Welche Eigenschaften hat ein Bernoulli-Experiment?

Ein Bernoulli-Experiment hat genau zwei mögliche Ausgänge, die man als Treffer und Niete bezeichnet. Die Wahrscheinlichkeiten ergänzen sich immer zu 1, also gilt für die Niete . Außerdem ist der Erwartungswert der Zufallsvariable gleich . Die Varianz ist und die Standardabweichung ist .

Welche Beispiele gibt es für Bernoulli-Experimente?

Bernoulli-Experimente sind zum Beispiel ein Münzwurf mit den Ausgängen Kopf (Treffer) oder Zahl (Niete). Ein weiteres Beispiel ist Würfeln, wenn man nur betrachtet, ob eine 6 fällt oder keine 6. In beiden Fällen lässt sich die Situation als Ja‑Nein‑Frage formulieren.

Was ist kein Bernoulli-Experiment?

Kein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsversuch, bei dem man mehr als zwei verschiedene Ausgänge gleichzeitig unterscheidet. Ein normales Würfelexperiment, bei dem die Ergebnisse 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 einzeln gezählt werden, hat sechs Ausgänge und passt deshalb nicht. Erst wenn man zu zwei Gruppen zusammenfasst, wird es ein Bernoulli-Experiment.

Welche Beispiele gibt es für Bernoulli-Ketten?

Beispiele für Bernoulli-Ketten sind mehrere gleiche Münzwürfe hintereinander, bei denen man zählt, wie oft Kopf fällt. Genauso ist mehrmaliges Würfeln eine Bernoulli-Kette, wenn man jedes Mal nur prüft, ob eine 6 fällt oder nicht. Dabei bleibt die Trefferwahrscheinlichkeit in jedem Durchgang gleich.

Video

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Bernoulli Experiment

Wichtige Inhalte in diesem Video

Bernoulli Experiment einfach erklärt

(00:14)

Bernoulli Experiment Beispiele

(01:01)

Bernoulli Experiment Eigenschaften

(01:46)

Von Bernoulli zur Binomialverteilung

(02:52)

Willst du wissen, woran du ein Bernoulli Experiment erkennst und wie du damit rechnen kannst? Das erfährst du im Artikel und in unserem Video!

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Inhaltsübersicht

Bernoulli Experiment einfach erklärt

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(00:14)

Bei einem Bernoulli Experiment hast du immer genau zwei mögliche Ereignisse. Ein Beispiel dafür ist der Münzwurf, bei dem du die Ereignisse „Kopf“ und „Zahl“ betrachtest. Die nennst du auch Treffer oder Niete. Willst du zum Beispiel „Kopf“ werfen, ist das dein Treffer.

Bei einer fairen Münze ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=½. Bei einem Bernoulli Experiment weißt du dann automatisch die Wahrscheinlichkeit für eine Niete („Zahl“). Das ist immer die Gegenwahrscheinlichkeit q = 1 – p, also im Beispiel ebenfalls ½.

Bernoulli Experiment Definition

Bei einem Bernoulli Experiment betrachtest du eine Zufallsvariabel X, die Bernoulli-verteilt ist. Das bedeutet, dass dein Zufallsexperiment nur zwei Versuchsausgänge haben darf. Die beiden Ereignisse kannst du dann als Treffer oder Niete bezeichnen, deren Wahrscheinlichkeiten zusammen gerechnet immer 1 ergeben: p + q = 1.

Wenn du dasselbe Bernoulli Experiment mehrere Male hintereinander durchführst, nennst du das eine Bernoulli Kette (Binomialverteilung). Die Wahrscheinlichkeit für k Treffer bei n Durchgängen berechnest du mit der Formel von Bernoulli:

$P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k}$

Schau dir jetzt gleich ein Beispiel für ein Bernoulli Experiment an.

Bernoulli Experiment Beispiele

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(01:01)

Achtest du beim Würfeln nur darauf, ob du eine 6 würfelst oder nicht, ist das auch ein Bernoulli Experiment. Es gibt beim Würfeln zwar 6 verschiedene Ergebnisse {1, 2, 3, 4, 5, 6}, du betrachtest aber nur das Ereignis „6“ oder „keine 6“. Hier wäre das Ereignis „eine 6 würfeln“ der Treffer. Die Niete wäre dann „keine 6 würfeln“.

Du erkennst ein Bernoulli Experiment auch daran, dass die Ereignisse als Ja- und Nein-Fragen formuliert werden können:

Hast du eine 6 gewürfelt? → Ja/Nein
Hast du keine 6 gewürfelt? → Ja/Nein

Wie groß sind jetzt die Wahrscheinlichkeiten bei dem Bernoulli Experiment? Die Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu würfeln, ist $\frac{1}{6}$ :

$p=\frac{1}{6}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass du keine 6 würfelst, muss dann wieder 1 – p sein:

$1-p=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$

Schau dir nun am besten noch einige Eigenschaften des Bernoulliexperiments an.

Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich

Bernoulli Experiment Eigenschaften

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(01:46)

Eine Eigenschaft kennst du schon: Bei einem Bernoulli Experiment hast du nur zwei Ereignisse, also auch nur zwei Wahrscheinlichkeiten.

Bernoulli Wahrscheinlichkeiten

P(„Treffer“) = p

P(„Niete“) = 1 – p

Schau dir gleich noch weitere Eigenschaften an.

Erwartungswert

Den Erwartungswert berechnest du beim Bernoulli Experiment so:

E[X] = p

Bei dem Beispiel mit „6 würfeln“ wäre der Erwartungswert $\frac{1}{6}$ :

$E[X]=\frac{1}{6}$

Den Erwartungswert brauchst du auch, um die Varianz auszurechnen.

Varianz

Die Varianz kannst du dir als Streuung um den Erwartungswert herum vorstellen. Dabei berechnest du den Erwartungswert nicht von deiner Zufallsvariable, sondern von der mittleren quadratischen Abweichung:

V[X] = E[(X-E[X])²]

Beim Bernoulli Experiment musst du dir aber nur diese Formel merken:

V[X] = p • (1 – p)

Bei dem Beispiel wäre die Varianz $\frac{5}{36}$

$V[X]=p\cdot(1-p)=\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}=\frac{5}{36}$

Jetzt kannst du dir noch die letzte Eigenschaft eines Bernoulli Experiment angucken.

Standardabweichung

Die Standardabweichung ist nur noch die Wurzel aus der Varianz:

$\mathbf{\sigma=\sqrt{V[X]}=\sqrt{p\cdot(1-p)}}$

Jetzt kannst du dir nochmal anschauen, was passiert, wenn du ein Bernoulli Experiment mehrmals hintereinander durchführst.

Von Bernoulli zur Binomialverteilung

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(02:52)

Führst du ein Bernoulli-Experiment mehrmals durch, hast du eine Bernoulli Kette. Schau dir dafür nochmal das Beispiel mit dem Würfel an. Deine Ereignisse sind bei diesem Versuch: „6 würfeln“ oder „keine 6 würfeln“. Aber was ist, wenn du zweimal oder sogar noch öfter würfelst? Dann kannst du ein Baumdiagramm zeichnen:

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Stell dir jetzt vor, du würfelst 4 mal. Dabei willst 2 mal eine 6 würfeln und 2 mal keine 6. Wie wahrscheinlich ist das?

Dafür musst du zählen, wie viele Äste mit 2 mal 6 und 2 mal keine 6 vorkommen. Das sind genau 6 Äste! Die Anzahl der Äste kannst du aber auch mit dem Binomialkoeffizienten bestimmen:

$\binom{4}{2} = 6$

Als Nächstes brauchst du die Wahrscheinlichkeit für jeden Weg. Dafür musst du einfach alle Wahrscheinlichkeiten multiplizieren, an denen du vorbeiläufst. Für deinen ersten Weg ganz links ist die Wahrscheinlichkeit: $\frac{1}{6}^2\cdot\frac{5}{6}^{4-2}$ .

Wenn du genau hinschaust, siehst du, dass alle Wege, in denen 2 mal 6 und 2 mal keine 6 vorkommen, die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Also lautet die Rechnung für die Bernoulli Kette (Binomialverteilung):

$P(X=2)=\binom{4}{2}\cdot\frac{1}{6}^2\cdot(1-\frac{1}{6})^{4-2}$

Allgemein kannst du dir merken, dass die Bernoulli Formel für k Treffer bei n Versuchen so aussieht:

$P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k}$

Bei der Binomialverteilung kannst du auch den Erwartungswert berechnen:

E[X] = n • p

Die Varianz berechnest du dann mit:

V[X] = n • p • (1 – p)

Binomialverteilung

Willst du noch mehr über die Binomialverteilung erfahren? Dann schau dir doch gleich unser Video dazu an.

Bernoulli Experiment — häufigste Fragen

(ausklappen)

Welche Eigenschaften hat ein Bernoulli-Experiment?

Ein Bernoulli-Experiment hat genau zwei mögliche Ausgänge, die man als Treffer und Niete bezeichnet. Die Wahrscheinlichkeiten ergänzen sich immer zu 1, also gilt für die Niete . Außerdem ist der Erwartungswert der Zufallsvariable gleich . Die Varianz ist $p\cdot(1 - p)$ und die Standardabweichung ist $\sqrt{p\cdot(1 - p)}$ .
Welche Beispiele gibt es für Bernoulli-Experimente?

Bernoulli-Experimente sind zum Beispiel ein Münzwurf mit den Ausgängen Kopf (Treffer) oder Zahl (Niete). Ein weiteres Beispiel ist Würfeln, wenn man nur betrachtet, ob eine 6 fällt oder keine 6. In beiden Fällen lässt sich die Situation als Ja‑Nein‑Frage formulieren.
Was ist kein Bernoulli-Experiment?

Kein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsversuch, bei dem man mehr als zwei verschiedene Ausgänge gleichzeitig unterscheidet. Ein normales Würfelexperiment, bei dem die Ergebnisse 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 einzeln gezählt werden, hat sechs Ausgänge und passt deshalb nicht. Erst wenn man zu zwei Gruppen zusammenfasst, wird es ein Bernoulli-Experiment.
Welche Beispiele gibt es für Bernoulli-Ketten?

Beispiele für Bernoulli-Ketten sind mehrere gleiche Münzwürfe hintereinander, bei denen man zählt, wie oft Kopf fällt. Genauso ist mehrmaliges Würfeln eine Bernoulli-Kette, wenn man jedes Mal nur prüft, ob eine 6 fällt oder nicht. Dabei bleibt die Trefferwahrscheinlichkeit in jedem Durchgang gleich.

Wahrscheinlichkeitsrechnung verstehen

Das Bernoulli Experiment gehört zur Wahrscheinlichkeitsrechnung und ist ein wichtiges Grundmodell für Zufallsversuche mit zwei möglichen Ausgängen. Wer sich mit Wahrscheinlichkeitsrechnung beschäftigt, ordnet Ereignisse, vergleicht Wahrscheinlichkeiten und beschreibt Zufall mit klaren Regeln. So wird verständlich, wie aus einfachen Versuchen mit Treffer und Niete größere Modelle für mehrere Durchgänge entstehen. Im Statistikbereich findest du passende Videos zu diesem und verwandten Themen.

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