Analysis

Ableitung Tangens

In diesem Artikel erklären wir dir, wie du die Ableitung Tangens bestimmen kannst. Dabei gehen wir auf die Kettenregel ein und zeigen dir viele Beispiele, in denen wir die Ableitung von Tangens berechnen.

Du hast keine Lust dir den ganzen Artikel durchzulesen, aber möchtest trotzdem gern alles Wichtige über die Tangens Ableitung erfahren? Kein Problem! Schau dir einfach unser Video dazu an.

Inhaltsübersicht

Ableitung Tangens einfach erklärt

Die Ableitung des Tangens, lernst du am besten auswendig:

Ableitung tan x

f(x)=\tan(x) \quad \rightarrow \quad f'(x)= \frac{1}{\cos^2(x)}.

Dabei ist \cos^2(x)=(\cos(x))^2.

Ableitung Tangens Graph, Tangens ableiten
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Ableitung Tangens – Graph

Ableitung Tangens mit Kettenregel

Schwieriger wird es jedoch, wenn anstatt x ein komplizierterer Ausdruck in tan(x) steht, wie beispielsweise bei der Funktion f(x)=\tan(3x^2-4). In so einem Fall musst du die Kettenregel  anwenden, um die Ableitung von tan bestimmen zu können.

Dafür identifizierst du die innere Funktion h(x) und die äußere Funktion g(x) der verketteten Funktion

f(x)=g(h(x)).

Anschließend berechnest du deren Ableitungen h'(x) und g'(x) und setzt sie zusammen mit h(x) in die Formel der Kettenregel ein

f'(x)=g'(h(x)) \cdot h'(x).

Beispiel 1

Möchtest du also für die oben erwähnte Funktion

f(x)=\tan(3x^2-4)

wissen, was der tan abgeleitet ergibt, bestimmst du demnach

  • innere Funktion h(x) und Ableitung h'(x): 

h(x)=3x^2-4 \quad \rightarrow \quad h'(x)=6x

  • äußere Funktion g(x) und Ableitung g'(x): 

g(x)=\tan(x) \quad \rightarrow \quad g'(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}.

Dabei hast du für die Berechnung der inneren Ableitung die Potenz- und Faktorregel  verwendet.

Nun setzt du die Ableitungen und die Funktion h(x) in die Formel der Kettenregel ein, was dir

f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)

= \frac{1}{\cos^2(h(x))} \cdot 6x

= \frac{6x}{\cos^2(3x^2-4)}

liefert.

Beispiel 2

Sehen wir uns noch ein weiteres Beispiel an, nämlich

f(x)=2\tan(5x).

Auch hier bestimmst du wieder

  • innere Funktion h(x) und Ableitung h'(x): 

h(x)=5x \quad \rightarrow \quad h'(x)=5

  • äußere Funktion g(x) und Ableitung g'(x): 

g(x)=2\tan(x) \quad \rightarrow \quad g'(x)=\frac{2}{\cos^2(x)}.

Danach setzt du deine Ergebnisse in die Formel der Kettenregel ein und erhältst die Ableitung:

f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)

= \frac{2}{\cos^2(5x)} \cdot 5

= \frac{10}{\cos^2(5x)}.

Ableitung Tangens mit weiteren Ableitungsregeln

Bisher hast du für die Berechnung von Ableitung Tangens neben der Kettenregel nur die Potenz- und Faktorregel benötigt. Natürlich kann es auch vorkommen, dass du noch weitere Ableitungsregeln in Kombination mit Ableitung Tangens verwenden musst. In der folgenden Tabelle stellen wir dir einige Beispiele dazu vor.

Ableitungsregel Funktion Ableitung
Summenregel f(x)=g(x)+h(x)

f(x)=\tan(3x)+\tan(x)

f'(x)=g'(x)+h'(x)

f'(x)=\frac{3}{\cos^2(3x)} + \frac{1}{\cos^2(x)}

Differenzregel f(x)=g(x)-h(x)

f(x)=\tan(x)-\tan(x^2)

f'(x)=g'(x)-h'(x)

f'(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}-\frac{2x}{\cos^2(x^2)}

Produktregel f(x)=g(x)\cdot h(x)

f(x)=\tan(-x)\cdot 3x^2

f'(x)=g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x)

f'(x)=-\frac{1}{\cos^2(-x)}\cdot 3x^2 + \tan(-x)\cdot 6x

Quotientenregel f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}

f(x)=\frac{\tan(x)}{x^2+1}

f'(x)=\frac{g'(x)\cdot h(x)-g(x)\cdot h'(x)}{[h(x)]^2}

f'(x)=\frac{\frac{x^2+1}{\cos^2(x)}-\tan(x)\cdot 2x}{(x^2+1)^2}

Faktorregel f(x)=a\cdot g(x)

f(x)=4 \cdot \tan(x)

f'(x)=a \cdot g'(x)

f'(x)=\frac{4}{\cos^2(x)}

Potenzregel f(x)=x^n

f(x)=\tan^4(x)

f'(x)=n \cdot x^{n-1}

f'(x)=4 \cdot \tan^3(x) \cdot \frac{1}{\cos^2(x)}

Weitere Funktionen und ihre Ableitungen

Nicht nur die Ableitung von tan x, sondern auch die, der folgenden Funktionen solltest du auswendig wissen.

Funktion Ableitung
Ableitung Sinus f(x)=\sin(x) f'(x)=\cos(x)
Ableitung Cosinus f(x)=\cos(x) f'(x)=-\sin(x)
Wurzel ableiten f(x)=\sqrt{x} f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}
ln ableiten f(x)=\ln(x) f'(x)=\frac{1}{x}
e Funktion ableiten f(x)=e^x f'(x)=e^x

Ableitung Tangens Herleitung

Wenn du dir die tan(x) Ableitung nicht merken möchtest, kannst du sie auch stets herleiten. Dafür musst du wissen, dass tan(x) als Quotient aus sin(x) und cos(x) dargestellt werden kann:

f(x)=\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}.

Um diese Funktion ableiten zu können, musst du deshalb die Quotientenregel kennen. Die Formel der Quotientenregel kannst du der oberen Tabelle mit den Ableitungsregeln entnehmen. Wie du dort siehst, musst du, um sie anwenden zu können, sowohl die Ableitung des Zählers g(x)=\sin(x), als auch die des Nenners h(x)=\cos(x) berechnen. Das heißt:

g(x)= \sin(x) \quad \rightarrow \quad g'(x)= \cos(x)

h(x)= \cos(x) \quad \rightarrow \quad h'(x)= - \sin(x)

Diese Ableitungen kannst du der darüber liegenden Tabelle entnehmen.

Setzt du nun deine Ergebnisse in die Formel der Quotientenregel ein, erhältst du:

f'(x)= \frac{g'(x)\cdot h(x)-g(x)\cdot h'(x)}{[h(x)]^2}

= \frac{\cos(x) \cdot \cos(x)-\sin(x) \cdot (-\sin(x))}{[\cos(x)]^2}

=\frac{\cos^2(x) +\sin^2(x)}{\cos^2(x)}.

Da mit dem Satz des Pythagoras im Einheitskreis \cos^2(x) +\sin^2(x)=1 gilt, liefert dir das die Ableitung:

f'(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}.

Schließlich hast du damit Ableitung Tangens hergeleitet.

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