In diesem Beitrag zeigen wir dir anhand vieler Beispiele, welche Ableitungsregeln es gibt und wie du die Ableitungsregeln richtig anwendest. Du möchtest die Ableitungsregeln in kurzer Zeit erlernen? Dann schaue dir unser Video dazu an.
Hier hast du eine Übersicht über alle Ableitungsregeln, die du brauchst:
Ableitungsregeln Übersicht
Ableitungsregel | Funktion | Ableitung |
Konstantenregel | ![]() |
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Potenzregel | ![]() |
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Faktorregel | ![]() |
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Summenregel | ![]() |
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Differenzregel | ![]() |
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Produktregel | ![]() |
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Quotientenregel | ![]() |
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Kettenregel | ![]() |
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Schau dir direkt die einzelnen Regeln noch einmal genauer an.
Wenn du x ableiten willst, ist die Ableitung immer die Zahl, die vor dem x steht:
f(x) = a · x ⇒ f'(x) = a
Beispiel 1:
f(x) = 1 · x
Bei der Ableitung x bleibt also nur die Zahl stehen, die vor dem x steht. Also ist x abgeleitet gleich 1:
f'(x) = 1
Beispiel 2:
f(x) = 5 · x + 3
Hier bleibt bei der Ableitung wieder die Zahl vor dem x stehen:
f'(x) = 5 + 0
Wichtig ist aber, dass du auch Potenzen ableiten kannst.
Die Ableitungsformel bei Potenzen lautet:
f(x) = xn ⇒ f'(x) = n · xn-1
Beispiel 1:
f(x) = x3
Du musst nur die 3 vor das x schreiben und im Exponenten von der 3 eine 1 abziehen:
f'(x) = 3 · x3-1 = 3 · x2
Beispiel 2:
f(x) = x5
Bei der Ableitung von f schreibst du die 5 vor das x und im Exponenten ziehst du eine 1 ab:
f'(x) = 5 · x5-1 = 5 · x4
Wenn aber vor der Potenz noch eine Zahl steht, brauchst du die Faktorregel.
Wenn deine Funktion ein Vielfaches einer anderen Funktion ist, kannst du mit der Faktorregel einfach die andere Funktion ableiten und den Faktor vorne stehen lassen:
f(x) = a · g(x) ⇒ f'(x) = a · g'(x)
Beispiel 1:
f(x) = 3 · x3
Dafür musst du nur die Potenz ableiten und die 3 bleibt vorne stehen:
f'(x) = 3 · 3 · x2 = 9 · x2
Beispiel 2:
f(x) = 7 · x4
Wieder leitest du die Potenz ab und die 7 lässt du vorne stehen:
f'(x) = 7 · 4 · x3 = 28 · x3
Möchtest du eine Summe ableiten , musst du nur von den einzelnen Summanden die Ableitung bilden:
f(x) = g(x) + h(x) ⇒ f'(x) = g'(x) + h'(x)
Beispiel 1:
f(x) = 5x + x2
Du musst nur die einzelnen Summanden ableiten:
f'(x) = 5 + 2x
Beispiel 2:
f(x) = 4x3 + 3x2
Für die Ableitung musst du einfach die beiden Summanden ableiten und wieder eine neue Summe bilden:
f(x) = 12x2 + 6x
Wenn du eine Differenz ableitest, funktioniert das fast genau so.
Möchtest du eine Differenz ableiten , brauchst du nur die einzelnen Teile ableiten:
f(x) = g(x) – h(x) ⇒ f'(x) = g'(x) – h'(x)
Beispiel:
f(x) = 5x – x2
Du musst nur 5x und x2 einzeln ableiten:
f'(x) = 5 – 2x
Du siehst also, dass das genauso wie bei der Summe funktioniert.
Wenn du wiederum ein Produkt aus zwei Funktionen ableiten möchtest, brauchst du die Produktregel.
Wenn du wiederum ein Produkt aus zwei Funktionen ableiten möchtest, brauchst du die Produktregel .
Kennst du die Ableitungen der Funktionen g(x) und h(x), dann gilt für das Produkt f(x) = g(x) · h(x)
f'(x) = g'(x) · h(x) + g(x) · h'(x).
Schau dir dazu gleich mal ein Beispiel an:
f(x) = (x2 + x) · (2x)
g(x) = x2 + x
h(x) = 2x
g'(x) = 2x + 1
h'(x) = 2
f'(x) = g'(x) · h(x) + g(x) · h'(x) = (2x + 1) · (2x) + (x2 + x) · (2)
Wenn du einen Bruch mit zwei Funktionen ableiten willst, hilft dir die Ableitungsregel:
Kennst du die Ableitungen der Funktionen und
, dann gilt für den Quotienten
:
.
Hier hast du ein Beispiel:
Wenn du eine verkettete Funktion ableiten willst, kannst du dir folgende Ableitungregel merken:
Kennst du die Ableitungen der Funktionen g(x) und h(x), dann gilt für die Verkettung f(x) = g(h(x))
f'(x) = g'(h(x)) · h'(x)
Die Funktion h findest du auch unter der Bezeichnung innere Funktion. Dagegen heißt g äußere Funktion.
Merke: „Äußere Ableitung mal innere Ableitung.“
Ein Beispiel für eine verkettete Funktion wäre:
f(x)=(7x2 + 3 )3
In diesem Fall lautet die
h(x)= 7x2 + 3 ⇒ h'(x)= 14x
g(x)= x3 ⇒ g'(x)= 3x2
Für f'(x) setzt du nun die Ableitungen h'(x) und g'(x) zusammen mit h(x) in die Formel der Kettenregel ein:
f'(x) = g'(h(x)) · h'(x) = 3 · (7x2 + 3)2 · 14x
Noch mehr Beispiele findest du in unserem extra Beitrag .
Es gibt aber einige Funktionen, die eine ganz besondere Ableitung haben.
Die wichtigsten Ableitungen haben wir hier für dich zusammengefasst:
Funktion | Ableitung | |
Wurzel ableiten | ![]() |
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Ableitung Cosinus | ![]() |
![]() |
Ableitung Sinus | ![]() |
![]() |
Ableitung Tangens | ![]() |
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e Funktion ableiten | ![]() |
![]() |
ln ableiten | ![]() |
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Eine Ableitungsregel, die du manchmal auch brauchst, ist die Ableitung von ax. Hierfür lautet die Ableitung dann immer ln(a) · ax.
Am Besten übst du jetzt aber nochmal die einzelnen Mathe Ableitungsregeln an ein paar Aufgaben.
Jetzt zeigen wir dir zwei Aufgaben zu den Ableitungsregeln. Die erste Aufgabe beinhaltet ein Produkt von Funktionen, während die zweite einen Quotienten von Funktionen behandelt.
Die folgende Funktion soll abgeleitet werden:
(a) Welche „Form“ von Funktion hast du vorliegen und welche Ableitungsregel musst du verwenden? Notiere die Ableitungsregel.
(b) Identifiziere die einzelnen Bestandteile der festgelegten „Form“.
(c) Nutze die Ableitungsregeln, um die einzelnen Bestandteile abzuleiten.
(d) Baue die gesuchte Ableitung zusammen durch Anwendung der Ableitungsregeln.
(a) Die Funktion ist als Produkt zweier Funktionen zusammengebaut. Daher muss die Produktregel verwendet werden. Diese lautet:
(b) Die Funktion ist das Produkt der Funktionen:
(c) Die Funktion ist die Verkettung der Funktionen
und
.
Gemäß der Kettenregel erhalten wir:
Die Funktion ist die Verkettung der Funktionen
und
.
Erneut erhalten wir nach der Kettenregel:
(d) Wir haben nun alle Bestandteile zusammen. Unter Verwendung der Produktregel bekommen wir:
Die folgende Funktion soll abgeleitet werden:
(a) Welche „Form“ von Funktion hast du vorliegen und welche Ableitungsregel musst du verwenden? Notiere die Ableitungsregel.
(b) Identifiziere die einzelnen Bestandteile der festgelegten „Form“.
(c) Nutze die Ableitungsregeln, um die einzelnen Bestandteile abzuleiten.
(d) Baue die gesuchte Ableitung zusammen durch Anwendung der Ableitungsregeln.
(a) Die Funktion ist als Quotient zweier Funktionen zusammengebaut. Daher muss die Quotientenregel verwendet werden. Diese lautet:
(b) Die Funktion ist der Quotient aus den Funktionen:
(c) Die Funktion ist die Verkettung aus den Funktionen:
Nach der Kettenregel erhalten wir:
Die Funktion ist die Summe aus den Funktionen:
Der letzte Summand kann unter Verwendung der Faktorregel abgeleitet werden. Wir erhalten insgesamt:
(d) Wir haben nun alle Bestandteile zusammen. Unter Verwendung der Quotientenregel bekommen wir:
.
Du siehst, dass du für manche Funktionen wie beim Sinus oder der e-Funktion eine spezielle Ableitungsregel brauchst. Schau dir dafür am besten gleich unser Video zu Ableitung bestimmter Funktionen an.
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