Lineare Algebra
Vektorprodukte
 – Video

Hier erklären wir dir, wie du das Kreuzprodukt oder Vektorprodukt zweier Vektoren berechnest. Du möchtest das Kreuzprodukt in kürzester Zeit berechnen können? Dann schau dir unser Video  dazu an!

Kreuzprodukt einfach erklärt  

Das Kreuzprodukt (oder Vektorprodukt) liefert dir im Gegensatz zum Skalarprodukt als Ergebnis einen Vektor. Dieser Vektor steht senkrecht (orthogonal) zu deinen beiden anderen Vektoren. Du kannst ihn auch Normalenvektor nennen.

Kreuzprodukt Formel

Die Formel des Kreuzprodukts der Vektoren \textcolor{blue}{\vec{a}} und \textcolor{teal}{\vec{b}} lautet:

    \[\textcolor{blue}{\vec{a}} \times \textcolor{teal}{\vec{b}} =  \left(\begin{array}{c} \textcolor{blue}{a_1} \\ \textcolor{blue}{a_2} \\ \textcolor{blue}{a_3}\end{array}\right) \times \left(\begin{array}{c} \textcolor{teal}{b_1} \\ \textcolor{teal}{b_2} \\ \textcolor{teal}{b_3}\end{array}\right) =  \left(\begin{array}{c} \textcolor{blue}{a_2}\textcolor{teal}{b_3} - \textcolor{blue}{a_3}\textcolor{teal}{b_2} \\ \textcolor{blue}{a_3}\textcolor{teal}{b_1} - \textcolor{blue}{a_1}\textcolor{teal}{b_3} \\ \textcolor{blue}{a_1}\textcolor{teal}{b_2} - \textcolor{blue}{a_2}\textcolor{teal}{b_1} \end{array}\right)\]

Beispiel: Das Kreuzprodukt der Vektoren \vec{a} = \left(\begin{array}{c} \textcolor{blue}{3} \\ \textcolor{blue}{1} \\ \textcolor{blue}{0}\end{array}\right) und \vec{b} = \left(\begin{array}{c} \textcolor{teal}{-1} \\ \textcolor{teal}{1} \\ \textcolor{teal}{0}\end{array}\right) berechnest du so:

    \[\textcolor{blue} {\vec{a}} \times \textcolor{teal} {\vec{b}} = \left(\begin{array}{c} \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{teal}{0} - \textcolor{blue}{0} \cdot \textcolor{teal}{1} \\ \textcolor{blue}{0} \cdot\textcolor{teal}{(-1)} - \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{teal}{0} \\ \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{teal}{1} - \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{teal}{(-1)} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} \textcolor{red}{0} \\ \textcolor{red}{0} \\ \textcolor{red}{4}\end{array}\right)\]

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Das Kreuzprodukt zweier Vektoren

Wichtig: Der Betrag des Kreuzprodukts \textcolor{red}{|\vec{a}\times \vec{b}|} (also die Länge des Normalenvektors kannst du auch so bestimmen:

    \[|\textcolor{red}{\vec{a} \times\vec{b}}| = |\textcolor{blue}{\vec{a}}| \cdot |\textcolor{teal}{\vec{b}}| \cdot \sin{\varphi}\]

Außerdem gibt \textcolor{red}{|\vec{a}\times \vec{b}|} den Flächeninhalt des von \vec{a} und \vec{b} aufgespannten Parallelogramms an.

Kreuzprodukt berechnen  

Es gibt eine Methode, das Kreuzprodukt zweier Vektoren \vec{a} = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ -5 \end{array}\right) und \vec{b} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 6 \end{array}\right) zu berechnen, ohne die Formel auswendig lernen zu müssen. Dabei gehst du wie folgt vor:

Schreibe das Kreuzprodukt der beiden Vektoren auf und schreibe die ersten zwei Zeilen nochmal unter die Vektoren.

\vec{a} \times \vec{b} = \begin{array}{c} \left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ -5 \end{array}\right) \\ 4 \\ 2 \end{array}\right) \times \begin{array}{c} \left(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 6 \end{array}\right) \\ 0 \\ 4 \end{array}\right)

Nun bestimmst du nach und nach die einzelnen Komponenten des Vektorprodukts. Für die erste Komponente bildest du das Produkt 2 \cdot 6  und ziehst davon (-5) \cdot 4 ab.

Kreuzprodukt, Vektorprodukt
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Kreuzprodukt Schritt 1

\vec{a} \times \vec{b} = \left(\begin{array}{c} 2 \cdot 6 - (-5) \cdot 4 \\ - \\ - \end{array}\right).

Für den zweiten Wert des Vektorprodukts verschiebst du die Rechnung um eins nach unten.

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Kreuzprodukt Schritt 2

Das heißt, du rechnest (-5) \cdot 0 - 4 \cdot 6

\vec{a} \times \vec{b} = \left(\begin{array}{c} 2 \cdot 6 - (-5) \cdot 4 \\ (-5) \cdot 0 - 4 \cdot 6 \\ - \end{array}\right).

Verschiebe die Rechnung noch einmal nach unten, um den dritten Wert des Vektorprodukts zu bestimmen.

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Kreuzprodukt Schritt 3

Du bestimmst also das Produkt 4 \cdot 4 und subtrahierst 2 \cdot 0. Damit erhältst du dann die dritte Komponente vom Kreuzprodukt.

\vec{a} \times \vec{b} = \left(\begin{array}{c} 2 \cdot 6 - (-5) \cdot 4 \\ (-5) \cdot 0 - 4 \cdot 6 \\ 4 \cdot 4 - 2 \cdot 0 \end{array}\right).

Also ist das Vektorprodukt der Vektoren \vec{a} und \vec{b} gegeben durch

\vec{a} \times \vec{b} = \left(\begin{array}{c} 32 \\ -24 \\ 16 \end{array}\right).

Du kannst dir für die Rechnung folgendes merken:

Merke

Für die Komponente eines Kreuzprodukts gilt: Links oben mal rechts unten minus links unten mal rechts oben.

Beispiel: Vektorprodukt

Betrachte die zwei Vektoren \vec{a} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ -3 \end{array}\right) und \vec{b} = \left(\begin{array}{c} -2 \\ 3 \\ 4 \end{array}\right). Um das Kreuzprodukt mit der Formel zu berechnen, gehst du so vor:

\vec{a} \times \vec{b} =\left(\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ -3 \end{array}\right) \times \left(\begin{array}{c} -2 \\ 3 \\ 4 \end{array}\right)=  \left(\begin{array}{c} 4 \cdot 4 - (-3) \cdot 3 \\ (-3) \cdot (-2) - 1 \cdot 4 \\ 1 \cdot 3 - 4 \cdot (-2) \end{array}\right) 

und erhältst somit für das Vektorprodukt die Lösung

\vec{a} \times \vec{b} = \left(\begin{array}{c} 25 \\ 2 \\ 11 \end{array}\right).

Kreuzprodukt Eigenschaften

Im Folgenden Abschnitt zeigen wir dir ein paar Eigenschaften des Kreuzprodukts/Vektorprodukts.

  • Das Vektorprodukt ist nicht kommutativ, bei der Berechnung spielt die Reihenfolge also eine Rolle. Wenn du die beiden Vektoren vertauschst, erhältst du als Vektorprodukt den Gegenvektor

        \[\vec{a} \times \vec{b} = - (\vec{b} \times \vec{a})\]

  • Das Vektorprodukt ist nicht assoziativ.
  • Es gilt das Distributivgesetz:

        \[\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}\]

  • Außerdem gilt die Regel:

        \[(r \cdot \vec{a}) \times \vec{b} = r \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = \vec{a} \times (r \cdot \vec{b})\]

Kreuzprodukt Anwendung  

In diesem Abschnitt geben wir dir ein paar Beispiele, für was du das Kreuzprodukt/Vektorprodukt anwenden kannst.

Senkrechte Vektoren bestimmen

Wenn du zwei Vektoren gegeben hast und einen weiteren Vektor suchst, der auf beiden Vektoren senkrecht steht, so hilft dir das Berechnen des Kreuzprodukt (Vektorprodukt) weiter, denn das Kreuzprodukt zweier Vektoren \vec{a} und \vec{b} steht sowohl senkrecht auf \vec{a}, als auch auf \vec{b}. Somit sind auch alle skalaren Vielfache vom Kreuzprodukt \lambda \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) Vektoren, die senkrecht auf \vec{a} und \vec{b} stehen.

Betrag Kreuzprodukt

Der Betrag des Kreuzprodukts von \vec{a} und \vec{b} entspricht der Fläche des Parallelogramms, das von den beiden Vektoren aufgespannt wird.

Kreuzprodukt, Vektorprodukt
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Der Betrag des Kreuzprodukts als Flächeninhalt des Parallelogramms

So ist zum Beispiel der Flächeninhalt des Parallelogramms, das von den zwei Vektoren \vec{a} = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ -5 \end{array}\right) und \vec{b} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 6 \end{array}\right) aufgespannt wird, gegeben durch

|\vec{a} \times \vec{b}| =\left| \begin{array}{c} \left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ -5 \end{array}\right)  \end{array} \times \begin{array}{c} \left(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 6 \end{array}\right) \end{array}\right| =\left|\left(\begin{array}{c} 32 \\ -24 \\ 16 \end{array}\right)\right|

= \sqrt{32^2 + (-24)^2 + 16^2} = \sqrt{1856}.

Das Volumen eines Spats

Für einen beliebigen Vektor \vec{c} spannen die Vektoren \vec{a}, \vec{b} und \vec{c} einen Spat auf. Dabei bezeichnest du die Formel (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} als das Spatprodukt  und der Betrag des Spatprodukts  |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}| entspricht dem Volumen des Spats.

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Das Volumen eines Spats

Betrachtest du nochmal die Vektoren \vec{a} = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ -5 \end{array}\right) und \vec{b} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 6 \end{array}\right) aus dem ersten Beispiel und den Vektor \vec{c} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right), so lautet das Spatprodukt mit \vec{a} \times \vec{b} = \left(\begin{array}{c} 32 \\ -24 \\ 16 \end{array}\right) 

\left(\begin{array}{c} 32 \\ -24 \\ 16 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) = 32 \cdot 1 - 24 \cdot 1 + 16 \cdot 1 = 24.

Der Betrag des Spatprodukts |24| = 24 entspricht dem Volumen des Spats.

Weitere Themen der Vektorrechnung

Neben dem Kreuzprodukt und Vektorprodukt gibt es noch weitere Themen, die sich mit Vektoren beschäftigen. Schau dir unbedingt auch unsere Videos zu den folgenden Themen an:

Vektorprodukt Aufgaben

Im Folgenden Abschnitt geben wir dir zwei Aufgaben mit Lösungen, um das Kreuzprodukt/Vektorprodukt üben zu können.

Aufgabe 1: Kreuzprodukt berechnen

Berechne mit der Formel das Kreuzprodukt/Vektorprodukt der beiden Vektoren \vec{a} = \left(\begin{array}{c} -4 \\ -3 \\ 1 \end{array}\right) und \vec{b} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 3 \end{array}\right).

Lösung Aufgabe 1

Um das Kreuzprodukt zu berechnen, verwendest du die Formel

\vec{a} \times \vec{b} = \left(\begin{array}{c} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{array}\right).

Setze also die Komponenten der beiden Vektoren in die Formel ein, um so das Kreuzprodukt zu berechnen

\vec{a} \times \vec{b} =\left(\begin{array}{c} -4 \\ -3 \\ 1 \end{array}\right) \times \left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 3 \end{array}\right)= \left(\begin{array}{c} (-3) \cdot 3 - 1 \cdot (-1) \\ 1 \cdot 2 - (-4) \cdot 3 \\ (-4) \cdot (-1) - (-3) \cdot 2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -8 \\ 14 \\ 10 \end{array}\right).

Aufgabe 2: Vektorprodukt anwenden

Berechne den Flächeninhalt A_{ABC} des Dreiecks mit den Eckpunkten A(1 \vert 1 \vert 1), B(-1 \vert 1 \vert 1) und C(0 \vert 4 \vert 3) . Verwende dazu das Vektorprodukt.

Lösung Aufgabe 2

Du benötigst zuerst die zwei Vektoren \vec{AB} und \vec{AC}, die das Dreieck aufspannen. Du rechnest also

\vec{AB} = \left(\begin{array}{c} -1 - 1 \\ 1 - 1 \\ 1 - 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -2 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)

\vec{AC} = \left(\begin{array}{c} 0 - 1 \\ 4 - 1 \\ 3 - 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -1 \\ 3 \\ 2 \end{array}\right).

Als nächstes brauchst du das Vektorprodukt der beiden Vektoren \vec{AB} und \vec{AC}. Um das Kreuzprodukt mit der Formel zu berechnen, gehst du so vor:

\vec{AB} \times \vec{AC} = \left(\begin{array}{c} 0 \cdot 2 - 0 \cdot 3 \\ 0 \cdot (-1) - (-2) \cdot 2 \\ (-2) \cdot 3 - 0 \cdot (-1) \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ -6 \end{array}\right).

Nun berechnest du den Betrag des Kreuzprodukts. Damit hast du dann mit 

|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{0^2 + 4^2 + (-6)^2} = \sqrt{52}

den Flächeninhalt des Parallelogramms, das von den beiden Vektoren aufgespannt wird. Da das Dreieck nur halb so groß ist wie das Parallelogramm, halbierst du das Ergebnis. Somit hast du mit 

A_{ABC} = \frac{\sqrt{52}}{2} = 3,61

den Flächeninhalt des Dreiecks berechnet.

Skalarprodukt

Super, jetzt kannst du das Vektorprodukt / Kreuzprodukt mithilfe der Formel berechnen! Das Vektorprodukt liefert dir immer einen senkrechten Vektor zu deinen zwei gegebenen Vektoren. Um zu überprüfen, ob zwei Vektoren wirklich senkrecht zueinander stehen, kannst du das Skalarprodukt nutzen. Schau dir doch einfach unser Video dazu an!

Skalarprodukt, Kreuzprodukt, Vektor
zum Video: Skalarprodukt

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