Lineare Algebra

Kreuzprodukt / Vektorprodukt

Hier erklären wir dir, wie du das Kreuzprodukt zweier Vektoren berechnest. Du möchtest das Kreuzprodukt in kürzester Zeit berechnen können? Dann schau dir unser Video%Verweis dazu an!

Inhaltsübersicht

Kreuzprodukt einfach erklärt

Das Kreuzprodukt (oder Vektorprodukt) von zwei Vektoren \vec{a} und \vec{b} liefert dir als Ergebnis ein Vektor, der auf beiden Vektoren \vec{a} und \vec{b} senkrecht steht.

Kreuzprodukt Formel

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren \vec{a} = \left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array}\right) und \vec{b} = \left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array}\right) berechnest du mit

\vec{a} \times \vec{b} = \left(\begin{array}{c} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{array}\right)

Beispiel: Das Kreuzprodukt der Vektoren \vec{a} = \left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) und \vec{b} = \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) lautet: 

\vec{a} \times \vec{b} = \left(\begin{array}{c} 1 \cdot 0 - 0 \cdot 1 \\ 0 \cdot (-1) - 3 \cdot 0 \\ 3 \cdot 1 - 1 \cdot (-1) \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 4 \end{array}\right)

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Das Kreuzprodukt zweier Vektoren

Hinweis: Der Betrag des Kreuzprodukts |\vec{a}\times \vec{b}| entspricht der Fläche, die von den Vektoren \vec{a} und \vec{b} eingespannt wird.

Kreuzprodukt berechnen

Es gibt eine Methode, das Kreuzprodukt zweier Vektoren \vec{a} = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ -5 \end{array}\right) und \vec{b} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 6 \end{array}\right) zu berechnen, ohne die Formel auswendig lernen zu müssen. Dabei gehst du wie folgt vor:

Schreibe das Kreuzprodukt der beiden Vektoren auf und schreibe die ersten zwei Zeilen nochmal unter die Vektoren

\vec{a} \times \vec{b} = \begin{array}{c} \left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ -5 \end{array}\right) \\ 4 \\ 2 \end{array}\right) \times \begin{array}{c} \left(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 6 \end{array}\right) \\ 0 \\ 4 \end{array}\right)

Nun bestimmst du nach und nach die einzelnen Komponenten des Vektorprodukts. Für die erste Komponente bildest du das Produkt 2 \cdot 6  und ziehst davon (-5) \cdot 4 ab

 

\vec{a} \times \vec{b} = \left(\begin{array}{c} 2 \cdot 6 - (-5) \cdot 4 \\ - \\ - \end{array}\right).

Für den zweiten Wert des Vektorprodukts verschiebst du die Rechnung um eins nach unten.

Das heißt, du rechnest (-5) \cdot 0 - 4 \cdot 6

\vec{a} \times \vec{b} = \left(\begin{array}{c} 2 \cdot 6 - (-5) \cdot 4 \\ (-5) \cdot 0 - 4 \cdot 6 \\ - \end{array}\right).

Verschiebe die Rechnung noch einmal nach unten, um den dritten Wert des Vektorprodukts zu bestimmen.

Du bestimmst also das Produkt 4 \cdot 4 und subtrahierst 2 \cdot 0. Damit erhältst du dann die dritte Komponente vom Kreuzprodukt

\vec{a} \times \vec{b} = \left(\begin{array}{c} 2 \cdot 6 - (-5) \cdot 4 \\ (-5) \cdot 0 - 4 \cdot 6 \\ 4 \cdot 4 - 2 \cdot 0 \end{array}\right).

Also ist das Kreuzprodukt der Vektoren \vec{a} und \vec{b} gegeben durch

\vec{a} \times \vec{b} = \left(\begin{array}{c} 32 \\ -24 \\ 16 \end{array}\right).

Du kannst dir für die Rechnung folgendes merken:

Merke

Für die Komponente eines Kreuzprodukts gilt: Links oben mal rechts unten minus links unten mal rechts oben.

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Beispiel: Vektorprodukt

Betrachte die zwei Vektoren \vec{a} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ -3 \end{array}\right) und \vec{b} = \left(\begin{array}{c} -2 \\ 3 \\ 4 \end{array}\right). Für das Vektorprodukt der beiden Vektoren rechnest du

\vec{a} \times \vec{b} =\left(\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ -3 \end{array}\right) \times \left(\begin{array}{c} -2 \\ 3 \\ 4 \end{array}\right)=  \left(\begin{array}{c} 4 \cdot 4 - (-3) \cdot 3 \\ (-3) \cdot (-2) - 1 \cdot 4 \\ 1 \cdot 3 - 4 \cdot (-2) \end{array}\right) 

und erhältst somit für das Vektorpodukt die Lösung

\vec{a} \times \vec{b} = \left(\begin{array}{c} 25 \\ 2 \\ 11 \end{array}\right).

Kreuzprodukt Anwendung

In diesem Abschnitt geben wir dir ein paar Beispiele, für was du das Kreuzprodukt anwenden kannst.

Senkrechte Vektoren bestimmen

Wenn du zwei Vektoren gegeben hast und einen weiteren Vektor suchst, der auf beiden Vektoren senkrecht steht, so hilft dir das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) weiter, denn das Kreuzprodukt zweier Vektoren \vec{a} und \vec{b} steht sowohl senkrecht auf \vec{a}, als auch auf \vec{b}. Somit sind auch alle skalaren Vielfache vom Kreuzprodukt \lambda \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) Vektoren, die senkrecht auf \vec{a} und \vec{b} stehen.

Der Betrag des Kreuzprodukts

Der Betrag des Kreuzprodukts von \vec{a} und \vec{b} entspricht der Fläche des Parallelogramms, das von den beiden Vektoren aufgespannt wird.

Kreuzprodukt, Vektorprodukt
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Der Betrag des Kreuzprodukts als Flächeninhalt des Parallelogramms

 

So ist zum Beispiel der Flächeninhalt des Parallelogramms, das von den zwei Vektoren \vec{a} = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ -5 \end{array}\right) und \vec{b} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 6 \end{array}\right) aufgespannt wird, gegeben durch

|\vec{a} \times \vec{b}| =\left| \begin{array}{c} \left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ -5 \end{array}\right)  \end{array} \times \begin{array}{c} \left(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 6 \end{array}\right) \end{array}\right| =\left|\left(\begin{array}{c} 32 \\ -24 \\ 16 \end{array}\right)\right|

= \sqrt{32^2 + (-24)^2 + 16^2} = \sqrt{1856}.

Das Volumen eines Spats

Für einen beliebigen Vektor \vec{c} spannen die Vektoren \vec{a}, \vec{b} und \vec{c} einen Spat auf. Dabei bezeichnest du die Formel (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} als das Spatprodukt  und der Betrag des Spatprodukts%Verweis |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}| entspricht dem Volumen des Spats.

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Das Volumen eines Spats

 

Betrachtest du nochmal die Vektoren \vec{a} = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ -5 \end{array}\right) und \vec{b} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 6 \end{array}\right) aus dem ersten Beispiel und den Vektor \vec{c} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right), so lautet das Spatprodukt mit \vec{a} \times \vec{b} = \left(\begin{array}{c} 32 \\ -24 \\ 16 \end{array}\right), wie folgt

\left(\begin{array}{c} 32 \\ -24 \\ 16 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) = 32 \cdot 1 - 24 \cdot 1 + 16 \cdot 1 = 24.

Der Betrag des Spatprodukts |24| = 24 entspricht dem Volumen des Spats.

Kreuzprodukt Eigenschaften

Im Folgenden Abschnitt geben wir dir ein paar Eigenschaften des Kreuzprodukts.

  • Bildest du das Kreuzprodukt eines Vektors \vec{a} mit sich selbst, oder mit einem Vielfachen von \vec{a}, so erhältst du den Nullvektor

\vec{a} \times \lambda \cdot \vec{a} = \vec{0}.

  • Bei der Bildung des Vektorprodukts spielt die Reihenfolge eine Rolle. Denn wenn du die beiden Vektoren vertauschst, so erhältst du als Vektorprodukt den Gegenvektor

\vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a}.

Kreuzprodukt Aufgaben

Im Folgenden Abschnitt geben wir dir zwei Aufgaben mit Lösungen, um das Kreuzprodukt üben zu können.

Aufgabe 1: Kreuzprodukt berechnen

Berechne das Kreuzprodukt der beiden Vektoren \vec{a} = \left(\begin{array}{c} -4 \\ -3 \\ 1 \end{array}\right) und \vec{b} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 3 \end{array}\right).

Lösung Aufgabe 1

Um das Kreuzprodukt zu berechnen, verwendest du die Formel

\vec{a} \times \vec{b} = \left(\begin{array}{c} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{array}\right).

Setze also die Komponenten der beiden Vektoren ein und du erhältst das Kreuzprodukt

\vec{a} \times \vec{b} =\left(\begin{array}{c} -4 \\ -3 \\ 1 \end{array}\right) \times \left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 3 \end{array}\right)= \left(\begin{array}{c} (-3) \cdot 3 - 1 \cdot (-1) \\ 1 \cdot 2 - (-4) \cdot 3 \\ (-4) \cdot (-1) - (-3) \cdot 2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -8 \\ 14 \\ 10 \end{array}\right).

Aufgabe 2: Kreuzprodukt anwenden

Berechne den Flächeninhalt A_{ABC} des Dreiecks mit den Eckpunkten A(1 \vert 1 \vert 1), B(-1 \vert 1 \vert 1) und C(0 \vert 4 \vert 3) .

Lösung Aufgabe 2

Du benötigst zuerst die zwei Vektoren \vec{AB} und \vec{AC}, die das Dreieck aufspannen. Du rechnest also

\vec{AB} = \left(\begin{array}{c} -1 - 1 \\ 1 - 1 \\ 1 - 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -2 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)

\vec{AC} = \left(\begin{array}{c} 0 - 1 \\ 4 - 1 \\ 3 - 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -1 \\ 3 \\ 2 \end{array}\right).

Als nächstes brauchst du das Kreuzprodukt der beiden Vektoren \vec{AB} und \vec{AC}, das du wie folgt berechnest:

\vec{AB} \times \vec{AC} = \left(\begin{array}{c} 0 \cdot 2 - 0 \cdot 3 \\ 0 \cdot (-1) - (-2) \cdot 2 \\ (-2) \cdot 3 - 0 \cdot (-1) \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ -6 \end{array}\right).

Nun berechnest du den Betrag des Kreuzprodukts. Damit hast du dann mit 

|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{0^2 + 4^2 + (-6)^2} = \sqrt{52}

den Flächeninhalt des Parallelogramms, das von den beiden Vektoren aufgespannt wird. Da das Dreieck nur halb so groß ist wie das Parallelogramm, halbierst du das Ergebnis. Somit hast du mit 

A_{ABC} = \frac{\sqrt{52}}{2} = 3,61

den Flächeninhalt des Dreiecks berechnet.

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