Mathematische Grundlagen
Formeln und Terme
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%<strong>@1.VK</strong>: Es muss nur alle bis "5. Ergebnis überprüfen" Korrektur gelesen werden. Am Rest hab ich nichts verändert außer KWs untergebrachtDu willst wissen, wie du in Mathe Terme vereinfachen kannst und was du dabei beachten musst? Alles Wichtige zum Terme zusammenfassen erfährst du in diesem Beitrag und in unserem Video!

Wie vereinfacht man Terme?  

Beim Terme vereinfachen verkürzt du einen Term oder stellst ihn übersichtlicher dar. Dafür verwendest du die Grundrechenarten (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division), Ausklammern , Ausmultiplizieren und Rechnen mit Potenzen. Dabei helfen dir die folgenden zwei Grundregeln:

  • Regel 1: Beim Addieren (+) und Subtrahieren (-) kannst du gleiche Variablen zusammenfassen. Wenn es Zahlen vor den Variablen gibt, rechnest du die Plus oder Minus und lässt die Variable stehen:

xxx = 3x

5xy 3xy = 2xy

  • Regel 2: Beim Multiplizieren (•) und Dividieren (:) müssen die Variablen nicht gleich sein. Du verrechnest dabei nämlich die Zahlen und die Variablen einzeln:

3x2y = 6xy

8xy : 2x = 4y

Mit diesen Rechenregeln kannst du jetzt auch kompliziertere Terme vereinfachen. Schau dir das mal an!

Gut zu wissen: Du willst überprüfen, ob du richtig umgeformt hast? Dann setze in beide Seiten deiner Umformung die gleiche Zahl ein, zum Beispiel x = 2. Für x + x + x = 3x erhältst du dann links  2 + 2 + 2 = 6 und rechts 3 • 2 = 6. Weil das Gleiche herauskommt, hast du richtig zusammengefasst.

Terme auflösen  

In nur 5 Schritten kannst du jeden Term vereinfachen:

  1. Klammern auflösen
  2. Potenzen zusammenfassen
  3. Punktrechnung (•, : ) berechnen
  4. Strichrechnung (+, -) berechnen
  5. Ergebnis überprüfen

Schau dir die Schritte zum Zusammenfassen von Termen gleich an einem Beispiel an. Du sollst folgenden Term vereinfachen:

2 • (x2 + 3xy2) + 4 • x4 : x2 – x • y • y

Hinweis: Vielleicht brauchst du gar nicht alle 5 Schritte, um deinen Term in Mathe zu vereinfachen. Dann kannst du den jeweiligen Schritt einfach überspringen.

1. Klammern auflösen

Im Beispielterm findest du eine Klammer:

2 • (x2 + 3xy2) + 4 • x4 : x2 – x • y • y

Wenn vor der Klammer eine Punktrechnung (•, : ) steht (hier: 2 •), kannst du die Klammer im Term auflösen. Dafür rechnest du jeden Teil in der Klammer einzeln mal zwei:

2 • (x2 + 3xy2) = 2 • x+ 2 • 3xy

Der Term sieht jetzt also so aus: 2 • x+ 2 • 3xy2  + 4 • x4 : x2 – x • y • y

2. Potenzen zusammenfassen

Wenn in deinem Term gleiche Variablen mit mal oder geteilt hintereinander stehen, kannst du sie zusammenfassen:

2 • x+ 2 • 3xy2  + 4 • x4 : x2 – x • y • y

  • Bei mal gilt die folgende Regel: Rechne die Hochzahlen der Variablen Plus. Steht keine Hochzahl da, nimmst die 1 als Hochzahl:
    y • y  = y1 y1 = y1+1 = y2
  • Bei geteilt gilt die folgende: Rechne die Hochzahlen der Variablen Minus.
    x4 : x= x4-2 = x2

Insgesamt erhältst du also: 2 • x+ 2 • 3xy2  + 4 • x2 – x • y2

3. Punktrechnung (•, : ) berechnen

Du findest in deinem Term noch einige andere Punktrechnungen (•, : ):

2 • x+ 2 • 3xy2  + 4 • x2 – x • y2

Schau dir die 4 Punktrechnungen jeweils einzeln an:

  • Mal zwischen Zahl und Variable: Hier kannst du den Malpunkt einfach weglassen:
    2 • x2= 2x2 und 4 • x= 4x2
  • Mal zwischen Zahlen: Rechne die Zahlen einfach mal: 
    2 • 3xy= 6xy2
  • Mal zwischen unterschiedlichen Variablen: Auch hier kannst du den Malpunkt einfach weglassen:
    x • y2 = xy2

Dein Term sieht dann so aus: 2x2 + 6xy2  + 4x2 xy2

4. Strichrechnung (+, -) berechnen

Zum Schluss rechnest du noch Plus und Minus. Achte darauf, dass du nur gleiche Variablen oder gleiche Kombinationen von Variablen zusammenfassen darfst! Hier kannst du alle Teile mit x2 und alle Teile mit xy2 zusammenrechnen:

2x2 + 6xy2  + 4x2xy2 

  • 2x2+ 4x2 sind 6x2
  • 6xy2xy2 sind 5xy2

Dein Term lautet jetzt: 6x2+ 5xy2

Glückwunsch! Du hast deinen Term erfolgreich vereinfacht! Er ist jetzt viel kürzer als am Anfang. Überprüfe im letzten Schritt noch, ob du beim Terme vereinfachen auch alles richtig gemacht hast.

5. Ergebnis überprüfen

Ersetze dazu deine Variablen durch Zahlen und schau, ob du mit dem ursprünglichen und dem vereinfachten Term auf das gleiche Ergebnis kommst. Setze zum Beispiel x = 3 und y = 2 ein.

Ursprünglicher Term:

2 • (x2 + 3x y2) + 4 • x4 : x2xyy =
2 • (32 + 3 • 322) + 4 • 34 : 32322
2 • (9 + 3 • 3 • 4) + 4 • 81 : 9 – 12 = 
2 • (9 + 36) + 36 – 12 = 
2 • 45 + 36 – 12 =
90 + 36 – 12 =
114

Vereinfachter Term:

6x2+ 5xy=
6 • 32 + 5 • 32=
6 • 9 + 5 • 3 • 4 =
54 + 60 = 
114

Super! Es kommt beides mal das Gleiche heraus. Du hast%weg%done beim Terme zusammenfassen also alles richtig gemacht!

Übrigens: Wenn du Terme vereinfachen kannst, hilft dir das auch beim Vereinfachen von Formeln und Funktionen . Außerdem kannst du damit Gleichungen zusammenfassen!

Terme zusammenfassen

Schau dir gleich noch ein Beispiel zum Terme vereinfachen in Mathe an:

    \[ 2 \cdot (x-y) + 5y + 2 y^2 \cdot 2 y^3 - y^3 - y^5 \]

Halte dich an die Rechenschritte, die wir dir eben gezeigt haben, und du hast keine Probleme den Term zu vereinfachen!

    \begin{align*} \textcolor{blue}{2 \cdot (x-y)} + 5y + 2y^2 \cdot 2y^3- y^3 - y^5 &= \quad | \,\text{\textcolor{blue}{Klammer auflösen}} \\ 2x - 2y + 5y + 2\cdot2\cdot\textcolor{red}{y^2 \cdot y^3} - y^3- y^5 &= \quad | \,\text{\textcolor{red}{Potenzen zusammenfassen}} \\ 2x - 2y + 5y + \textcolor{teal}{2\cdot2}\cdot y^5 - y^3- y^5 &= \quad | \,\text{\textcolor{teal}{Multiplizieren}} \\ 2x \textcolor{olive}{- 2y + 5y} + 4 y^5 - y^3- y^5 &= \quad | \,\text{\textcolor{olive}{Addieren}} \\ 2x + 3y + \textcolor{orange}{4 y^5} - y^3 \,\textcolor{orange}{- y^5} &= \quad | \,\text{\textcolor{orange}{Subtrahieren}}\\ 2x + 3y + 3 y^5 - y^3 \end{align*}

Um dein Ergebnis zu überprüfen kannst du für \textcolor{blue}{x=2} und \textcolor{red}{y=3} einsetzen. Wenn der ursprüngliche Term das gleiche Ergebnis wie dein vereinfachter Term liefert, hast du alles richtig gemacht.

    \[ \begin{array}{rcl|rcl} 2 \cdot ( \textcolor{blue}{2} - \textcolor{red}{3}) + 5 \cdot \textcolor{red}{3} + 2 \cdot \textcolor{red}{3}^2 \cdot 2 \cdot \textcolor{red}{3}^3 - \textcolor{red}{3}^3 - \textcolor{red}{3}^5 &=& & \\ 2 \cdot (-1) + 5 \cdot \textcolor{red}{3} + 2 \cdot \textcolor{red}{3}^2 \cdot 2 \cdot \textcolor{red}{3}^3 - \textcolor{red}{3}^3 - \textcolor{red}{3}^5 &=& & \\ 2 \cdot (-1) + 5 \cdot \textcolor{red}{3} + 2 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 27 - 27 - 243 &=& & \\ -2 + 15 + 18 \cdot 2 \cdot 27 - 27 - 243 &=& & 2 \cdot \textcolor{blue}{2} + 3 \cdot \textcolor{red}{3} + 3 \cdot \textcolor{red}{3}^5 - \textcolor{red}{3}^3 &=& \\ -2 + 15 + 32 \cdot 27 - 27 - 243 &=& & 2 \cdot \textcolor{blue}{2} + 3 \cdot \textcolor{red}{3} + 3 \cdot 243 - 27 &=& \\ -2 + 15 + 972 - 27 - 243 &=& 715 \,\textcolor{green}{\checkmark} & 4 + 9 + 729 - 27 &=& 715 \,\textcolor{green}{\checkmark} \\ \end{array} \]

Terme vereinfachen Übungen 

Probiere dich gleich an ein paar Aufgaben zum Formel vereinfachen aus! Vereinfache die Terme: 

Übung 1 — Terme vereinfachen: Vereinfache den Term 

    \[ 3\cdot ( a + a) \cdot b - 2ab + 9a^2 : 3a = ? \]

Rechne zuerst die Klammer aus und arbeite dich danach von links nach rechts! Beachte dabei die Rechenregeln für Terme.

    \begin{align*} 3\cdot \textcolor{blue}{( a + a)} \cdot b - 2ab + 9a^2 : 3a &= \quad |\,\text{\textcolor{blue}{Klammer ausrechnen}} \\ 3 \cdot 2a \cdot b - 2ab + 9\textcolor{red}{a^2:}3\textcolor{red}{a} &= \quad |\,\text{\textcolor{red}{Potenzen zusammenfassen}}\\ \textcolor{teal}{3 \cdot 2a \cdot b} - 2ab + \textcolor{olive}{9a:3} &= \quad |\,\text{\textcolor{teal}{Multiplikation} und \textcolor{olive}{Division}}\\ \textcolor{orange}{6ab - 2ab} + 3a &= \quad |\,\text{\textcolor{orange}{Subtraktion}}\\ 4ab + 3a \end{align*}

Überprüfe dein Ergebnis mit \textcolor{red}{a=1} und \textcolor{blue}{b=3}.

    \[\begin{array}{rcl|rcl} 3\cdot ( \textcolor{red}{1} + \textcolor{red}{1}) \cdot \textcolor{blue}{3} - 2\cdot\textcolor{red}{1}\cdot \textcolor{blue}{3} + 9\cdot\textcolor{red}{1}^2 : 3 : \textcolor{red}{1} &=& \\ 3\cdot 2 \cdot \textcolor{blue}{3} - 2\cdot\textcolor{red}{1}\cdot \textcolor{blue}{3} + 9\cdot\textcolor{red}{1}^2 : 3 : \textcolor{red}{1} &=& \\ 18 - 2\cdot\textcolor{red}{1}\cdot \textcolor{blue}{3} + 9\cdot\textcolor{red}{1}^2 : 3 : \textcolor{red}{1} &=& \\ 18 - 6 + 9\cdot\textcolor{red}{1}^2 : 3 : \textcolor{red}{1} &=& \\ 18 - 6 + 9\cdot 1 : 3 : \textcolor{red}{1} &=& & 4 \cdot \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{3} + 3 \cdot \textcolor{red}{1} &=& \\ 18 - 6 + 3 &=& 15 \,\textcolor{green}{\checkmark} & 12 + 3 &=& 15 \,\textcolor{green}{\checkmark} \\ \end{array}\]

Mit dem ursprünglichen und dem vereinfachten Term ist 15 das Ergebnis. Das Terme zusammenfassen war also erfolgreich!

Übung 2 — Terme vereinfachen: Vereinfache den Term

    \[ ( 2x+x) \cdot (y+y) - 3y^2z^3 : yz + 2y \cdot(z+z)^2 = ? \]

Vergiss nicht, dass du beim Terme lösen Summen auch als Multiplikation schreiben kannst!

    \begin{align*} \textcolor{blue}{(2x+x)} \cdot \textcolor{blue}{(y+y)} - 3y^2z^3 : yz + 2y \cdot\textcolor{blue}{(z+z)}^2 &= \quad | \,\text{\textcolor{blue}{Klammer ausrechnen}}\\ 3x \cdot 2y - 3y^2z^3 : yz + 2y \cdot \textcolor{red}{(2z)^2} &= \quad | \,\text{\textcolor{red}{Klammer auflösen}}\\ 3x \cdot 2y - 3\textcolor{teal}{y^2z^3 : yz} + 2y \cdot 2^2z^2 &= \quad | \,\text{\textcolor{teal}{Potenzen zusammenfassen}}\\ 3x \cdot 2y - 3yz^2 + 2y \cdot \textcolor{olive}{2^2}z^2 &= \quad | \,\text{\textcolor{olive}{Potenzen ausrechnen}}\\ \textcolor{orange}{3x \cdot 2y} - 3yz^2 + \textcolor{orange}{2y \cdot 4 z^2} &= \quad | \,\text{\textcolor{orange}{Multiplikation}}\\ 6xy \textcolor{magenta}{- 3yz^2 + 8yz^2} &= \quad | \,\text{\textcolor{magenta}{Addition}}\\ 6xy + 5yz^2 \end{align*}

Zuletzt musst du noch überprüfen, ob das Term vereinfachen funktioniert hat. Setze zum Beispiel  \textcolor{red}{x = 2}, \textcolor{blue}{y = 3} und \textcolor{teal}{z = 4} in deine Gleichung ein.

    \[\begin{array}{rcl|rcl} (  2\cdot\textcolor{red}{2}+\textcolor{red}{2}) \cdot (\textcolor{blue}{3}+\textcolor{blue}{3}) - 3\cdot\textcolor{blue}{3}^2 \cdot \textcolor{teal}{4}^3 : \textcolor{blue}{3} : \textcolor{teal}{4} + 2\cdot \textcolor{blue}{3} \cdot(\textcolor{teal}{4}+\textcolor{teal}{4})^2 &=& \\ ( 6) \cdot (6) - 3\cdot\textcolor{blue}{3}^2 \cdot \textcolor{teal}{4}^3 : \textcolor{blue}{3} : \textcolor{teal}{4} + 2\cdot \textcolor{blue}{3} \cdot(8)^2 &=& \\ ( 6 ) \cdot (6) - 3\cdot9 \cdot 64 : \textcolor{blue}{3} : \textcolor{teal}{4} + 2\cdot \textcolor{blue}{3} \cdot 64 &=& & 6 \cdot \textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{blue}{3} + 5 \cdot \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{teal}{4}^2 &=& \\ 36 - 27 \cdot 64 : \textcolor{blue}{3} : \textcolor{teal}{4} + 6\cdot 64 &=& & 6 \cdot \textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{blue}{3} + 5 \cdot \textcolor{blue}{3} \cdot 16 &=& \\ 36 - 1728 : \textcolor{blue}{3} : \textcolor{teal}{4} + 384 &=& & 12 \cdot \textcolor{blue}{3} + 5 \cdot \textcolor{blue}{3} \cdot 16 &=& \\ 36 - 576 : \textcolor{teal}{4} + 384 &=& & 36 + 15 \cdot 16 &=& \\ 36 - 144 + 384 &=& 276 \,\textcolor{green}{\checkmark} & 36 + 240 &=& 276 \,\textcolor{green}{\checkmark}\\ \end{array}\]

Du hast auf beiden Wegen ist 276%fetten das Ergebnis. Du hast also beim Terme vereinfachen alles richtig gemacht.

Gleichungen vereinfachen

Das Vereinfachen von Termen kann sehr nützlich sein, wenn du nach einer Variable umstellen und eine Gleichung auflösen willst. Schau dir deshalb unbedingt auch noch unser Video zum Thema Gleichungen lösen an, damit du mit Termen und Gleichungen auch richtig sicher umgehen kannst!

Zum Video: Gleichungen lösen
Zum Video: Gleichungen lösen

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