Ableitung Tangens
In diesem Artikel erklären wir dir, wie du die Ableitung Tangens bestimmen kannst. Dabei gehen wir auf die Kettenregel ein und zeigen dir viele Beispiele, in denen wir die Ableitung von Tangens berechnen.
Du hast keine Lust dir den ganzen Artikel durchzulesen, aber möchtest trotzdem gern alles Wichtige über die Tangens Ableitung erfahren? Kein Problem! Schau dir einfach unser Video dazu an.
Ableitung Tangens einfach erklärt
Die Ableitung des Tangens, lernst du am besten auswendig:
Dabei ist
Ableitung Tangens mit Kettenregel
Schwieriger wird es jedoch, wenn anstatt x ein komplizierterer Ausdruck in tan(x) steht, wie beispielsweise bei der Funktion In so einem Fall musst du die Kettenregel
anwenden, um die Ableitung von tan bestimmen zu können.
Dafür identifizierst du die innere Funktion und die äußere Funktion
der verketteten Funktion
Anschließend berechnest du deren Ableitungen und
und setzt sie zusammen mit
in die Formel der Kettenregel ein
Beispiel 1
Möchtest du also für die oben erwähnte Funktion
wissen, was der tan abgeleitet ergibt, bestimmst du demnach
- innere Funktion h(x) und Ableitung h'(x):
- äußere Funktion g(x) und Ableitung g'(x):
Dabei hast du für die Berechnung der inneren Ableitung die Potenz- und Faktorregel verwendet.
Nun setzt du die Ableitungen und die Funktion in die Formel der Kettenregel ein, was dir
liefert.
Beispiel 2
Sehen wir uns noch ein weiteres Beispiel an, nämlich
Auch hier bestimmst du wieder
- innere Funktion h(x) und Ableitung h'(x):
- äußere Funktion g(x) und Ableitung g'(x):
Danach setzt du deine Ergebnisse in die Formel der Kettenregel ein und erhältst die Ableitung:
Ableitung Tangens mit weiteren Ableitungsregeln
Bisher hast du für die Berechnung von Ableitung Tangens neben der Kettenregel nur die Potenz- und Faktorregel benötigt. Natürlich kann es auch vorkommen, dass du noch weitere Ableitungsregeln in Kombination mit Ableitung Tangens verwenden musst. In der folgenden Tabelle stellen wir dir einige Beispiele dazu vor.
Ableitungsregel | Funktion | Ableitung |
Summenregel |
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Differenzregel |
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Produktregel |
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Quotientenregel |
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Faktorregel |
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Potenzregel |
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Weitere Funktionen und ihre Ableitungen
Nicht nur die Ableitung von tan x, sondern auch die, der folgenden Funktionen solltest du auswendig wissen.
Funktion | Ableitung | |
Ableitung Sinus | ![]() |
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Ableitung Cosinus | ![]() |
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Wurzel ableiten | ![]() |
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ln ableiten | ![]() |
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e Funktion ableiten | ![]() |
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Ableitung Tangens Herleitung
Wenn du dir die tan(x) Ableitung nicht merken möchtest, kannst du sie auch stets herleiten. Dafür musst du wissen, dass tan(x) als Quotient aus sin(x) und cos(x) dargestellt werden kann:
Um diese Funktion ableiten zu können, musst du deshalb die Quotientenregel
kennen. Die Formel der Quotientenregel kannst du der oberen Tabelle mit den Ableitungsregeln entnehmen. Wie du dort siehst, musst du, um sie anwenden zu können, sowohl die Ableitung des Zählers , als auch die des Nenners
berechnen. Das heißt:
Diese Ableitungen kannst du der darüber liegenden Tabelle entnehmen.
Setzt du nun deine Ergebnisse in die Formel der Quotientenregel ein, erhältst du:
Da mit dem Satz des Pythagoras im Einheitskreis gilt, liefert dir das die Ableitung:
Schließlich hast du damit Ableitung Tangens hergeleitet.