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Betrag eines Vektors

Wichtige Inhalte in diesem Video

Betrag eines Vektors einfach erklärt

(00:14)

Betrag eines Vektors berechnen

(00:22)

Betrag eines Vektors in der Ebene

(01:07)

Betrag eines Vektors und Einheitsvektor

(02:29)

In diesem Beitrag erklären wir dir, wie du den Betrag eines Vektors berechnest. Du möchtest das Thema verständlich erklärt bekommen? Dann schau dir unser Video an!

Inhaltsübersicht

Betrag eines Vektors einfach erklärt

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(00:14)

Der Betrag eines Vektors entspricht der Länge eines Vektors.

Um den Betrag eines Vektors $\textcolor{blue}{\vec{v}} = \left(\begin{array}{c} \textcolor{magenta}{v_1} \\ \textcolor{teal}{v_2} \end{array}\right)$ zu berechnen, verwendest du folgende Formel:

$| \textcolor{blue}{\vec{v}} | = \sqrt{\textcolor{magenta}{v_1}^2 + \textcolor{teal}{v_2}^2 }$

Beispiel: Berechne den Betrag des Vektors $\textcolor{blue}{\vec{v}} = \left(\begin{array}{c} \textcolor{magenta}{6} \\ \textcolor{teal}{-3} \end{array}\right)$ .

$| \textcolor{blue}{\vec{v}} | = \sqrt{\textcolor{magenta}{6}^2 + (\textcolor{teal}{-3})^2 } = \sqrt{45}$

Betrag eines Vektors

Du bestimmst die Länge eines Vektors, indem du seinen Betrag berechnest. Der Betrag eines Vektors ist stets eine reelle Zahl (Skalar). Sie ist immer positiv, außer beim Nullvektor. Da der Nullvektor eine Länge von Null hat, ist auch der Betrag gleich Null.

Betrag eines Vektors berechnen

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(00:22)

Du kannst die Länge eines Vektors berechnen, indem du zuerst die Komponenten von $\vec{v}$ quadrierst und dann von der Summe die Wurzel ziehst.

Das ist nichts anderes, als die Wurzel aus dem Skalarprodukt des Vektors.

$| \vec{v} | = \sqrt{\vec{v} \cdot \vec{v}}=\sqrt{v_1^2 + v_2^2 }$

Beispiel: Betrag eines Vektors in der Ebene

Schau dir zum Beispiel den Vektor $\vec{v} = \left(\begin{array}{c} 3 \\ -4 \end{array}\right)$ an. Um seinen Betrag zu berechnen, quadrierst du zuerst seine Komponenten

$v_1^2 = 3^2 = 9$

$v_2^2 = (-4)^2 = 16$

und ziehst dann von der Summe die Wurzel. Du erhältst also die Länge

$| \vec{v} | = \sqrt{9 + 16} = 5$

Beispiel: Betrag eines Vektors im Raum

Analog berechnest du auch den Betrag eines Vektors im Raum. Betrachte dafür zum Beispiel den Vektor $\vec{v} = \left(\begin{array}{c} -2 \\ 3 \\ -6 \end{array}\right)$ . Zuallererst benötigst du die Quadrate der Komponenten von $\vec{v}$ . Du rechnest also

$v_1^2 = (-2)^2 = 4$

$v_2^2 = 3^2 = 9$

$v_3^2 = (-6)^2 = 36$

Dann zählst du die Quadrate zusammen und ziehst von der Summe die Wurzel. Damit erhältst du den Betrag

$| \vec{v} | = \sqrt{4 + 9 + 36} = 7$

Betrag eines Vektors in der Ebene

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(01:07)

Schauen wir uns im Folgenden etwas genauer an, wie du auf die Formel für den Betrag kommst. Dafür beschränken wir uns in diesem Abschnitt auf Vektoren $\vec{v} = \left(\begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \end{array}\right)$ der Ebene.

Die Komponente v_1 stellt die Änderung in der x-Koordinate dar, und v_2 die Änderung in der y-Koordinate. Somit kannst du das Ganze als rechtwinkliges Dreieck darstellen,

Betrag eines Vektors, Länge eines Vektors — Die Länge eines Vektors als Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks

wobei der Vektor $\vec{v}$ die Hypotenuse des Dreiecks ist. Du kannst damit die Länge des Vektors $\vec{v}$ mit dem Satz des Pythagoras berechnen. Du berechnest

$| \vec{v} |^2 = v_1^2 + v_2^2$

und erhältst damit die Länge

$| \vec{v} | = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}$

Betrag eines Vektors und Einheitsvektor

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(02:29)

Unter den Vektoren gibt es bestimmte Arten, die einen Betrag von 1 haben. Diese Vektoren heißen Einheitsvektoren . Du kannst zu jedem Vektor $\vec{v}$ , der nicht der Nullvektor ist, einen Einheitsvektor $\vec{e}_v$ bestimmen

$\vec{e}_v = \frac{1}{|\vec{v}|} \cdot \vec{v}$

Dabei wird also der Vektor $\vec{v}$ durch seine Länge $|\vec{v}|$ geteilt. Man spricht dann von einem normierten Vektor.

Betrag eines Vektors Eigenschaften

Im Folgenden zeigen wir dir ein paar Eigenschaften des Betrags.

$|\vec{v}| \geq 0$

Es gibt keinen Vektor, der eine negative Länge hat.

$|\vec{v}| = 0 \Leftrightarrow \vec{v} = \vec{0}$

Der einzige Vektor, der die Länge 0 hat, ist der Nullvektor.

$|\vec{v}| = |-\vec{v}|$

Ein Vektor hat die gleiche Länge wie sein Gegenvektor.

$|\lambda \cdot \vec{v}| = |\lambda| \cdot |\vec{v}|$

Es macht keinen Unterschied, ob du erst die Länge eines Vektors berechnest, nachdem du den Vektor mit $\lambda$ multipliziert hast, oder die Länge eines Vektors mit $|\lambda|$ multiplizierst.

$|\vec{a} \pm \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}|$

Die Summe zweier Vektoren ist höchstens so lang wie die Summe beider Längen.

Betrag Vektor Definition

Unter einem Vektor kannst du dir die Menge aller Pfeile vorstellen, die gleich lang sind und parallel in die gleiche Richtung zeigen. Die übereinstimmende Länge dieser Pfeile nennst du dann Betrag.

Betrag eines Vektors Aufgaben

Im Folgenden geben wir dir zwei Aufgaben mit Lösungen, um die Berechnung der Länge eines Vektors zu üben.

Aufgabe 1: Betrag eines Vektors in der Ebene berechnen

Hier sollst du die Länge eines Vektors berechnen.

a) $\vec{a} = \left(\begin{array}{c} -5 \\ 3 \end{array}\right)$

b) $\vec{b} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \end{array}\right)$

Lösung Aufgabe 1

a) Um die Länge des Vektors $\vec{a}$ zu berechnen, quadrierst du zuerst die Komponenten und ziehst dann von der Summe die Wurzel. Du rechnest also

$|\vec{a}| = \sqrt{(-5)^2 + 3^2} = \sqrt{34}$

b) $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 0^2} = 2$ .

Aufgabe 2: Betrag eines Vektors im Raum berechnen

Bestimme den Betrag der folgenden Vektoren.

a) $\vec{a} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ -4 \end{array}\right)$

b) $\vec{b} = \left(\begin{array}{c} -1 \\ -2 \\ 3 \end{array}\right)$

Lösung Aufgabe 2

a) Auch mit einer Komponente mehr, berechnest du den Betrag von $\vec{a}$ durch Quadrieren der Komponenten und anschließendem Wurzelziehen der Summe

$|\vec{a}| = \sqrt{0^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{20}$

b) $|\vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{14}$

Weitere Themen der Vektorrechnung

Neben dem Betrag eines Vektors gibt es noch weitere Themen, die sich mit Vektoren beschäftigen. Schau dir unbedingt auch unsere Videos zu den folgenden Themen an:

Du kannst die Länge eines Vektors berechnen, indem du die Wurzel aus seinem Skalarprodukt ziehst. Was es genau mit dem Skalarprodukt von Vektoren auf sich hat, erfährst du in unserem Video !