Lineare Algebra

Vektor

In diesem Beitrag erklären wir dir, was ein Vektor ist und was du mit ihm beschreiben kannst.

Du möchtest in kurzer Zeit alles Wichtige zum Thema Vektor erfahren? Dann schau dir unser Video dazu an!

Inhaltsübersicht

Vektor einfach erklärt  

Wähle einen Punkt im Koordinatensystem aus und verschiebe ihn in irgendeine Richtung. Dabei hast du eine Änderung in der x- und y-Koordinate. Diese Verschiebung des Punktes wird Vektor genannt.

Mit einem Vektor kannst du von einem Ausgangspunkt alle Punkte im Raum beschreiben. Ein Vektor in einem Koordinatensystem wird mit einem Pfeil dargestellt.

Vektor
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Ein Vektor

Hinweis: Man unterscheidet Vektoren und Skalare. Ein Skalar stellt dabei einfach eine Zahl dar.

Was ist ein Vektor?  

Stell dir vor, du hast einen Punkt A gegeben, und musst nun einen anderen Punkt B wählen, der eine bestimmte Länge von Punkt A entfernt ist. Verbindest du die beiden Punkte, so erhältst du die Strecke \overline{AB}. Allerdings kannst du aus der Ansicht nicht erkennen, ob die Strecke nun in Richtung B oder in Richtung A verläuft. Um das zu markieren, fügst du eine Pfeilspitze ein. Damit verdeutlichst du in welche Richtung die Strecke geht. Im unteren Bild von A nach B. Dieser Pfeil heißt Vektor von A nach B.

Vektor
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Ein Vektor
Merke

Eine Größe, die durch ihre Länge und Richtung gegeben ist, heißt Vektor.

Zwei Vektoren sind gleich, wenn sie die gleiche Länge haben und in die gleiche Richtung zeigen.

Vektor
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Ein Vektor, der durch verschiedene Pfeile repräsentiert wird

 

Als Notation für Vektoren verwendest du entweder Kleinbuchstaben mit einem Pfeil darüber, wie zum Beispiel \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \dots oder den Start- und Endpunkt eines Vektors mit einem Pfeil darüber, zum Beispiel \vec{AB}, \vec{PQ}, \dots.

Lage von Vektoren

Im folgenden Abschnitt erklären wir dir, wie verschiedene Vektoren zueinander liegen können.

Ein Vektor \vec{b} ist parallel zu einem Vektor \vec{a}, wenn er entweder in die gleiche oder in die entgegengesetzte Richtung (\vec{c}) zeigt.

Vektor, parallele Vektoren
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Parallele Vektoren

Ein Vektor \vec{b} heißt Gegenvektor zu einem Vektor \vec{a}, wenn \vec{b} parallel zu \vec{a} ist, gleich lang ist und in die entgegengesetzte Richtung zeigt. Dabei ist der Gegenvektor von \vec{a} gleich -\vec{a}. Es ist also \vec{a}=\vec{b}=-\vec{c}

Vektor, Gegenvektor
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Gegenvektor

Zwei Vektoren \vec{a} und \vec{b} stehen senkrecht aufeinander, wenn der Winkel, den die beiden Vektoren einspannen, 90^{\circ} beträgt.

Vektor, orthogonale Vektoren, Senkrechte Vektoren
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Senkrechte Vektoren

Vektoren in einem Koordinatensystem  

In einem Koordinatensystem kannst du jeden Punkt durch seine Koordinatendarstellung A(a_1 \vert a_2) beschreiben. Dabei ist der Punkt A um a_1 Längeneinheiten entlang der x-Achse, und um a_2 Längeneinheiten entlang der y-Achse vom Ursprung O(0 \vert 0) aus verschoben. Damit definiert der Punkt A also einen Vektor

\vec{a} = \vec{OP} = \left(\begin{array}{c} a_1 - 0 \\ a_2 - 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \end{array}\right).

Vektor, Vektoren
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Vektoren definiert durch Punkte im Koordinatensystem

Dabei stellt a_1 die Verschiebung in der x-Achse und a_2 die Verschiebung in der y-Achse dar.

Analog gilt das auch für die Vektoren im Raum

\vec{a} = \left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array}\right).

Beispiel

Startest du am Ursprung und gehst -1 Längeneinheiten entlang der x-Achse und 3 Längeneinheiten entlang der y-Achse, so landest du beim Punkt A(-1 \vert 3) und damit hast du den Vektor 

\vec{a} = \left(\begin{array}{c} -1 \\ 3 \end{array}\right).

Oder betrachtest du zum Beispiel den Punkt B(4 \vert -1). Dieser ist um 4 entlang der x-Achse und um -1 entlang der y-Achse verschoben. Dieser Punkt wird durch folgenden Vektor beschrieben.

\vec{b} = \left(\begin{array}{c} 4 \\ -1 \end{array}\right)

Vektoren im Koordinatensystem, Vektor, Vektoren
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Zwei Vektoren durch Punkte im Koordinatensystem definiert

 

Vektoren durch zwei Punkte berechnen  

Hier zeigen wir dir, wie du einen Vektor berechnen kannst, wenn du zwei Punkte zur Verfügung hast.

Hast du zwei Punkte A=( a_1 \vert a_2  ) und B=(b_1 \vert b_2  ) gegeben, so kannst du den Vektor \vec{AB} folgendermaßen berechnen. 

\vec{AB} = \left(\begin{array}{c} b_1 - a_1 \\ b_2 - a_2  \end{array}\right)

Merke

Um den Vektor zwischen zwei Punkten zu berechnen, rechnest du Pfeilspitze minus Fuß.

Beispiel

Betrachte zum Beispiel die zwei Punkte A=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 5 \end{array}\right) und B=\left(\begin{array}{c} -3 \\ -1 \end{array}\right). Um die Verschiebung in der x-Achse zu berechnen, rechnest du einfach die x-Koordinate von B minus die x-Koordinate von A.

\vec{AB}_x = b_1 - a_1 = -3 - 1 = -4

Das gleiche machst du auch, um die Verschiebung in der y-Achse zu berechnen. Du rechnest also die y-Koordinate von B minus die y-Koordinate von A.

\vec{AB}_y = b_2 - a_2 = -1 - 5 = -6

Somit erhältst du den Vektor

\vec{AB} = \left(\begin{array}{c} -4 \\ -6 \end{array}\right).

Vektor, Vektor berechnen
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Der Vektor von A nach B

 

Unterschied Ortsvektor und Richtungsvektor

Man unterscheidet zwischen zwei Arten von Vektoren: Ortsvektoren und Richtungsvektoren/Verbindungsvektoren.

Ortsvektoren haben ihren Startpunkt immer am Ursprung und werden mit \vec{OP} oder \vec{p} bezeichnet. So lautet zum Beispiel der Ortsvektor zum Punkt P(2 \vert 3)

\vec{OP} = \left(\begin{array}{c} 2 - 0 \\ 3 - 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array}\right).

Richtungsvektoren bzw. Verbindungsvektoren hingegen können ihren Startpunkt an jedem beliebigen Punkt haben und haben dementsprechend in ihrer Notation den Start- und Endpunkt, wie etwa \vec{AP}. Zum Beispiel lautet der Richtungsvektor zwischen A(4 \vert 1) und P(2 \vert 3)

\vec{AP} = \left(\begin{array}{c} 2 - 4 \\ 3 - 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -2 \\ 2 \end{array}\right).

Ortsvektor, Richtungsvektor, Vektor
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Ortsvektor und Richtungsvektor

Länge eines Vektors

Ein Vektor besitzt immer eine gewissen Länge. Wenn du also einen Vektor \vec{a}=\left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array}\right) gegeben hast, so kannst du seine Länge wie folgt berechnen.

|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}

Das heißt, du quadrierst erst die Komponenten des Vektors und ziehst dann von der Summe die Wurzel.

Beispiel

Es sei der Vektor \vec{v}=\left(\begin{array}{c} -3 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right) gegeben und du willst jetzt seine Länge bestimmen. Du rechnest also

|\vec{v}| = \sqrt{(-3)^2+2^2+(-1)^2}=\sqrt{14}.

Möchtest du mehr Beispiele sehen? Dann schau dir unseren extra Beitrag Betrag eines Vektors dazu an!

Vektoren addieren und subtrahieren  

Eine Vektoraddition oder Vektorsubtraktion erfolgt immer komponentenweise. Hast du also zwei Vektoren \vec{a} = \left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array}\right) und \vec{b} = \left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array}\right), so rechnest du

\vec{a} \pm \vec{b} = \left(\begin{array}{c} b_1 \pm a_1 \\ b_2 \pm a_2 \\ b_3 \pm a_3 \end{array}\right).

Beispiel

Um die zwei Vektoren \vec{a} = \left(\begin{array}{c} -5 \\ 2  \end{array}\right) und \vec{b} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \end{array}\right) zu addieren, zählst du die Komponenten Zeile für Zeile zusammen. Du erhältst somit

\vec{a} + \vec{b} = \left(\begin{array}{c} -5 +1 \\ 2 - 2  \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -4 \\ 0  \end{array}\right).

Analog gehst du bei der Subtraktion vor.

\vec{a} - \vec{b} = \left(\begin{array}{c} -5 - 1 \\ 2 + 2  \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -6 \\ 4  \end{array}\right)

Vektor, Vektoren addieren, Vektoren subtrahieren
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Addition und Subtraktion zweier Vektoren

Skalarmultiplikation  

Willst du einen Vektor \vec{a} = \left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array}\right) verlängern oder verkürzen, so multiplizierst du ihn mit einer reellen Zahl \lambda, indem du jede Komponente einzeln mit \lambda multiplizierst.

\lambda \cdot \vec{a} = \left(\begin{array}{c} \lambda \cdot a_1 \\ \lambda \cdot a_2 \\ \lambda \cdot a_3 \end{array}\right).

Beispiel

Möchtest du zum Beispiel den Vektor \vec{a} = \left(\begin{array}{c} 3 \\ -2  \end{array}\right) um 50% verlängern, so multiplizierst den Vektor mit \lambda = 1,5. Dabei erhältst du

1,5 \cdot \vec{a} = \left(\begin{array}{c} 1,5 \cdot 3 \\ 1,5 \cdot  (-2)  \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 4,5 \\ -3  \end{array}\right).

Skalarmultiplikation
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Skalarmultiplikation

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt ist eine Abbildung, die zwei Vektoren nimmt und daraus eine reelle Zahl produziert. Hast du zwei Vektoren \vec{a} = \left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array}\right) und \vec{b} = \left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array}\right) gegeben, so ist das Skalarprodukt wie folgt definiert.

\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3

Ist dabei das Skalarprodukt gleich 0, so stehen die zwei Vektoren senkrecht aufeinander.

Das Skalarprodukt kann dir dabei helfen, die Länge eines Vektors zu bestimmen, denn für die Länge rechnest du

|\vec{a}| = \sqrt{a_1\cdot a_1 + a_2 \cdot a_2 + a_3 \cdot a_3} = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}}.

Eine weitere Verwendung des Skalarprodukts ist die Berechnung des Winkels \theta zwischen zwei Vektoren \vec{a} und \vec{b}. Dafür benutzt du die Formel

\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|},

die im Zähler das Skalarprodukt der beiden Vektoren \vec{a} und \vec{b} enthält.

Beispiel

Betrachte die Vektoren \vec{a} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ -4 \end{array}\right) und \vec{b} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ -1 \end{array}\right). Ihr Skalarprodukt lautet

\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 1 + 2 \cdot (-3) + (-4) \cdot (-1) = 0.

Da das Skalarprodukt gleich 0 ist, stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander.

Vektor Linearkombination

Wie du in den vorherigen Abschnitt gesehen hast, kannst du Vektoren addieren, subtrahieren und mit einem Vielfachen multiplizieren. Dabei heißt jede Summe von Vektoren \vec{v}_1,\ldots, \vec{v}_n Linearkombination .

\vec{v} = \lambda_1 \cdot \vec{v}_1 + \dots + \lambda_n \cdot \vec{v}_n

\lambda_1,\ldots, \lambda_n sind dabei irgendwelche Zahlen.

Linearkombination
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Linearkombination

Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren

Vektoren v_1 bis v_n heißen linear abhängig , wenn sich einer der Vektoren durch eine Linearkombination der anderen darstellen lässt. Wenn du zum Beispiel zwei Vektoren \vec{v_1} und \vec{v_2} hast, so sind sie linear abhängig, wenn es ein \lambda gibt, sodass

\vec{v_1} = \lambda \cdot \vec{v_2}.

Graphisch veranschaulicht bedeutet das, dass sie entweder in die gleiche oder entgegengesetzte Richtung zeigen (blauer und lila Vektor). Dagegen sind sie linear unabhängig, wenn sie in zwei verschiedene Richtungen zeigen (blauer und grüner Vektor).

linear unabhängige Vektoren, linear abhängige Vektoren
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Linear abhängige und unabhängige Vektoren 2D

Drei Vektoren \vec{v_1}, \vec{v_2} und \vec{v_3} sind linear abhängig, wenn es ein \lambda und ein \mu gibt, sodass 

\vec{v_1} = \lambda \cdot \vec{v_2} + \mu \cdot \vec{v_3}.

Graphisch bedeutet das, dass alle drei Vektoren in der gleichen Ebene liegen (blaue und grüne Vektoren), zeigt jedoch ein Vektor aus der Ebene heraus, so sind sie linear unabhängig (blaue und lila Vektoren).

linear unabhängige Vektoren, linear abhängige Vektoren
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Linear abhängige und unabhängige Vektoren 3D

Vektor Kreuzprodukt

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren \vec{a} = \left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array}\right) und \vec{b} = \left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array}\right) liefert dir ein Vektor, der sowohl senkrecht zu \vec{a} als auch senkrecht zu \vec{b} steht. Das Kreuzprodukt berechnet sich folgendermaßen.

\vec{a} \times \vec{b} = \left(\begin{array}{c} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2-a_2b_1 \end{array}\right)

Beispiel

Du hast die Vektoren \vec{a} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) und \vec{b} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 0 \end{array}\right) gegeben. Ihr Kreuzprodukt lautet

\vec{a} \times \vec{b} = \left(\begin{array}{c} 2 \cdot 0 - 0 \cdot 3 \\ 0 \cdot 0 - 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 3 - 2 \cdot 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array}\right).

Vektor, Kreuzprodukt
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Das Kreuzprodukt zweier Vektoren

Weitere Themen der Vektorrechnung

Es gibt noch weitere Themen, die sich mit Vektoren beschäftigen. Schau dir unbedingt auch unsere Videos zu den folgenden Themen an:%verlinken%verlinken

Vektoren Aufgaben

In diesem Abschnitt geben wir dir zwei Aufgaben, mit denen du die Berechnung eines Vektors üben kannst.

Aufgabe 1: Vektoren berechnen im \mathbb{R}^2

Berechne den Vektor, der durch die zwei Punkte A=(0 \vert -3) und B=(-5 \vert 5) gegeben ist.

Lösung Aufgabe 1

Um den Vektor zu berechnen, bedienst du dich der Regel „Spitze minus Fuß“. Das heißt, zuerst berechnest du die Verschiebung entlang der x-Achse

b_1 - a_1 = -5 -0 = -5,

und dann die Verschiebung entlang y-Achse

b_2 - a_2 = 5 - (-3) = 8.

Damit erhältst du dann den Vektor

\vec{AB} = \left(\begin{array}{c} -5 - 0 \\ 5 - (-3) \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -5 \\ 8 \end{array}\right).

Aufgabe 2: Vektoren berechnen im \mathbb{R}^3

Du hast die Punkte A=(4 \vert -1 \vert 5), B=(0 \vert 4 \vert 2) gegeben. Berechne den dazugehörigen Vektor \vec{AB}.

Lösung Aufgabe 2

Auch in dieser Aufgabe berechnest du den Vektor, indem du die Koordinaten von B minus die Koordinaten von A rechnest. Du rechnest also

\vec{AB} = \left(\begin{array}{c} 0 - 4 \\ 4 - (-1) \\ 2 - 5 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -4 \\ 5 \\ -3 \end{array}\right).

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