Lineare Algebra

Betrag eines Vektors

In diesem Beitrag erklären wir dir, wie du den Betrag eines Vektors berechnest. Du möchtest das Thema verständlich erklärt bekommen? Dann schau dir unser Video  an!

Inhaltsübersicht

Betrag eines Vektors einfach erklärt  

Der Betrag eines Vektors entspricht der Länge eines Vektors.

Um den Betrag eines Vektors \vec{v} = \left(\begin{array}{c} v_1 \\ v_2  \end{array}\right) zu berechnen, verwendest du folgende Formel

Betrag eines Vektors

| \vec{v} | = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 }.

Betrag eines Vektors, Länge eines Vektors
direkt ins Video springen
Der Betrag eines Vektors

Merke: Der Betrag eines Vektors ist nichts anderes als die Länge eines Vektors.

Betrag eines Vektors berechnen  

Nach der oberen Formel berechnest du also die Länge eines Vektors, indem du zuerst die Komponenten von \vec{v} quadrierst und dann von der Summe die Wurzel ziehst.

Das ist nichts anderes, als die Wurzel aus dem Skalarprodukt  des Vektors.

| \vec{v} | = \sqrt{\vec{v} \cdot \vec{v}}=\sqrt{v_1^2 + v_2^2 }

Beispiel: Betrag eines Vektors in der Ebene

Schau dir zum Beispiel den Vektor \vec{v} = \left(\begin{array}{c} 3 \\ -4 \end{array}\right) an. Um seinen Betrag zu berechnen, quadrierst du zuerst seine Komponenten

v_1^2 = 3^2 = 9

v_2^2 = (-4)^2 = 16

und ziehst dann von der Summe die Wurzel. Du erhältst also die Länge

| \vec{v} | = \sqrt{9 + 16} = 5.

Beispiel: Betrag eines Vektors im Raum

Analog berechnest du auch den Betrag eines Vektors im Raum. Betrachte dafür zum Beispiel den Vektor \vec{v} = \left(\begin{array}{c} -2 \\ 3 \\ -6 \end{array}\right). Zuallererst benötigst du die Quadrate der Komponenten von \vec{v}. Du rechnest also

v_1^2 = (-2)^2 = 4

v_2^2 = 3^2 = 9

v_3^2 = (-6)^2 = 36.

Dann zählst du die Quadrate zusammen und ziehst von der Summe die Wurzel. Damit erhältst du den Betrag

| \vec{v} | = \sqrt{4 + 9 + 36} = 7.

Betrag eines Vektors in der Ebene  

Schauen wir uns im Folgenden etwas genauer an, wie du auf die Formel für den Betrag kommst. Dafür beschränken wir uns in diesem Abschnitt auf Vektoren \vec{v} = \left(\begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \end{array}\right) der Ebene.

Die Komponente v_1 stellt die Änderung in der x-Koordinate dar, und v_2 die Änderung in der y-Koordinate. Somit kannst du das Ganze als rechtwinkliges Dreieck darstellen,

Betrag eines Vektors, Länge eines Vektors
direkt ins Video springen
Die Länge eines Vektors als Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks

wobei der Vektor \vec{v} die Hypotenuse des Dreiecks ist. Du kannst damit die Länge des Vektors \vec{v} mit dem Satz des Pythagoras berechnen. Du berechnest

| \vec{v} |^2 = v_1^2 + v_2^2 

und erhältst damit die Länge

| \vec{v} | = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}. 

Betrag eines Vektors und Einheitsvektor  

Unter den Vektoren gibt es bestimmte Arten, die einen Betrag von 1 haben. Diese Vektoren heißen Einheitsvektoren . Du kannst zu jedem Vektor \vec{v}, der nicht der Nullvektor ist, einen Einheitsvektor \vec{e}_v bestimmen

\vec{e}_v = \frac{1}{|\vec{v}|} \cdot \vec{v}.

Dabei wird also der Vektor \vec{v} durch seine Länge |\vec{v}| geteilt. Man spricht dann von einem normierten Vektor.

Betrag eines Vektors Eigenschaften

Im Folgenden zeigen wir dir ein paar Eigenschaften des Betrags.

  • |\vec{v}| \geq 0

Es gibt keinen Vektor, der eine negative Länge hat.

  • |\vec{v}| = 0 \Leftrightarrow \vec{v} = \vec{0}

Der einzige Vektor, der die Länge 0 hat, ist der Nullvektor.

  • |\vec{v}| = |-\vec{v}|

Ein Vektor hat die gleiche Länge wie sein Gegenvektor.

  • |\lambda \cdot \vec{v}| = |\lambda| \cdot |\vec{v}|

Es macht keinen Unterschied, ob du erst die Länge eines Vektors berechnest, nachdem du den Vektor mit \lambda multipliziert hast, oder die Länge eines Vektors mit |\lambda| multiplizierst.

  • |\vec{a} \pm \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}|

Die Summe zweier Vektoren ist höchstens so lang wie die Summe beider Längen.

Weitere Themen der Vektorrechnung

Neben dem Betrag eines Vektors gibt es noch weitere Themen, die sich mit Vektoren beschäftigen. Schau dir unbedingt auch unsere Videos zu den folgenden Themen an:

Betrag eines Vektors Aufgaben

Im Folgenden geben wir dir zwei Aufgaben mit Lösungen, um die Berechnung des Betrags eines Vektors zu üben.

Aufgabe 1: Betrag eines Vektors in der Ebene berechnen

Berechne den Betrag der folgenden Vektoren.

a) \vec{a} = \left(\begin{array}{c} -5 \\ 3 \end{array}\right)

b) \vec{b} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \end{array}\right)

Lösung Aufgabe 1

a) Um den Betrag des Vektors \vec{a} zu berechnen, quadrierst du zuerst die Komponenten und ziehst dann von der Summe die Wurzel. Du rechnest also

|\vec{a}| = \sqrt{(-5)^2 + 3^2} = \sqrt{34}.

b) |\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 0^2} = 2.

Aufgabe 2: Betrag eines Vektors im Raum berechnen

Bestimme den Betrag der folgenden Vektoren.

a) \vec{a} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ -4 \end{array}\right)

b) \vec{b} = \left(\begin{array}{c} -1 \\ -2 \\ 3 \end{array}\right)

Lösung Aufgabe 2

a) Auch mit einer Komponente mehr, berechnest du den Betrag von \vec{a} durch Quadrieren der Komponenten und anschließendem Wurzelziehen der Summe

|\vec{a}| = \sqrt{0^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{20}.

b) |\vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{14}.

Hallo, leider nutzt du einen AdBlocker.

Auf Studyflix bieten wir dir kostenlos hochwertige Bildung an. Dies können wir nur durch die Unterstützung unserer Werbepartner tun.

Schalte bitte deinen Adblocker für Studyflix aus oder füge uns zu deinen Ausnahmen hinzu. Das tut dir nicht weh und hilft uns weiter.

Danke!
Dein Studyflix-Team

Wenn du nicht weißt, wie du deinen Adblocker deaktivierst oder Studyflix zu den Ausnahmen hinzufügst, findest du hier eine kurze Anleitung. Bitte lade anschließend die Seite neu.