Lineare Algebra

Skalarprodukt

In diesem Artikel erklären wir dir, was das Skalarprodukt ist und wie du es berechnest. Du möchtest das Thema Skalarprodukt schnell verstehen? Dann schau dir unser Video  dazu an!

Inhaltsübersicht

Skalarprodukt einfach erklärt

Das Skalarprodukt kannst du dir wie eine Art Maschine vorstellen. Du wirfst in sie zwei Vektoren \vec{a} und \vec{b} hinein und erhältst dafür eine Zahl. Das Skalarprodukt ist also eine Verknüpfung, die zwei Vektoren eine reelle Zahl zuordnet. 

Skalarprodukt Formel

\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \cos(\theta)=a_1b_1+a_2b_2

Dabei bezeichnest du mit | \vec{a} | und | \vec{b} | die Längen der beiden Vektoren und mit \theta den Winkel den die zwei Vektoren einschließen.

Beispiel: Das Skalarprodukt der Vektoren \vec{a} = \left(\begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array}\right) und \vec{b} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array}\right) lautet:  \vec{a} \cdot \vec{b} =\left(\begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array}\right) =5 \cdot 1 + 2 \cdot 3 = 11.

Skalarprodukt
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Das Skalarprodukt zweier Vektoren

Oft schreibt man für das Skalarprodukt \vec{a} \cdot \vec{b}, manchmal verwendet man aber auch die Schreibweise <\vec{a},\vec{b}>.

Hinweis: Stehen die Vektoren senkrecht aufeinander, dann ist das Skalarprodukt gleich null.

Skalarprodukt berechnen

Hast du zwei Vektoren \vec{a} = \left(\begin{array}{c} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{array}\right) und \vec{b} = \left(\begin{array}{c} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{array}\right) in einem kartesischen Koordinatensystem gegeben, so lässt sich das Skalarprodukt berechnen mit

\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + \dots + a_n b_n.

Das heißt, du multiplizierst beide Vektoren komponentenweise und addierst anschließend die Werte.

Beispiel im \mathbb{R}^2

Betrachte die Vektoren \vec{a} = \left(\begin{array}{c} -2 \\ -1 \end{array}\right) und \vec{b} = \left(\begin{array}{c} 3 \\ 0 \end{array}\right). Zuerst multiplizierst du die beiden Vektoren komponentenweise miteinander

a_1 b_1 = (-2) \cdot 3 = -6

a_2 b_2 = (-1) \cdot 0 = 0

und zählst die Werte dann zusammen. Du erhältst also

\left(\begin{array}{c} -2 \\ -1 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} 3 \\ 0 \end{array}\right)= (-6) + 0 = -6.

\vec{a} \cdot \vec{b} =a_1 b_1+a_2 b_2

Beispiel im \mathbb{R}^3

Du hast die Vektoren \vec{a} = \left(\begin{array}{c} -1 \\ 3 \\ 0,5 \end{array}\right) und \vec{b} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ -1,5 \\ -1 \end{array}\right) gegeben.

Dabei gehst du hier genauso vor, wie im vorherigen Beispiel, nur dass du eine Komponente mehr hast

\left(\begin{array}{c} -1 \\ 3 \\ 0,5 \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c} 2 \\ -1,5 \\ -1 \end{array}\right) = (-1) \cdot 2 + 3 \cdot (-1,5) + 0,5 \cdot (-1) = -7.

\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1+a_2 b_2 + a_3b_3

Skalarprodukt orthogonaler Vektoren

In diesem Abschnitt gehen wir auf die Fragen ein: „Wann ist ein Skalarprodukt 0?“ bzw. „Was ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren mit 90°-Winkel?“.

Hast du zwei Vektoren \vec{a} und \vec{b} gegeben, die senkrecht zueinanderstehen, so bildet der Winkel zwischen den zwei Vektoren einen 90°-Winkel. Damit erhältst du 

\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \cos(90^{\circ})=| \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot 0 = 0.

Das heißt, das Skalarprodukt zweier orthogonaler Vektoren ist immer 0.

Skalarprodukt Eigenschaften

In diesem Abschnitt zeigen wir dir ein paar Eigenschaften des Skalarprodukts. Dabei sind \vec{a}, \vec{b} und  \vec{c} drei Vektoren, k eine reelle Zahl und \theta der Winkel zwischen \vec{a} und \vec{b}:

  • \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} (Kommutativgesetz)
  • \vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} (Distributivgesetz)
  • (k \vec{a}) \cdot \vec{b} = k (\vec{a} \cdot \vec{b}) (gemischtes Assoziativgesetz)
  • \vec{a} \cdot \vec{b} > 0 \Rightarrow \theta ist ein spitzer Winkel (\theta < 90^{\circ})
  • \vec{a} \cdot \vec{b} < 0 \Rightarrow \theta ist ein stumpfer Winkel (\theta > 90^{\circ})

Skalarprodukt Länge eines Vektors

Musst du die Länge eines Vektors  \vec{a} = \left(\begin{array}{c} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{array}\right) berechnen, so kann dir das Skalarprodukt dabei helfen. Denn für die Länge eines Vektors gilt:

|\vec{a}| = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}} = \sqrt{a_1^2 + \dots + a_n^2}.

Somit ist also die Länge eines Vektors gleich die Wurzel aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst.

Beispiel

Angenommen du hast den Vektor \vec{a} = \left(\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ -2 \end{array}\right) gegeben und sollst nun die Länge bestimmen. Dafür berechnest du als erstes das Skalarprodukt 

\vec{a} \cdot \vec{a} = 3 \cdot 3 + 4 \cdot 4 + (-2) \cdot (-2) = 29.

Nun musst du nur noch die Wurzel ziehen und du bekommst die Länge

|\vec{a}| = \sqrt{29} = 5,39.

Skalarprodukt Winkel zwischen zwei Vektoren

Willst du den Winkel zwischen zwei Vektoren  \vec{a} und \vec{b} berechnen, dann musst du das Skalarprodukt der Vektoren bestimmen. Um den Winkel \theta zwischen zwei Vektoren zu berechnen, verwendest du folgende Formel

\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}

Winkel zwischen zwei Vektoren, Skalarprodukt
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Winkel zwischen zwei Vektoren

Beispiel

Betrachte zum Beispiel die beiden Vektoren \vec{a} = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array}\right) und \vec{b} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \end{array}\right). Um den Winkel \theta zu berechnen, benötigst du erstmal das Skalarprodukt der beiden Vektoren

\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 1 + 1 \cdot (-2) = 2.

Weiter musst du die Länge der Vektoren berechnen

|\vec{a}| = \sqrt{4^2 +1^2} = \sqrt{17}

|\vec{b}| = \sqrt{1^2 +(-2)^2} = \sqrt{5}.

Setzt du die Werte nun in die Formel ein, so erhältst du

\cos(\theta) = \frac{2}{ \sqrt{17} \cdot \sqrt{5}} =0,22.

\Leftrightarrow \theta = \cos^{-1}(0,22) = 77,29^{\circ}.

Weitere Themen der Vektorrechnung

Neben dem Skalarprodukt gibt es noch weitere Themen, die sich mit Vektoren beschäftigen. Schau dir unbedingt auch unsere Videos zu den folgenden Themen an:

Skalarprodukt berechnen Aufgaben

In diesem Abschnitt geben wir dir die Gelegenheit das Skalarprodukt zu üben, indem wir dir ein paar Aufgaben mit Lösungen zur Verfügung stellen.

Aufgabe 1: Skalarprodukt berechnen

Berechne das Skalarprodukt folgender Vektoren.

a) \vec{a} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ -8 \\ -1 \end{array}\right), \vec{b} = \left(\begin{array}{c} 8 \\ -3 \\ 5 \end{array}\right)

b) \vec{a} = \left(\begin{array}{c} -10 \\ 6  \end{array}\right), \vec{b} = \left(\begin{array}{c} -4 \\ -7 \end{array}\right)

c) \vec{a} = \left(\begin{array}{c} -7 \\ -2 \\ 8 \end{array}\right), \vec{b} = \left(\begin{array}{c} 3 \\ -8 \\ -6 \end{array}\right)

Lösung Aufgabe 1

a) Um das Skalarprodukt zu berechnen multiplizierst du wie üblich beide Vektoren komponentenweise miteinander und addierst die Werte dann zusammen. Du rechnest also

\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 8 + (-8) \cdot (-3) + (-1) \cdot 5 = 35.

b) Hier gehst du genauso vor, wie im vorherigen Fall, nur mit einer Komponente weniger. Dabei erhältst du

\vec{a} \cdot \vec{b} = (-10) \cdot (-4) + 6 \cdot (-7) = -2.

c) \vec{a} \cdot \vec{b} = (-7) \cdot 3 + (-2) \cdot (-8) + 8 \cdot (-6) = -53.

Aufgabe 2: Skalarprodukt Vektoren

Überprüfe, ob die folgenden Vektoren senkrecht zueinanderstehen.

a) \vec{a} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 3  \end{array}\right), \vec{b} = \left(\begin{array}{c} -6 \\ 2 \end{array}\right)

b) \vec{a} = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 1 \\ 6 \end{array}\right), \vec{b} = \left(\begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right)

c) \vec{a} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 1 \end{array}\right), \vec{b} = \left(\begin{array}{c} -3 \\ 2 \\ 8 \end{array}\right)

Lösung Aufgabe 2

a) Um zu überprüfen, ob zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen, musst du prüfen, ob das Skalarprodukt null ergibt

\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot (-6) + 3 \cdot 2 = 0.

Damit stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander.

b) Auch in dem Fall gehst du genauso vor wie im vorherigen Fall, nur mit einer Komponente mehr

\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 + 6 \cdot 3 = 14.

Die Vektoren \vec{a} und \vec{b} sind nicht orthogonal.

c) \vec{a} \cdot \vec{b} =0 \cdot (-3) + 4 \cdot 2 + 1 \cdot (-8) = 0. Die Vektoren stehen senkrecht aufeinander.

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