In diesem Artikel erklären wir dir, was das Skalarprodukt ist und wie du es berechnest. Du möchtest das Thema Skalarprodukt schnell verstehen? Dann schau dir doch unser Video dazu an!
Inhaltsübersicht
Skalarprodukt einfach erklärt
Mit dem Skalarprodukt kannst du zwei Vektoren miteinander multiplizieren, die gleich groß sind. Als Ergebnis erhältst du eine reelle Zahl, auch Skalar genannt. Du berechnest es, indem du zeilenweise das Produkt bildest und anschließend addierst:
Für das Skalarprodukt gibt es verschiedene Schreibweisen: ,
,
. Sie meinen alle das Gleiche.
Du benutzt das Skalarprodukt meistens, um die geometrische Lage von Vektoren zu beschreiben. Denn mit ihm kannst du ganz leicht den Winkel θ zwischen zwei Vektoren berechnen:
wobei und
jeweils die Längen der Vektoren sind.
Eine ausführlichere Erklärung und viele Beispiele siehst du jetzt.
Beispiel in R2
Betrachte die Vektoren und
. Zuerst multiplizierst du die beiden Vektoren komponentenweise miteinander
und zählst die Werte dann zusammen. Du erhältst also
Beispiel in R3
Du hast die Vektoren und
gegeben.
Dabei gehst du hier genauso vor, wie im vorherigen Beispiel, nur dass du eine Komponente mehr hast
Skalarprodukt orthogonaler Vektoren
In diesem Abschnitt gehen wir auf die Fragen ein: „Wann ist ein Skalarprodukt 0?“ bzw. „Was ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren mit 90°-Winkel?“.
Hast du zwei Vektoren und
gegeben, die senkrecht zueinanderstehen, so bildet der Winkel zwischen den zwei Vektoren einen 90°-Winkel. Damit erhältst du
.
Das heißt, das Skalarprodukt zweier orthogonaler Vektoren ist immer 0.
Skalarprodukt Eigenschaften
In diesem Abschnitt zeigen wir dir ein paar Eigenschaften des Skalarprodukts. Dabei sind ,
und
drei Vektoren, k eine reelle Zahl und
der Winkel zwischen
und
:
-
(Kommutativgesetz)
-
(Distributivgesetz)
-
(gemischtes Assoziativgesetz)
-
ist ein spitzer Winkel
-
ist ein stumpfer Winkel
Skalarprodukt Länge eines Vektors
Musst du die Länge eines Vektors
berechnen, so kann dir das Skalarprodukt dabei helfen. Denn für die Länge eines Vektors gilt:
Somit ist also die Länge eines Vektors gleich die Wurzel aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst.
Beispiel
Angenommen du hast den Vektor gegeben und sollst nun die Länge bestimmen. Dafür berechnest du als erstes das Skalarprodukt
Nun musst du nur noch die Wurzel ziehen und du bekommst die Länge
Skalarprodukt Winkel zwischen zwei Vektoren
Willst du den Winkel zwischen zwei Vektoren
und
berechnen, dann musst du das Skalarprodukt der Vektoren bestimmen. Um den Winkel
zwischen zwei Vektoren zu berechnen, verwendest du folgende Formel
Beispiel
Betrachte zum Beispiel die beiden Vektoren und
. Um den Winkel
zu berechnen, benötigst du erstmal das Skalarprodukt der beiden Vektoren
Weiter musst du die Länge der Vektoren berechnen
Setzt du die Werte nun in die Formel ein, so erhältst du
Weitere Themen der Vektorrechnung
Neben dem Skalarprodukt gibt es noch weitere Themen, die sich mit Vektoren beschäftigen. Schau dir unbedingt auch unsere Videos zu den folgenden Themen an:
Skalarprodukt berechnen Aufgaben
In diesem Abschnitt geben wir dir die Gelegenheit das Skalarprodukt zu üben, indem wir dir ein paar Aufgaben mit Lösungen zur Verfügung stellen.
Aufgabe 1: Skalarprodukt berechnen
Berechne das Skalarprodukt folgender Vektoren.
a) ,
b) ,
c) ,
Lösung Aufgabe 1
a) Um das Skalarprodukt zu berechnen multiplizierst du wie üblich beide Vektoren komponentenweise miteinander und addierst die Werte dann zusammen. Du rechnest also
b) Hier gehst du genauso vor, wie im vorherigen Fall, nur mit einer Komponente weniger. Dabei erhältst du
c) .
Aufgabe 2: Skalarprodukt Vektoren
Überprüfe, ob die folgenden Vektoren senkrecht zueinanderstehen.
a) ,
b) ,
c) ,
Lösung Aufgabe 2
a) Um zu überprüfen, ob zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen, musst du prüfen, ob das Skalarprodukt null ergibt
Damit stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander.
b) Auch in dem Fall gehst du genauso vor wie im vorherigen Fall, nur mit einer Komponente mehr
Die Vektoren und
sind nicht orthogonal.
c) . Die Vektoren stehen senkrecht aufeinander.
Winkel zwischen zwei Vektoren
Wenn du nochmal im Detail sehen willst, wie du mit dem Skalarprodukt den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen kannst, schau gleich in unserem Video dazu vorbei!