Analysis
Ableitung von Funktionen
 – Video

In diesem Artikel erklären wir dir, wie du die Ableitung Tangens mit der Kettenregel bestimmen kannst. Du hast keine Lust dir den ganzen Artikel durchzulesen, aber möchtest trotzdem gern alles Wichtige über die Tangens Ableitung erfahren? Kein Problem! Schau dir einfach unser Video dazu an.

Ableitung Tangens einfach erklärt

Die Ableitung vom Tangens kannst du dir leicht merken: Die Tangensfunktion f(x) = tan(x) hat die Ableitung f'(x) = 1/cos2(x).

Ableitung tan x

    \[f(x)=\tan(x) \quad \rightarrow \quad f'(x)= \frac{1}{\cos^2(x)}\]

Dabei ist cos2(x) = (cos(x))2.

Wenn im Tangens nicht nur ein x, sondern eine ganze Funktion steht, wie bei f(x) = tan(2x + 5), brauchst du für die Ableitung die Kettenregel .

Schau dir gleich an Beispielen an, wie du den tan damit ableiten kannst!

Ableitung Tangens mit Kettenregel

Die Kettenregel brauchst du immer dann, wenn im Tangens mehr als ein x steht. Das ist zum Beispiel hier der Fall: f(x) = tan(3x2 – 4)

Dann gehst du so vor:

  • Schritt 1: Schreibe die Ableitung vom tan, also\textcolor{blue}{\frac{1}{cos^2}}, hin. Lass die Funktion (innere Funktion) dabei im Cosinus stehen:

    \[f'(x) = \textcolor{blue}{\frac{1}{\cos^2(\textcolor{red}{3x^2-4})}}...\]

  • Schritt 2: Bestimme die Ableitung der Funktion im Tangens:

(3x2 – 4)‘ = 6x

  • Schritt 3: Schreibe die Ableitung aus Schritt 2 mit einem Malpunkt hinter den Bruch.

    \[f'(x)= \textcolor{blue}{\frac{1}{\cos^2(\textcolor{red}{3x^2-4})}} \cdot {\textcolor{orange}{6x}\]

Super! Den Tangens bezeichnest du übrigens als äußere Funktion. Schau dir gleich noch ein Beispiel dazu an.

Tangens ableiten — Beispiel

Schau dir folgende Funktion an:

f(x) = 2 • tan(5x)

Auch hier kannst du den tan ableiten wie immer: 

  • Schritt 1: Schreibe die Ableitung vom tan, also\textcolor{blue}{\frac{1}{cos^2}}, hin. Lass die Funktion dabei in der Klammer stehen.

    \[\textcolor{blue}{\frac{1}{\cos^2(\textcolor{red}{5x})}}\]

  • Schritt 2: Bestimme die Ableitung der Funktion im Tangens (innere Funktion). Dafür verwendest du die Potenz- und Faktorregel :

5x     →     5

  • Schritt 3: Setze die Ableitung der gesamten Funktion zusammen:

    \[f'(x)= 2 \cdot \textcolor{blue}{\frac{1}{\cos^2(\textcolor{red}{5x})}} \cdot {\textcolor{orange}{5}\]

Du siehst, dass die 2 als Vorfaktor vor dem Tangens beim Ableiten einfach stehen bleibt. Das gilt wegen der Faktorregel .

Ableitung Tangens Herleitung

Wenn du dir die tan(x) Ableitung nicht merken möchtest, kannst du sie auch stets herleiten. Dafür musst du wissen, dass tan(x) als Quotient aus sin(x) und cos(x) dargestellt werden kann:

f(x)=\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}.

Um diese Funktion ableiten zu können, musst du deshalb die Quotientenregel kennen. Die Formel der Quotientenregel kannst du der oberen Tabelle mit den Ableitungsregeln entnehmen. Wie du dort siehst, musst du, um sie anwenden zu können, sowohl die Ableitung des Zählers g(x)=\sin(x), als auch die des Nenners h(x)=\cos(x) berechnen. Das heißt:

g(x)= \sin(x) \quad \rightarrow \quad g'(x)= \cos(x)

h(x)= \cos(x) \quad \rightarrow \quad h'(x)= - \sin(x)

Diese Ableitungen kannst du der darüber liegenden Tabelle entnehmen.

Setzt du nun deine Ergebnisse in die Formel der Quotientenregel ein, erhältst du:

f'(x)= \frac{g'(x)\cdot h(x)-g(x)\cdot h'(x)}{[h(x)]^2}

= \frac{\cos(x) \cdot \cos(x)-\sin(x) \cdot (-\sin(x))}{[\cos(x)]^2}

=\frac{\cos^2(x) +\sin^2(x)}{\cos^2(x)}.

Da mit dem Satz des Pythagoras im Einheitskreis \cos^2(x) +\sin^2(x)=1 gilt, liefert dir das die Ableitung:

f'(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}.

Schließlich hast du damit Ableitung Tangens hergeleitet.

Ableitung Tangens mit weiteren Ableitungsregeln

Bisher hast du für die Berechnung von Ableitung Tangens neben der Kettenregel nur die Potenz- und Faktorregel benötigt. Natürlich kann es auch vorkommen, dass du noch weitere Ableitungsregeln in Kombination mit Ableitung Tangens verwenden musst. In der folgenden Tabelle stellen wir dir einige Beispiele dazu vor.

Ableitungsregel Funktion Ableitung
Summenregel f(x)=g(x) + h(x) 

f(x) = tan(3x) + tan(x)

f'(x) = g'(x) + h'(x)

f'(x)=\frac{3}{\cos^2(3x)} + \frac{1}{\cos^2(x)}

Differenzregel f(x) = g(x) – h(x)

f(x) = tan(x) – tan(x2)

f'(x) = g'(x) – h'(x)

f'(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}-\frac{2x}{\cos^2(x^2)}

Produktregel f(x) = g(x) • h(x)

f(x) = tan(-x) • 3x2

f'(x) = g'(x) • h(x) + g(x) • h'(x)

f'(x)=-\frac{1}{\cos^2(-x)}\cdot 3x^2 + \tan(-x)\cdot 6x

Quotientenregel f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}

f(x)=\frac{\tan(x)}{x^2+1}

f'(x)=\frac{g'(x)\cdot h(x)-g(x)\cdot h'(x)}{[h(x)]^2}

f'(x)=\frac{\frac{x^2+1}{\cos^2(x)}-\tan(x)\cdot 2x}{(x^2+1)^2}

Faktorregel

f(x) = a • g(x)

f(x) = 4 • tan(x)

f'(x) = a • g'(x)

f'(x)=\frac{4}{\cos^2(x)}

Potenzregel f(x) = xn

f(x) = tan4(x)

f'(x) = n • xn-1

f'(x)=4 \cdot \tan^3(x) \cdot \frac{1}{\cos^2(x)}

Weitere Funktionen und ihre Ableitungen

Neben dem Tangens gibt es noch den Kotangens cot(x). Du definierst ihn so:

    \[f(x) = \cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}\]

Die Ableitung vom Kotangens ist ähnlich wie die des Tangens:

    \[f'(x) = \frac{-1}{\sin^2(x)}\]

Wie beim Ableiten von tan, brauchst du auch hier für kompliziertere Kotangensfunktionen die Kettenregel.

Nicht nur die Ableitung von tan x und cot x, sondern auch die der folgenden Funktionen solltest du auswendig wissen.

  Funktion Ableitung
Ableitung Sinus f(x) = sin(x) f'(x) = cos(x)
Ableitung Cosinus f(x) = cos(x) f'(x)  = -sin(x)
Wurzel ableiten f(x) = \sqrt{x} f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}
ln ableiten f(x) = ln(x) f'(x)=\frac{1}{x}
e Funktion ableiten f(x) = ex f'(x) = ex

Ableiten bestimmter Funktionen

Jetzt kennst du die Ableitung von tan(x) und hast auch kurz gesehen, wie du weitere Funktionen ableitest. Das ging dir alles zu schnell? Dann schau dir unser Video zum Ableiten bestimmter Funktionen an. Dort erklären wir dir in Ruhe, wie du die Ableitung ganz verschiedener Funktionen findest!

Ableitung bestimmter Funktionen
zum Video: Ableitung bestimmter Funktionen

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