Lineare Algebra
Vektorprodukte
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Vektor Multiplikation — Skalarprodukt und Kreuzprodukt

Die Vektor Multiplikation ist ein wichtiges Hilfsmittel in der Geometrie. Du brauchst sie zum Beispiel, um den Winkel zwischen zwei Vektoren zu bestimmen. Auch wenn du den Normalenvektor einer Ebene berechnen willst, kommt dabei das Multiplizieren von Vektoren zum Einsatz.

Aber Achtung! Es gibt nicht nur eine einzige Vektor Multiplikation! Konkret unterscheidest du zwei Arten, Vektoren zu multiplizieren:

Ihr wichtigster Unterschied ist das Ergebnis. Multiplizierst du zwei Vektoren im Skalarprodukt, kommt eine Zahl (ein „Skalar“) heraus. Das Kreuzprodukt zweier Vektoren ergibt dagegen wieder einen Vektor.%FS Versuch

In jedem Fall müssen beide Vektoren aus gleich vielen Zahlen (Einträgen) bestehen, damit du sie multiplizieren kannst.

Schau dir gleich mal an, wie das mit dem Skalarprodukt und dem Kreuzprodukt genau funktioniert und wann du welche Art von Vektor Multiplikation brauchst!%Eine anschauliche Erklärung dazu findest du auch in unserem Video!

Vektor Multiplikation — Skalarprodukt

Das Skalarprodukt verwendest du, um zwei Vektoren mit derselben Anzahl an Einträgen zu multiplizieren. Als Ergebnis bekommst du eine einzelne Zahl. Zur Berechnung des Skalarprodukts von zwei Vektoren \vec{a}=\left(\begin{array}{c} \textcolor{blue}{a_1} \\ \textcolor{magenta}{a_2} \\ \textcolor{teal}{a_3}\end{array}\right) und \vec{b}=\left(\begin{array}{c} \textcolor{blue}{b_1} \\ \textcolor{magenta}{b_2} \\ \textcolor{teal}{b_3}\end{array}\right) gehören zwei Schritte:

  1. Zuerst multiplizierst du die Einträge der Vektoren komponentenweise: Das heißt, du rechnest die oberste Zahl des einen Vektors mal die oberste Zahl des anderen Vektors (a1 · b1). Genauso multiplizierst du auch die mittleren (a2 · b2) und unteren (a3 · b3) Einträge der beiden Vektoren.
  2. Anschließend rechnest du die Ergebnisse dann zusammen: (a1 · b1) + (a2 · b2) + (a3 · b3)

Insgesamt kannst du dir für die Multiplikation von Vektoren mit dem Skalarprodukt die folgende Formel merken: 

\vec{a} \circ \vec{b} =\left(\begin{array}{c} \textcolor{blue}{a_1} \\ \textcolor{magenta}{a_2} \\ \textcolor{teal}{a_3}\end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c} \textcolor{blue}{b_1} \\ \textcolor{magenta}{b_2} \\ \textcolor{teal}{b_3} \end{array}\right) = \textcolor{blue}{a_1} \cdot \textcolor{blue}{b_1} + \textcolor{magenta}{a_2} \cdot \textcolor{magenta}{b_2} + \textcolor{teal}{a_3} \cdot \textcolor{teal}{b_3}

Mit konkreten Zahlen sieht das dann zum Beispiel so aus: 

\left(\begin{array}{c} \textcolor{blue}{2} \\ \textcolor{magenta}{-1} \\ \textcolor{teal}{0}\end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c} \textcolor{blue}{0} \\ \textcolor{magenta}{2} \\ \textcolor{teal}{3} \end{array}\right) = \textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{blue}{0} + \textcolor{magenta}{(-1)} \cdot \textcolor{magenta}{2} + \textcolor{teal}{0} \cdot \textcolor{teal}{3} = \textcolor{blue}{0} + \textcolor{magenta}{(-2)} + \textcolor{teal}{0} = -2

Aber wozu ist das Skalarprodukt gut? Du brauchst es beispielsweise um…

Wie genau die Multiplikation von Vektoren dort zum Einsatz kommt, erfährst du in den nächsten Abschnitten!

Skalarprodukt — Betrag eines Vektors

Wenn du wissen willst, wie lang ein Vektor \vec{a}=\left(\begin{array}{c} \textcolor{blue}{a_1} \\ \textcolor{magenta}{a_2} \\ \textcolor{teal}{a_3}\end{array}\right) ist, bestimmst du seinen Betrag |\vec{a}|. Dazu berechnest du zunächst das Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst. Daraus ziehst du dann die Wurzel.

\vert \vec{a} \vert =\sqrt{\vec{a} \circ \vec{a}}= \sqrt{\left(\begin{array}{c} \textcolor{blue}{a_1} \\ \textcolor{magenta}{a_2} \\ \textcolor{teal}{a_3}\end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c} \textcolor{blue}{a_1} \\ \textcolor{magenta}{a_2} \\ \textcolor{teal}{a_3} \end{array}\right)} = \sqrt{\textcolor{blue}{a_1} \cdot \textcolor{blue}{a_1} + \textcolor{magenta}{a_2} \cdot \textcolor{magenta}{a_2} + \textcolor{teal}{a_3} \cdot \textcolor{teal}{a_3}}

Der Betrag von \vec{a}=\left(\begin{array}{c} \textcolor{blue}{0} \\ \textcolor{magenta}{4} \\ \textcolor{teal}{3} \end{array}\right) wäre also: 

\vert \vec{a} \vert =\sqrt{\vec{a} \circ \vec{a}} = \sqrt{\textcolor{blue}{0} \cdot \textcolor{blue}{0} + \textcolor{magenta}{4} \cdot \textcolor{magenta}{4} + \textcolor{teal}{3} \cdot \textcolor{teal}{3}} = \sqrt{25} = 5

Skalarprodukt — Vektoren auf Orthogonalität prüfen

Am Skalarprodukt kannst du ablesen, ob zwei Vektoren \textcolor{orange}{\vec{a}}  und  \textcolor{orange}{\vec{b}} senkrecht (orthogonal)  zueinander stehen. Ergeben die beiden Vektoren multipliziert im Skalarprodukt 0, sind sie orthogonal zueinander (\textcolor{orange}{\vec{a}} \textcolor{red}{\perp} \textcolor{orange}{\vec{b}}) — wie in diesem Beispiel:

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Orthogonale Vektoren

Das Skalarprodukt der Vektoren \textcolor{orange}{\vec{a}} = \left(\begin{array}{c} \textcolor{blue}{0} \\ \textcolor{magenta}{0} \\ \textcolor{teal}{3}\end{array}\right) und \textcolor{orange}{\vec{b}} = \left(\begin{array}{c} \textcolor{blue}{0} \\ \textcolor{magenta}{5} \\ \textcolor{teal}{0}\end{array}\right) ergibt 0: \left(\begin{array}{c} \textcolor{blue}{0} \\ \textcolor{magenta}{0} \\ \textcolor{teal}{3}\end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c} \textcolor{blue}{0} \\ \textcolor{magenta}{5} \\ \textcolor{teal}{0}\end{array}\right) = \textcolor{blue}{0} \cdot \textcolor{blue}{0} + \textcolor{magenta}{0} \cdot \textcolor{magenta}{5} + \textcolor{teal}{3} \cdot \textcolor{teal}{0} = \textbf{0}

\textcolor{orange}{\vec{a}} und \textcolor{orange}{\vec{b}} stehen also senkrecht zueinander. 

Skalarprodukt — Winkel zwischen zwei Vektoren

Auch wenn das Skalarprodukt von zwei Vektoren nicht 0 ergibt, kannst du diese Art der Vektor Multiplikation nutzen, um etwas über die Lage der Vektoren zueinander herauszufinden. Du brauchst das Skalarprodukt nämlich in der Formel für den Winkel φ zwischen zwei Vektoren \textcolor{orange}{\vec{a}} und \textcolor{orange}{\vec{b}}:

    \[\textcolor{red}{\varphi} = \textrm{cos}^{-1}(\frac{\textcolor{orange}{\vec{a}} \circ \textcolor{orange}{\vec{b}}}{\vert \textcolor{orange}{\vec{a}} \vert \cdot \vert \textcolor{orange}{\vec{b}} \vert})\]

Den Winkel φ zwischen den Vektoren \textcolor{orange}{\vec{a}} = \left(\begin{array}{c} \textcolor{blue}{1} \\ \textcolor{magenta}{0} \\ \textcolor{teal}{0}\end{array}\right) und \textcolor{orange}{\vec{b}} = \left(\begin{array}{c} \textcolor{blue}{2} \\ \textcolor{magenta}{0} \\ \textcolor{teal}{2}\end{array}\right) berechnest du also insgesamt in 4 Schritten: 

  1. Berechne das Skalarprodukt aus den beiden Vektoren: \textcolor{orange}{\vec{a}} \circ \textcolor{orange}{\vec{b}} = \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{blue}{2} + \textcolor{magenta}{0} \cdot \textcolor{magenta}{0} + \textcolor{teal}{0} \cdot \textcolor{teal}{2} = 2
  2. Bestimme den Betrag des ersten Vektors. Dazu brauchst du auch wieder das Skalarprodukt: \vert \textcolor{orange}{\vec{a}} \vert = {\sqrt{\textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{blue}{1} + \textcolor{magenta}{0} \cdot \textcolor{magenta}{0} + \textcolor{teal}{0} \cdot \textcolor{teal}{0}} = \sqrt{1} = 1
  3. Bestimme nun den Betrag des zweiten Vektors:  \vert \textcolor{orange}{\vec{b}} \vert = {\sqrt{\textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{blue}{2} + \textcolor{magenta}{0} \cdot \textcolor{magenta}{0} + \textcolor{teal}{2} \cdot \textcolor{teal}{2}} = \sqrt{8}
  4. Setze die drei Werte dann in die Formel zur Berechnung des Winkels φ ein:

        \[\textcolor{red}{\varphi} = \textrm{cos}^{-1}(\frac{\textcolor{orange}{\vec{a}} \circ \textcolor{orange}{\vec{b}}}{\vert \textcolor{orange}{\vec{a}} \vert \cdot \vert \textcolor{orange}{\vec{b}} \vert})\]

Du bekommst dann das Ergebnis:

    \[\textcolor{red}{\varphi} = \textrm{cos}^{-1}(\frac{2}{1 \cdot \sqrt{8}}) = \textcolor{red}{45^{\circ}}\]

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Winkel zwischen Vektoren

Klasse! Schau dir als nächstes an, wie die Multiplikation von Vektoren mit dem  Kreuzprodukt funktioniert und wann du zwei Vektoren auf diese Art multiplizierst!

Vektor Multiplikation — Kreuzprodukt

Das Kreuzprodukt (auch: Vektorprodukt) wendest du meistens bei Vektoren mit drei Einträgen an. Hier ist die Vektor Multiplikation etwas komplizierter als beim Skalarprodukt. Für zwei Vektoren

\textcolor{olive}{\vec{a}}=\left(\begin{array}{c} \textcolor{blue}{a_1} \\ \textcolor{magenta}{a_2} \\ \textcolor{teal}{a_3}\end{array}\right) und \textcolor{olive}{\vec{b}} = \left(\begin{array}{c} \textcolor{blue}{b_1} \\ \textcolor{magenta}{b_2} \\ \textcolor{teal}{b_3} \end{array}\right)

berechnest du das Kreuzprodukt mit der folgenden Formel

\left(\begin{array}{c} \textcolor{blue}{a_1} \\ \textcolor{magenta}{a_2} \\ \textcolor{teal}{a_3}\end{array}\right) \times \left(\begin{array}{c} \textcolor{blue}{b_1} \\ \textcolor{magenta}{b_2} \\ \textcolor{teal}{b_3} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} \textcolor{magenta}{a_2} \cdot \textcolor{teal}{b_3} - \textcolor{teal}{a_3} \cdot \textcolor{magenta}{b_2}\\ \textcolor{teal}{a_3} \cdot \textcolor{blue}{b_1}- \textcolor{blue}{a_1} \cdot \textcolor{teal}{b_3}\\ \textcolor{blue}{a_1} \cdot \textcolor{magenta}{b_2}-\textcolor{magenta}{a_2} \cdot \textcolor{blue}{b_1}\end{array}\right)

Als Ergebnis von Vektor mal Vektor kommt hier also wieder ein Vektor mit derselben Anzahl an Einträgen heraus.

Wende das Kreuzprodukt direkt mal auf die Vektoren \textcolor{olive}{\vec{a}} = \left(\begin{array}{c} \textcolor{blue}{1} \\ \textcolor{magenta}{0} \\ \textcolor{teal}{2}\end{array}\right) und \textcolor{olive}{\vec{b}} = \left(\begin{array}{c} \textcolor{blue}{0} \\ \textcolor{magenta}{3} \\ \textcolor{teal}{1}\end{array}\right) an: 

\left(\begin{array}{c} \textcolor{blue}{1} \\ \textcolor{magenta}{0} \\ \textcolor{teal}{2}\end{array}\right) \times \left(\begin{array}{c} \textcolor{blue}{0} \\ \textcolor{magenta}{3} \\ \textcolor{teal}{1} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} \textcolor{magenta}{0} \cdot \textcolor{teal}{1} - \textcolor{teal}{2} \cdot \textcolor{magenta}{3}\\ \textcolor{teal}{2} \cdot \textcolor{blue}{0}- \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{teal}{1}\\ \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{magenta}{3}-\textcolor{magenta}{0} \cdot \textcolor{blue}{0}\end{array}\right) = \textcolor{burgundy}{\left(\begin{array}{c} -6 \\ -1 \\ 3 \end{array}\right)}

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Das Kreuzprodukt zweier Vektoren

Aber was für eine Bedeutung hat der Vektor, den du als Ergebnis der Vektor Multiplikation mit dem Kreuzprodukt bekommst?

Kreuzprodukt — Anwendung: Normalenvektor

Tatsächlich hat der Ergebnis-Vektor \textcolor{burgundy}{\vec{n}} = \textcolor{olive}{\vec{a}} \times \textcolor{olive}{\vec{b}}  eine ganz besondere Eigenschaft: Er steht nämlich senkrecht zu \textcolor{olive}{\vec{a}} und \textcolor{olive}{\vec{b}}.

Sind \textcolor{olive}{\vec{a}} und \textcolor{olive}{\vec{b}} die Richtungsvektoren einer Ebene E, so nennst du \textcolor{burgundy}{\vec{n}} = \textcolor{olive}{\vec{a}} \times \textcolor{olive}{\vec{b}} den Normalenvektor von E.

So ist beispielsweise \textcolor{burgundy}{\vec{n}}= \textcolor{burgundy}{\left(\begin{array}{c} -6 \\ -1 \\ 3 \end{array}\right)} der Normalenvektor zu der Ebene, die von \textcolor{olive}{\vec{a}} = \left(\begin{array}{c} \textcolor{blue}{1} \\ \textcolor{magenta}{0} \\ \textcolor{teal}{2}\end{array}\right) und \textcolor{olive}{\vec{b}} = \left(\begin{array}{c} \textcolor{blue}{0} \\ \textcolor{magenta}{3} \\ \textcolor{teal}{1}\end{array}\right) aufgespannt wird.

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Kreuzprodukt — Normalenvektor einer Ebene

Kreuzprodukt — Anwendung: Flächeninhalt Parallelogramm

Außerdem kannst du mit dem Kreuzprodukt den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnen, das von zwei Vektoren aufgespannt wird.

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Kreuzprodukt – Flächeninhalt Parallelogramm

Der Flächeninhalt dieses Parallelogramms entspricht nämlich dem Betrag des Vektors, den du als Ergebnis des Kreuzproduktes von \textcolor{olive}{\vec{a}} und \textcolor{olive}{\vec{b}} erhältst: 

A = \vert \vec{a} \times \vec{b} \vert

Dieses Parallelogramm aus \textcolor{olive}{\vec{a}} = \left(\begin{array}{c} \textcolor{blue}{1} \\ \textcolor{magenta}{0} \\ \textcolor{teal}{2}\end{array}\right) und \textcolor{olive}{\vec{b}} = \left(\begin{array}{c} \textcolor{blue}{0} \\ \textcolor{magenta}{3} \\ \textcolor{teal}{1}\end{array}\right) hat demnach den Flächeninhalt A = \vert \vec{a} \times \vec{b} \vert = \vert \textcolor{burgundy}{\left(\begin{array}{c} -6 \\ -1 \\ 3 \end{array}\right)} \vert = \sqrt{45}

Übrigens: Im Gegensatz zum Skalarprodukt ist es beim Kreuzprodukt nicht egal, in welcher Reihenfolge du die Vektoren multiplizierst! Drehst du die Vektoren um, ändert sich das Vorzeichen:

\vec{a} \times \vec{b} = \textcolor{red}{-} (\vec{b} \times \vec{a})

Skalarprodukt vs. Vektorprodukt — Unterschiede im Überblick

Schau dir die Unterschiede zwischen dem Skalarprodukt und dem Kreuzprodukt gleich nochmal im Überblick an:

  Skalarprodukt Kreuzprodukt/Vektorprodukt
Schreibweisen \vec{a} \circ \vec{b}, \vec{a} \cdot \vec{b}, \langle \vec{a}, \vec{b} \rangle \vec{a} \times\vec{b}
Ergebnis Zahl Vektor
Anwendung
  • Betrag berechnen
  • Orthogonalität prüfen
  • Winkel bestimmen
  • Zu beiden Vektoren orthogonalen Vektor erzeugen
  • Flächeninhalt Parallelogramm berechnen

Vektor mit Zahl multiplizieren 

Statt Vektor mal Vektor zu rechnen, kannst du einen Vektor \vec{a} auch mit einer Zahl c multiplizieren. Das Ergebnis ist wieder ein Vektor. Wie der aussieht, hängt von der Zahl ab, mit der du den Vektor mal nimmst:

  • So erhältst du zum Beispiel den Gegenvektor von \textcolor{blue}{\vec{a}}, wenn du mit c = -1 multiplizierst. 
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Gegenvektor
  • |c| > 1: Vektor \textcolor{blue}{\vec{a}} wird länger („gestreckt“)
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Mit Faktor 2 gestreckter Vektor
  • |c| < 1: Vektor \textcolor{blue}{\vec{a}} wird kürzer („gestaucht“)
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Mit Faktor 0,5 gestauchter Vektor

Vektor Multiplikation — die wichtigsten Fragen

  • Was versteht man unter Vektor Multiplikation?
    Bei der Vektor Multiplikation unterscheidest du zwei Arten: das Skalarprodukt , bei dem als Ergebnis eine Zahl herauskommt, und das Kreuzprodukt (Vektorprodukt). Dort ist das Ergebnis wieder ein Vektor.%evtl. auch hier dann FS

  • Wie multipliziert man Vektoren?
    Bei der Multiplikation von Vektoren im Skalarprodukt multiplizierst du ihre Einträge komponentenweise und addierst anschließend die Produkte. Das Kreuzprodukt hat eine eigene Formel, die du dir merken solltest.

  • Wozu braucht man die Vektor Multiplikation?
    Die Vektor Multiplikation in Form des Skalarprodukts brauchst du zum Beispiel, um Orthogonalität zu überprüfen, den Betrag eines Vektors oder den Winkel zwischen zwei Vektoren zu berechnen. Mit dem Kreuzprodukt bestimmst du den Normalenvektor und kannst den Flächeninhalt eines Parallelogramms ausrechnen. 

Vektorrechnung

Egal ob Skalarprodukt oder Kreuzprodukt — die Multiplikation von Vektoren ist für dich nun kein Problem mehr! Aber wie war das nochmal mit den anderen Grundrechenarten bei Vektoren? In unserem Video bekommst du nochmal einen Überblick zum Thema Vektorrechnung. Schau es dir direkt mal an!

Zum Video: Vektorrechnung
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