{\textcolor{red}{g}}{\textcolor{blue}{h}} \quad\Longrightarrow\quad f' = \frac{\textcolor{blue}{h}\cdot \textcolor{orange}{g'} - \textcolor{teal}{h'} \cdot \textcolor{red}{g}}{\textcolor{blue}{h}^2}$

Die Regel lautet ausgesprochen: Nenner mal Zähler abgeleitet minus Nenner abgeleitet mal Zähler, geteilt durch Nenner zum Quadrat. Oder kurz:

NAZ minus ZAN durch Nenner ins Quadrat

Quotientenregel Ableitung Beispiel

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(00:58)

Am besten schaust du dir direkt ein Beispiel dazu an.

Du sollst folgende Funktion mit der Quotienten regel ableiten:

$f(x) = \frac{\textcolor{red}{x^2+4x+1}}{\textcolor{blue}{x}}$

Dazu gehst du am besten wie folgt vor:

Leite den Zähler g und den Nenner h ab. Dazu benötigst du die Potenzregel .
$\begin{align*}\textcolor{red}{g = x^2+4x+1} \qquad &\underrightarrow{ableiten} \qquad \textcolor{orange}{g' = 2x+4} \\\textcolor{blue}{h = x} \qquad &\underrightarrow{ableiten} \qquad \textcolor{teal}{h' = 1}\end{align*}$
Setze deine Ergebnisse in die Formel ein. Vergiss dabei nicht Klammern um deine Funktionen zu setzen!
$\begin{align*}f' &= \frac{\textcolor{blue}{h}\cdot \textcolor{orange}{g'} - \textcolor{teal}{h'} \cdot \textcolor{red}{g}}{\textcolor{blue}{h}^2} \\f' &= \frac{\textcolor{blue}{x} \cdot \textcolor{orange}{(2x+4)} - \textcolor{teal}{1} \cdot \textcolor{red}{(x^2+4x+1)}}{\textcolor{blue}{x}^2}\end{align*}$
Vereinfache jetzt deinen Term. Wenn du dich darin noch unsicher fühlst, dann schau dir doch einfach unser extra Video dazu an.
$\begin{align*}f' &= \frac{\textcolor{blue}{x} \cdot \textcolor{orange}{(2x+4)} - \textcolor{teal}{1} \cdot \textcolor{red}{(x^2+4x+1)}}{\textcolor{blue}{x}^2} \\f' &= \frac{2x^2+4x - x^2 -4x -1}{x^2} \\ f' & = \frac{x^2-1}{x^2}\end{align*}$

Die Ableitung von f ist also:

$f(x) = \frac{x^2+4x+1}{x} \qquad \underrightarrow{abgeleitet} \qquad f'(x) = \frac{x^2-1}{x^2}$

Wenn du das Beispiel verstanden hast, dann versuch dich doch mal an folgender Aufgabe:

Quotientenregel Ableitung Aufgabe

Du sollst diese Funktion mit der Quotientenregel ableiten:

$f(x) = \frac{\textcolor{red}{e^x}}{\textcolor{blue}{2x+1}}$

Gehe dabei vor wir bei dem Beispiel. %s.o.

Leite den Zähler g und Nenner h ab.
$\begin{align*}\textcolor{red}{g = e^x} \qquad &\underrightarrow{ableiten} \qquad \textcolor{orange}{g' = e^x} \\\textcolor{blue}{h = 2x+1} \qquad &\underrightarrow{ableiten} \qquad \textcolor{teal}{h' = 2}\end{align*}$
Setze deine Ergebnisse in die Formel ein.
$\begin{align*}f' &= \frac{\textcolor{blue}{h}\cdot \textcolor{orange}{g'} - \textcolor{teal}{h'} \cdot \textcolor{red}{g}}{\textcolor{blue}{h}^2} \\f' &= \frac{\textcolor{blue}{(2x+1)} \cdot \textcolor{orange}{e^x} - \textcolor{teal}{2} \cdot \textcolor{red}{e^x}}{\textcolor{blue}{(2x+1)}^2}\end{align*}$
Vereinfache.
$\begin{align*}f' &= \frac{\textcolor{blue}{(2x+1)} \cdot \textcolor{orange}{e^x} - \textcolor{teal}{2} \cdot \textcolor{red}{e^x}}{\textcolor{blue}{(2x+1)}^2} \\ f' &= \frac{e^x((2x+1)-2)}{(2x+1)^2} \\ f' &= \frac{e^x(2x-1)}{(2x+1)^2} \\ \end{align*}$

Die Ableitung von f ist also:

$f(x) = \frac{e^x}{2x+1} \qquad \underrightarrow{abgeleitet} \qquad \frac{e^x(2x-1)}{(2x+1)^2}$

Weitere Aufgaben findest du noch in unserem Video zum Thema Brüche ableiten .

Weitere Ableitungsregeln

Die Quotientenregel ist nur eine von vielen Ableitungsregeln. Damit du alle Funktionen richtig ableiten kannst, musst du auch noch andere Regeln beherrschen.

Ableitungsregel	Funktion	Ableitung
Produktregel	$f(x)=g(x) \cdot h(x)$	$f'(x)=g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x)$
Summenregel
Differenzregel
Kettenregel		$f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)$
Potenzregel		$f'(x)=n\cdot x^{n-1}$
Faktorregel	$f(x)=a\cdot g(x)$	$f'(x)=a \cdot g'(x)$