Flächeninhalt Dreieck Vektoren

Hier geht's zum Video „Kreuzprodukt / Vektorprodukt“
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Dein nächster Schritt

Flächeninhalt Dreieck Vektoren berechnen

Die Fläche eines von zwei Vektoren aufgespannten Dreiecks erhältst du, indem du die Hälfte des Betrages vom Kreuzprodukt beider Vektoren berechnest. Wie genau das funktioniert, erfährst du hier und im Video! 

Wenn zwei Vektoren \vec{\textcolor{blue}{a}} und \vec{\textcolor{blue}{b}} ein Dreieck aufspannen, kannst du den Flächeninhalt des Dreiecks mit einer Formel bestimmen.

Dreieck mit Vektoren

Du berechnest zuerst das Kreuzprodukt beider Vektoren. Den Betrag des Ergebnisses multiplizierst du dann mit ½:

A = \frac{1}{2} • |\vec{\textcolor{blue}{a}} \times \vec{\textcolor{blue}{b}}|

Flächeninhalt Dreieck Vektoren — Beispiel

Du hast die folgenden zwei Vektoren gegeben:

\vec{\textcolor{blue}{a}}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 7 \end{array}\right) und \vec{\textcolor{blue}{b}}=\left( \begin{array}{c} 3 \\ 8 \\ 1 \end{array}\right)

Nun sollst du den Flächeninhalt des Dreiecks berechnen, das von ihnen aufgespannt wird. So gehst du dabei vor:

  1. Kreuzprodukt der Vektoren \vec{\textcolor{blue}{a}} und \vec{\textcolor{blue}{b}} berechnen:

        \begin{align*}\vec{\textcolor{blue}{a}} \times \vec{\textcolor{blue}{b}} &= \left( \begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 7 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{c} 3 \\ 8 \\ 1 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 4 \cdot 1 - 7 \cdot 8 \\ 7 \cdot 3 - 2 \cdot 1 \\ 2 \cdot 8 - 4 \cdot 3 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 4 - 56 \\ 21 - 2 \\ 16 - 12 \end{array}\right)\\ &= \left( \begin{array}{c} -52 \\ 19 \\ 4 \end{array}\right) \end{align*}

  2. Fläche des aufgespannten Dreiecks mithilfe des Betrags berechnen: 

    A = \frac{1}{2} \cdot \left| \left( \begin{array}{c} -52 \\ 19 \\ 4 \end{array}\right) \right| = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{(-52)^2 + 19^2 + 4^2} = \frac{1}{2} \cdot 55,51 = 27,76 FE

Die beiden Vektoren \vec{\textcolor{blue}{a}} und \vec{\textcolor{blue}{b}} spannen also ein Dreieck mit dem Flächeninhalt von 27,76 FE auf. Da du keine konkreten Einheiten gegeben hast, nutzt du Flächeneinheiten FE.

Zusammenfassung — Flächeninhalt Dreieck Vektoren

Hier siehst du die wichtigsten Grundlagen zusammengefasst:

Du kannst dir die Übersicht auch hier kostenlos herunterladen!

Flächeninhalt Dreieck Vektoren — häufigste Fragen
Warum muss man beim Flächeninhalt noch durch 2 teilen?
Du teilst beim Flächeninhalt durch 2, weil der Betrag des Kreuzprodukts die Fläche des Parallelogramms angibt, das von den beiden Vektoren aufgespannt wird. Das Dreieck aus denselben beiden Seiten ist genau die Hälfte dieses Parallelogramms, daher kommt der Faktor \tfrac{1}{2}.
Wie bestimmt man die beiden Spannvektoren, wenn ein Dreieck durch drei Punkte gegeben ist?
Du bestimmst die Spannvektoren, indem du einen Eckpunkt als Startpunkt wählst und zu den beiden anderen Eckpunkten jeweils einen Vektor bildest (Koordinaten: Ziel minus Start). Beispiel: A(1,0,2), B(4,1,2), C(2,3,5) ⇒ \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix} und \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}1\\3\\3\end{pmatrix}.
Was ist der Flächeninhalt, wenn die beiden Vektoren parallel sind?
Der Flächeninhalt ist 0, wenn die beiden Vektoren parallel sind. Parallele Vektoren spannen keine Fläche auf, weil sie in dieselbe oder entgegengesetzte Richtung zeigen und damit nur eine Linie entsteht. Deshalb hat das Kreuzprodukt den Betrag 0 und die Dreiecksfläche ist ebenfalls 0.

Kreuzprodukt

Prima, du kannst jetzt den Flächeninhalt eines Dreiecks mit Vektoren berechnen. Willst du mehr über das Kreuzprodukt erfahren? Dann schau direkt im Video dazu vorbei. 

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