Kreuzprodukt / Vektorprodukt
Hier erklären wir dir, wie du das Kreuzprodukt zweier Vektoren berechnest. Du möchtest das Kreuzprodukt in kürzester Zeit berechnen können? Dann schau dir unser Video dazu an!
Kreuzprodukt einfach erklärt
Das Kreuzprodukt (oder Vektorprodukt) von zwei Vektoren und
liefert dir als Ergebnis ein Vektor, der auf beiden Vektoren
und
senkrecht steht.
Das Kreuzprodukt zweier Vektoren und
berechnest du mit
.
Beispiel: Das Kreuzprodukt der Vektoren und
lautet:
Hinweis: Der Betrag des Kreuzprodukts entspricht der Fläche, die von den Vektoren
und
eingespannt wird.
Kreuzprodukt berechnen
Es gibt eine Methode, das Kreuzprodukt zweier Vektoren und
zu berechnen, ohne die Formel auswendig lernen zu müssen. Dabei gehst du wie folgt vor:
Schreibe das Kreuzprodukt der beiden Vektoren auf und schreibe die ersten zwei Zeilen nochmal unter die Vektoren.
Nun bestimmst du nach und nach die einzelnen Komponenten des Vektorprodukts. Für die erste Komponente bildest du das Produkt und ziehst davon
ab.
.
Für den zweiten Wert des Vektorprodukts verschiebst du die Rechnung um eins nach unten.
Das heißt, du rechnest
.
Verschiebe die Rechnung noch einmal nach unten, um den dritten Wert des Vektorprodukts zu bestimmen.
Du bestimmst also das Produkt und subtrahierst
. Damit erhältst du dann die dritte Komponente vom Kreuzprodukt.
.
Also ist das Kreuzprodukt der Vektoren und
gegeben durch
.
Du kannst dir für die Rechnung folgendes merken:
Für die Komponente eines Kreuzprodukts gilt: Links oben mal rechts unten minus links unten mal rechts oben.
Beispiel: Vektorprodukt
Betrachte die zwei Vektoren und
. Für das Vektorprodukt der beiden Vektoren rechnest du
und erhältst somit für das Vektorprodukt die Lösung
.
Kreuzprodukt Anwendung
In diesem Abschnitt geben wir dir ein paar Beispiele, für was du das Kreuzprodukt anwenden kannst.
Senkrechte Vektoren bestimmen
Wenn du zwei Vektoren gegeben hast und einen weiteren Vektor suchst, der auf beiden Vektoren senkrecht steht, so hilft dir das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) weiter, denn das Kreuzprodukt zweier Vektoren und
steht sowohl senkrecht auf
, als auch auf
. Somit sind auch alle skalaren Vielfache vom Kreuzprodukt
Vektoren, die senkrecht auf
und
stehen.
Der Betrag des Kreuzprodukts
Der Betrag des Kreuzprodukts von und
entspricht der Fläche des Parallelogramms, das von den beiden Vektoren aufgespannt wird.
So ist zum Beispiel der Flächeninhalt des Parallelogramms, das von den zwei Vektoren und
aufgespannt wird, gegeben durch
Das Volumen eines Spats
Für einen beliebigen Vektor spannen die Vektoren
,
und
einen Spat auf. Dabei bezeichnest du die Formel
als das Spatprodukt und der Betrag des Spatprodukts
entspricht dem Volumen des Spats.
Betrachtest du nochmal die Vektoren und
aus dem ersten Beispiel und den Vektor
, so lautet das Spatprodukt mit
Der Betrag des Spatprodukts entspricht dem Volumen des Spats.
Kreuzprodukt Eigenschaften
Im Folgenden Abschnitt geben wir dir ein paar Eigenschaften des Kreuzprodukts.
- Bildest du das Kreuzprodukt eines Vektors
mit sich selbst, oder mit einem Vielfachen von
, so erhältst du den Nullvektor
- Bei der Bildung des Vektorprodukts spielt die Reihenfolge eine Rolle. Denn wenn du die beiden Vektoren vertauschst, so erhältst du als Vektorprodukt den Gegenvektor
Weitere Themen der Vektorrechnung
Neben dem Kreuzprodukt gibt es noch weitere Themen, die sich mit Vektoren beschäftigen. Schau dir unbedingt auch unsere Videos zu den folgenden Themen an:
-
Vektor
- Betrag eines Vektors
- Linearkombination
- Winkel zwischen zwei Vektoren
- Einheitsvektor
- Skalarprodukt
- Spatprodukt
Kreuzprodukt Aufgaben
Im Folgenden Abschnitt geben wir dir zwei Aufgaben mit Lösungen, um das Kreuzprodukt üben zu können.
Aufgabe 1: Kreuzprodukt berechnen
Berechne das Kreuzprodukt der beiden Vektoren und
Lösung Aufgabe 1
Um das Kreuzprodukt zu berechnen, verwendest du die Formel
.
Setze also die Komponenten der beiden Vektoren ein und du erhältst das Kreuzprodukt
.
Aufgabe 2: Kreuzprodukt anwenden
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks mit den Eckpunkten
,
und
.
Lösung Aufgabe 2
Du benötigst zuerst die zwei Vektoren und
, die das Dreieck aufspannen. Du rechnest also
.
Als nächstes brauchst du das Kreuzprodukt der beiden Vektoren und
, das du wie folgt berechnest:
Nun berechnest du den Betrag des Kreuzprodukts. Damit hast du dann mit
den Flächeninhalt des Parallelogramms, das von den beiden Vektoren aufgespannt wird. Da das Dreieck nur halb so groß ist wie das Parallelogramm, halbierst du das Ergebnis. Somit hast du mit
den Flächeninhalt des Dreiecks berechnet.