Was ist ein Beispiel für einen Binomialkoeffizienten?

Ein Beispiel für einen Binomialkoeffizienten ist . Damit zählt man, wie viele Möglichkeiten es gibt, 2 Kugeln aus 3 verschiedenen Kugeln auszuwählen, wenn die Reihenfolge egal ist und nicht zurückgelegt wird. In diesem Beispiel gibt es 3 mögliche Zweier-Kombinationen, denn .

n über 0, also , hat immer den Wert 1. Gemeint ist die Anzahl der Möglichkeiten, 0 Elemente aus n Elementen auszuwählen, wenn die Reihenfolge egal ist. Dafür gibt es genau eine Möglichkeit: Man wählt gar nichts aus.

n über 1, also , hat den Wert . Gemeint ist die Anzahl der Möglichkeiten, genau 1 Element aus n Elementen auszuwählen, wenn die Reihenfolge egal ist. Man kann dabei jedes der n Elemente nehmen, also gibt es n Möglichkeiten.

Ist n über k das Gleiche wie n über nk?

n über k ist nicht dasselbe wie n über nk. hat unten genau die Zahl und beschreibt das Auswählen von Elementen aus . nk wird in Mathe oft als Produkt gelesen, und wäre dann etwas anderes.

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Binomialkoeffizient einfach erklärt

Wichtige Inhalte in diesem Video

Binomialkoeffizient Erklärung

(00:15)

Binomialkoeffizient berechnen

(01:28)

Binomialkoeffizient Taschenrechner

(02:09)

Binomialkoeffizient Beispiel

(02:38)

Binomialkoeffizient Rechenregeln

(03:59)

Hier lernst du alles über den Binomialkoeffizienten! Hast du keine Lust zu lesen? Dann schau doch einfach unser Video !

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Inhaltsübersicht

Binomialkoeffizient Erklärung

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(00:15)

Den Binomialkoeffizienten brauchst du, um in der Stochastik oder Kombinatorik die Anzahl von Möglichkeiten zu berechnen.

Stell dir vor, du möchtest aus einem Topf mit drei Kugeln zwei Kugeln ziehen, ohne sie dabei zurückzulegen. Die Kugeln sind mit den Buchstaben A, B und C beschriftet. Du kannst sie also unterscheiden, aber die Reihenfolge ist dir dabei egal. Ob du zuerst Kugel A ziehst und dann B oder andersrum, ist nicht wichtig. Für dich zählt nur das Endergebnis. Hier brauchst du dann den Binomialkoeffizienten. Der berechnet die Anzahl der möglichen Kombinationen und du schreibst ihn:

${\textcolor{red}{3}\choose \textcolor{blue}{2}}$

Du sprichst das dann so aus: „2 aus 3” oder „3 über 2”.

Definition Binomialkoeffizient

Der Binomialkoeffizient ist eine mathematische Funktion. Mit ihm kannst du bestimmen, wie viele Möglichkeiten es gibt, k Objekte aus n Elementen zu wählen. Dabei ist es wichtig, dass du ohne Beachtung der Reihenfolge und ohne Zurücklegen auswählst. Du schreibst ihn so:

${\textcolor{red}{n}\choose \textcolor{blue}{k}}$

Schau dir jetzt am besten mal an, wie du den Binomialkoeffizienten berechnen kannst.

Binomialkoeffizient berechnen

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(01:28)

Die Formel für den Binomialkoeffizienten sieht so aus:

${\textcolor{red}{n}\choose \textcolor{blue}{k}}=\cfrac{\textcolor{red}{n}!}{\textcolor{blue}{k}!\cdot(\textcolor{red}{n}-\textcolor{blue}{k})!}$

Das Ausrufezeichen „!“ steht für Fakultät . Bei 9! rechnest du zum Beispiel

9! = 9 · 8 · 7 · 6 · ….· 2 · 1

Schau dir dafür nochmal das Beispiel vom Anfang an:

${\textcolor{red}{3}\choose \textcolor{blue}{2}}=\cfrac{\textcolor{red}{3}!}{\textcolor{blue}{2}!\cdot(\textcolor{red}{3}-\textcolor{blue}{2})!}=\cfrac{3!}{2!\cdot1!}=3$

Du hast also 3 verschiedene Möglichkeiten! Wie sieht es aus, wenn du eine Urne mit 10 verschiedenen Kugeln hast und 3 daraus ziehen willst, ohne dabei eine Kugel zurückzulegen? Du kannst wieder den Binomialkoeffizienten benutzen:

${\textcolor{red}{10}\choose \textcolor{blue}{3}}=\cfrac{\textcolor{red}{10}!}{\textcolor{blue}{3}!\cdot(\textcolor{red}{10}-\textcolor{blue}{3})!}=\cfrac{10!}{3!\cdot7!}=120$

Es gibt also in dem Fall 120 Möglichkeiten.

Merk dir: Den Binomialkoeffizienten brauchst du immer dann, wenn du die Reihenfolge nicht beachtest und nicht zurücklegst (oder keine Wiederholung erlaubt ist).

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Binomialkoeffizient Taschenrechner

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(02:09)

Natürlich brauchst du nicht immer die lange Formel. Bei deinem Taschenrechner kannst du den Binomialkoeffizienten mit der Taste „nCr“ bestimmen. Zuerst tippst du die obere Zahl deines Binomialkoeffizienten ein und drückst dann auf die Taste „nCr„: Auf deinem Display sollte dann ein „C“ stehen. Wenn du jetzt noch die untere Zahl eintippst und „=“drückst, kannst du so n über k im Taschenrechner bestimmen:

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Schau dir jetzt nochmal ein Anwendungsbeispiel an.

Binomialkoeffizient Beispiel

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(02:38)

Anna, Jakob, Miriam und Lukas spielen fast jeden Tag zusammen Basketball. Die 4 Freunde wollen an der Basketball Stadtmeisterschaft teilnehmen. Es dürfen aber leider nur 2 von ihnen mitmachen. Die 4 Freunde fragen dich, ob du entscheiden kannst, wer teilnehmen sollte. Du findest, dass alle vier Freunde gleich gut spielen und entscheidest dich zu losen. Du schreibst jeweils einen Namen auf einen Loszettel und vermischt die Zettel in einer kleinen Box.

Dabei fragst du dich, wie viele verschiedene Zweierteams überhaupt ausgelost werden könnten. Kannst du hier den Binomialkoeffizienten verwenden? Du erinnerst dich vielleicht noch an die Erklärung von weiter oben. Zuerst prüfst du, ob die Auslosung ohne Beachtung der Reihenfolge passiert. Ja! Es ist egal, ob du Miriam als Erstes oder als Zweites ziehst. Es zählt nur, dass sie überhaupt dabei ist!

Dann musst du noch überlegen, ob du ohne Zurücklegen lost. Auch das stimmt! Du kannst schließlich nicht zweimal die gleiche Person auslosen. Also weißt du, dass du den Binomialkoeffizienten verwenden kannst. Für n setzt die Gesamtanzahl ein, also 4. Du willst genau 2 Lose aus deiner Box ziehen, also ist k gleich 2:

${\textcolor{red}{n}\choose \textcolor{blue}{k}}={\textcolor{red}{4}\choose \textcolor{blue}{2}}=\cfrac{\textcolor{red}{4}!}{\textcolor{blue}{2}!\cdot(\textcolor{red}{4}-\textcolor{blue}{2})!}=\cfrac{4!}{2!\cdot2!}=6$

Es gibt also genau 6 verschiedene zweier Teams, die du auslosen könntest!

Binomialkoeffizient Rechenregeln

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(03:59)

Du solltest noch ein paar wichtige Regeln kennen, wenn du mit dem Binomialkoeffizienten rechnest:

$\mathbf{n \geq k}$ : Wenn das nicht der Fall ist, hast du keine Lösung!
$\mathbf{{n\choose k}\geq0}$ : Der Binomialkoeffizient ist immer positiv
$\mathbf{{n\choose n}=1}$ : Wenn k gleich n ist, ist dein Wert immer 1
$\mathbf{{n\choose 0}=1}$ : Wenn k gleich 0 ist, ist dein Wert immer 1

Jetzt kennst du auch die wichtigsten Regeln bei n über k. Wenn du noch mehr darüber erfahren willst, sieh‘ dir doch unser Experten-Video zum Binomialkoeffizienten an.

Pascalsches Dreieck

Du kennst jetzt schon 2 Methoden, um den Binomialkoeffizienten zu bestimmen. Es gibt aber noch eine weitere Möglichkeit! Mit dem Pascalschen Dreieck kannst du den Binomialkoeffizienten ganz einfach ablesen. Schau dir doch gleich unser Video dazu an.

Binomialkoeffizient einfach erklärt — häufigste Fragen

(ausklappen)

Was ist ein Beispiel für einen Binomialkoeffizienten?

Ein Beispiel für einen Binomialkoeffizienten ist $\binom{3}{2}$ . Damit zählt man, wie viele Möglichkeiten es gibt, 2 Kugeln aus 3 verschiedenen Kugeln auszuwählen, wenn die Reihenfolge egal ist und nicht zurückgelegt wird. In diesem Beispiel gibt es 3 mögliche Zweier-Kombinationen, denn $\binom{3}{2}=\frac{3!}{2!1!}=3$ .
Was ist n über 0?

n über 0, also $\binom{n}{0}$ , hat immer den Wert 1. Gemeint ist die Anzahl der Möglichkeiten, 0 Elemente aus n Elementen auszuwählen, wenn die Reihenfolge egal ist. Dafür gibt es genau eine Möglichkeit: Man wählt gar nichts aus.
Was ist n über 1?

n über 1, also $\binom{n}{1}$ , hat den Wert . Gemeint ist die Anzahl der Möglichkeiten, genau 1 Element aus n Elementen auszuwählen, wenn die Reihenfolge egal ist. Man kann dabei jedes der n Elemente nehmen, also gibt es n Möglichkeiten.
Ist n über k das Gleiche wie n über nk?

n über k ist nicht dasselbe wie n über nk. $\binom{n}{k}$ hat unten genau die Zahl und beschreibt das Auswählen von Elementen aus . nk wird in Mathe oft als Produkt $n\cdot k$ gelesen, und $\binom{n}{n\cdot k}$ wäre dann etwas anderes.

Kombinatorik verstehen

Der Binomialkoeffizient gehört zur Kombinatorik und hilft beim Zählen von Möglichkeiten. Wer sich mit Kombinatorik beschäftigt, ordnet Auswahlsituationen und vergleicht, ob die Reihenfolge wichtig ist oder nicht. So wird klar, warum manche Aufgaben mit Kombinationen gelöst werden und andere nicht. Im Statistikbereich findest du passende Videos zu diesem und verwandten Themen.

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