Wahrscheinlichkeitsrechnung

Dichtefunktion Übung

Was ist eine Dichtefunktion? Hier klären wir diese Frage und zeigen dir wie man konkrete Aufgaben lösen kann anhand einfacher Beispiele.

Du lässt dir alles zur Dichtefunktionen lieber kurz und knackig erklären ohne Lesen?  Unsere Videos Dichtefunktion und Dichtefunktion Übung können das besser als jeder Professor oder Lehrer!

Inhaltsübersicht

Dichtefunktion berechnen

Wir wollen die Frage beantworten, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein 100m Läufer diese Strecke in unter 12 Sekunden bewältigt (Beispiel 1). Anschließend wollen wir es noch genauer wissen und stellen uns die Frage: Wie wahrscheinlich ist es, dass er die 100m in 11 – 12 Sekunden zurücklegt (Beispiel 2)?

Dichtefunktion Formel

Gehen wir von einer Normalverteilung aus, so ist die Formel der Dichtefunktion folgende:

f(x,\mu,\sigma)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\cdot\ e^-^\frac{1}{2}^(^\frac{x-\mu^2}{\sigma}^)

Erwartungswert Dichtefunktion

Betrachtet man die beispielsweise die zentralen Maßzahlen der Statistik wie den Erwartungswert , die Varianz oder die Standardabweichung , kann man bereits Aussagen über die Wahrscheinlichkeitsverteilung treffen.

In unserem Fall sind der Erwartungswert und die Varianz gegeben mit \mu=14 und \sigma^2=4 .

Da man sich unter den bloßen Zahlenwerten nur schwer etwas vorstellen kann, hilft es diese graphisch darzustellen.

Dichtefunktion zeichnen

Die Dichtefunktion ist eine visuelle Darstellung der Verteilung deiner Variablen. Sie zeigt also an, in welchem Bereich die Zufallsvariable am stärksten ausgeprägt ist. Zeichnen wir die Dichtefunktion für den 100 Meter Läufer, könnte das zum Beispiel so aussehen:

direkt ins Video springen
Dichtefunktion zeichnen

Man kann ablesen, dass es am wahrscheinlichsten ist, dass ein Läufer die Strecke in rund 14 Sekunden bewältigt. Der Graph verrät uns außerdem, dass es ziemlich unwahrscheinlich ist, dass jemand die Strecke in unter 10 beziehungsweise über 17 Sekunden läuft.

 

Dichtefunktion Wahrscheinlichkeit berechnen

Wie vorhin bereits erklärt, muss man die Dichtefunktion integrieren, um die Verteilungsfunktion zu erhalten. Nur mit dieser kann man im stetigen Fall die Wahrscheinlichkeit berechnen.

direkt ins Video springen
Dichtefunktion Wahrscheinlichkeit berechnen

Wir wissen, dass unsere Werte normalverteilt sind, somit rechnen wir mit der Verteilungsfunktion der Normalverteilung. Um die Wahrscheinlichkeit aus der Verteilungstabelle ablesen zu können, müssen wir die Verteilungsfunktion auf die der Standardnormalverteilung transformieren. Dazu setzten wir einfach unsere gegebenen Werte ein uns schlagen den errechneten Wert für in der Verteilungstabelle nach.

 

Beispiel 1

Kommen wir auf unsere Fragestellung von vorhin zurück: Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der Läufer schneller als 12 Sekunden?

Mathematisch ausgedrückt bedeutet das:

P\ (X\le\ 12)\ =\ \int_{-\infty}^{12}{f(t)\ dx}

Die Wahrscheinlichkeit für P\ (X\le\ 12) entspricht dem Funktionswert der Verteilungsfunktion an der Stelle x gleich zwölf.

 P\left(X\le12\right)=F(12)

  P(X\le\ x)=\Phi(\frac{x-\mu}{\sigma})

Unser gesuchter Wert ist 12 und der Erwartungswert ist gegeben mit 14. Da wir nur die Varianz mit 4 gegeben haben, müssen wir noch die Wurzel aus dieser ziehen, um die Standardabweichung zu erhalten.

P(X\le\ 12)=\Phi(\frac{12-\14}{\sqrt{4}})

=\Phi\left(-1\right)=\ 1-\Phi\left(1\right)

Lesen wir diesen Wert aus der Verteilungstabelle der standardisierten Normalverteilung ab, so erhalten wir eine Wahrscheinlichkeit von 1-0,84134\approx0,16\

z / Φ(z) 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0 0.5 0.50399 0.50798 0.51197 0.51595 0.51994 0.52392 0.5279 0.53188 0.53586
0.1 0.53983 0.5438 0.54776 0.55172 0.55567 0.55962 0.56356 0.56749 0.57142 0.57535
0.2 0.57926 0.58317 0.58706 0.59095 0.59483 0.59871 0.60257 0.60642 0.61026 0.61409
0.3 0.61791 0.62172 0.62552 0.6293 0.63307 0.63683 0.64058 0.64431 0.64803 0.65173
0.4 0.65542 0.6591 0.66276 0.6664 0.67003 0.67364 0.67724 0.68082 0.68439 0.68793
0.5 0.69146 0.69497 0.69847 0.70194 0.7054 0.70884 0.71226 0.71566 0.71904 0.7224
0.6 0.72575 0.72907 0.73237 0.73565 0.73891 0.74215 0.74537 0.74857 0.75175 0.7549
0.7 0.75804 0.76115 0.76424 0.7673 0.77035 0.77337 0.77637 0.77935 0.7823 0.78524
0.8 0.78814 0.79103 0.79389 0.79673 0.79955 0.80234 0.80511 0.80785 0.81057 0.81327
0.9 0.81594 0.81859 0.82121 0.82381 0.82639 0.82894 0.83147 0.83398 0.83646 0.83891
1 0.84134 0.84375 0.84614 0.84849 0.85083 0.85314 0.85543 0.85769 0.85993 0.86214
1.1 0.86433 0.8665 0.86864 0.87076 0.87286 0.87493 0.87698 0.879 0.881 0.88298
1.2 0.88493 0.88686 0.88877 0.89065 0.89251 0.89435 0.89617 0.89796 0.89973 0.90147
1.3 0.9032 0.9049 0.90658 0.90824 0.90988 0.91149 0.91309 0.91466 0.91621 0.91774
1.4 0.91924 0.92073 0.9222 0.92364 0.92507 0.92647 0.92785 0.92922 0.93056 0.93189
1.5 0.93319 0.93448 0.93574 0.93699 0.93822 0.93943 0.94062 0.94179 0.94295 0.94408
1.6 0.9452 0.9463 0.94738 0.94845 0.9495 0.95053 0.95154 0.95254 0.95352 0.95449
1.7 0.95543 0.95637 0.95728 0.95818 0.95907 0.95994 0.9608 0.96164 0.96246 0.96327
1.8 0.96407 0.96485 0.96562 0.96638 0.96712 0.96784 0.96856 0.96926 0.96995 0.97062
1.9 0.97128 0.97193 0.97257 0.9732 0.97381 0.97441 0.975 0.97558 0.97615 0.9767
2 0.97725 0.97778 0.97831 0.97882 0.97932 0.97982 0.9803 0.98077 0.98124 0.98169
2.1 0.98214 0.98257 0.983 0.98341 0.98382 0.98422 0.98461 0.985 0.98537 0.98574
2.2 0.9861 0.98645 0.98679 0.98713 0.98745 0.98778 0.98809 0.9884 0.9887 0.98899
2.3 0.98928 0.98956 0.98983 0.9901 0.99036 0.99061 0.99086 0.99111 0.99134 0.99158
2.4 0.9918 0.99202 0.99224 0.99245 0.99266 0.99286 0.99305 0.99324 0.99343 0.99361
2.5 0.99379 0.99396 0.99413 0.9943 0.99446 0.99461 0.99477 0.99492 0.99506 0.9952
2.6 0.99534 0.99547 0.9956 0.99573 0.99585 0.99598 0.99609 0.99621 0.99632 0.99643
2.7 0.99653 0.99664 0.99674 0.99683 0.99693 0.99702 0.99711 0.9972 0.99728 0.99736
2.8 0.99744 0.99752 0.9976 0.99767 0.99774 0.99781 0.99788 0.99795 0.99801 0.99807
2.9 0.99813 0.99819 0.99825 0.99831 0.99836 0.99841 0.99846 0.99851 0.99856 0.99861
3 0.99865 0.99869 0.99874 0.99878 0.99882 0.99886 0.99889 0.99893 0.99896 0.999
3.1 0.99903 0.99906 0.9991 0.99913 0.99916 0.99918 0.99921 0.99924 0.99926 0.99929
3.2 0.99931 0.99934 0.99936 0.99938 0.9994 0.99942 0.99944 0.99946 0.99948 0.9995
3.3 0.99952 0.99953 0.99955 0.99957 0.99958 0.9996 0.99961 0.99962 0.99964 0.99965
3.4 0.99966 0.99968 0.99969 0.9997 0.99971 0.99972 0.99973 0.99974 0.99975 0.99976
3.5 0.99977 0.99978 0.99978 0.99979 0.9998 0.99981 0.99981 0.99982 0.99983 0.99983
3.6 0.99984 0.99985 0.99985 0.99986 0.99986 0.99987 0.99987 0.99988 0.99988 0.99989
3.7 0.99989 0.9999 0.9999 0.9999 0.99991 0.99991 0.99992 0.99992 0.99992 0.99992
3.8 0.99993 0.99993 0.99993 0.99994 0.99994 0.99994 0.99994 0.99995 0.99995 0.99995
3.9 0.99995 0.99995 0.99996 0.99996 0.99996 0.99996 0.99996 0.99996 0.99997 0.99997
4 0.99997 0.99997 0.99997 0.99997 0.99997 0.99997 0.99998 0.99998 0.99998 0.99998

Somit ist der Läufer mit einer Wahrscheinlichkeit von rund 16% schneller als 12 Sekunden.

Beispiel 2

Soweit ist das ja alles sehr einfach, oder? Aber wie berechnet man nun die Wahrscheinlichkeit, dass der Läufer zum Beispiel zwischen 11 und 12 Sekunden braucht?

P\left(11\ <\ X\le12\right)=\int_{11}^{12}f\left(t\right)dt

Auch das ist keine Hexerei. Du ziehst einfach den Funktionswert der Verteilungsfunktion an der Stelle x gleich elf von dem Funktionswert an der Stelle x gleich zwölf ab.

P\left(11\ <\ X\le12\right)\ =\ F(12)\ -\ F(11)

Das wird besonders deutlich, wenn du dir das Ganze graphisch unter der Dichtefunktion vorstellst.

direkt ins Video springen
Berechnung der Wahrscheinlichkeit innerhalb eines Intervalls

Setzten wir unsere Werte ein, so erhalten wir:

  P(11\le\ X\le12)
P(X\le12)\ -\ P(X\le11)

\Phi\left(\frac{12-14}{\sqrt4}\right)-\ \Phi\left(\frac{11-14}{\sqrt4}\right)=

\Phi\left(-1\right)-\ \Phi\left(-\frac{3}{2}\right)=

\ \left(1-\Phi\left(1\right)\right)-\left(1-\ \Phi\left(\frac{3}{2}\right)\right)=

Lesen wir nun die Werte aus der Tabelle der Standardnormalverteilung ab:

z / Φ(z) 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0 0.5 0.50399 0.50798 0.51197 0.51595 0.51994 0.52392 0.5279 0.53188 0.53586
0.1 0.53983 0.5438 0.54776 0.55172 0.55567 0.55962 0.56356 0.56749 0.57142 0.57535
0.2 0.57926 0.58317 0.58706 0.59095 0.59483 0.59871 0.60257 0.60642 0.61026 0.61409
0.3 0.61791 0.62172 0.62552 0.6293 0.63307 0.63683 0.64058 0.64431 0.64803 0.65173
0.4 0.65542 0.6591 0.66276 0.6664 0.67003 0.67364 0.67724 0.68082 0.68439 0.68793
0.5 0.69146 0.69497 0.69847 0.70194 0.7054 0.70884 0.71226 0.71566 0.71904 0.7224
0.6 0.72575 0.72907 0.73237 0.73565 0.73891 0.74215 0.74537 0.74857 0.75175 0.7549
0.7 0.75804 0.76115 0.76424 0.7673 0.77035 0.77337 0.77637 0.77935 0.7823 0.78524
0.8 0.78814 0.79103 0.79389 0.79673 0.79955 0.80234 0.80511 0.80785 0.81057 0.81327
0.9 0.81594 0.81859 0.82121 0.82381 0.82639 0.82894 0.83147 0.83398 0.83646 0.83891
1 0.84134 0.84375 0.84614 0.84849 0.85083 0.85314 0.85543 0.85769 0.85993 0.86214
1.1 0.86433 0.8665 0.86864 0.87076 0.87286 0.87493 0.87698 0.879 0.881 0.88298
1.2 0.88493 0.88686 0.88877 0.89065 0.89251 0.89435 0.89617 0.89796 0.89973 0.90147
1.3 0.9032 0.9049 0.90658 0.90824 0.90988 0.91149 0.91309 0.91466 0.91621 0.91774
1.4 0.91924 0.92073 0.9222 0.92364 0.92507 0.92647 0.92785 0.92922 0.93056 0.93189
1.5 0.93319 0.93448 0.93574 0.93699 0.93822 0.93943 0.94062 0.94179 0.94295 0.94408
1.6 0.9452 0.9463 0.94738 0.94845 0.9495 0.95053 0.95154 0.95254 0.95352 0.95449
1.7 0.95543 0.95637 0.95728 0.95818 0.95907 0.95994 0.9608 0.96164 0.96246 0.96327
1.8 0.96407 0.96485 0.96562 0.96638 0.96712 0.96784 0.96856 0.96926 0.96995 0.97062
1.9 0.97128 0.97193 0.97257 0.9732 0.97381 0.97441 0.975 0.97558 0.97615 0.9767
2 0.97725 0.97778 0.97831 0.97882 0.97932 0.97982 0.9803 0.98077 0.98124 0.98169
2.1 0.98214 0.98257 0.983 0.98341 0.98382 0.98422 0.98461 0.985 0.98537 0.98574
2.2 0.9861 0.98645 0.98679 0.98713 0.98745 0.98778 0.98809 0.9884 0.9887 0.98899
2.3 0.98928 0.98956 0.98983 0.9901 0.99036 0.99061 0.99086 0.99111 0.99134 0.99158
2.4 0.9918 0.99202 0.99224 0.99245 0.99266 0.99286 0.99305 0.99324 0.99343 0.99361
2.5 0.99379 0.99396 0.99413 0.9943 0.99446 0.99461 0.99477 0.99492 0.99506 0.9952
2.6 0.99534 0.99547 0.9956 0.99573 0.99585 0.99598 0.99609 0.99621 0.99632 0.99643
2.7 0.99653 0.99664 0.99674 0.99683 0.99693 0.99702 0.99711 0.9972 0.99728 0.99736
2.8 0.99744 0.99752 0.9976 0.99767 0.99774 0.99781 0.99788 0.99795 0.99801 0.99807
2.9 0.99813 0.99819 0.99825 0.99831 0.99836 0.99841 0.99846 0.99851 0.99856 0.99861
3 0.99865 0.99869 0.99874 0.99878 0.99882 0.99886 0.99889 0.99893 0.99896 0.999
3.1 0.99903 0.99906 0.9991 0.99913 0.99916 0.99918 0.99921 0.99924 0.99926 0.99929
3.2 0.99931 0.99934 0.99936 0.99938 0.9994 0.99942 0.99944 0.99946 0.99948 0.9995
3.3 0.99952 0.99953 0.99955 0.99957 0.99958 0.9996 0.99961 0.99962 0.99964 0.99965
3.4 0.99966 0.99968 0.99969 0.9997 0.99971 0.99972 0.99973 0.99974 0.99975 0.99976
3.5 0.99977 0.99978 0.99978 0.99979 0.9998 0.99981 0.99981 0.99982 0.99983 0.99983
3.6 0.99984 0.99985 0.99985 0.99986 0.99986 0.99987 0.99987 0.99988 0.99988 0.99989
3.7 0.99989 0.9999 0.9999 0.9999 0.99991 0.99991 0.99992 0.99992 0.99992 0.99992
3.8 0.99993 0.99993 0.99993 0.99994 0.99994 0.99994 0.99994 0.99995 0.99995 0.99995
3.9 0.99995 0.99995 0.99996 0.99996 0.99996 0.99996 0.99996 0.99996 0.99997 0.99997
4 0.99997 0.99997 0.99997 0.99997 0.99997 0.99997 0.99998 0.99998 0.99998 0.99998

\left(1-0,84134\right)-\left(1-0,93319\ \right)\approx0,092

Somit wissen wir, dass der Läufer die Strecke von 100m mit einer Wahrscheinlichkeit von rund 9,2% in 11 bis 12 Sekunden bewältigt.


Andere Nutzer halten diese Inhalte aus dem Bereich „Wahrscheinlichkeitsrechnung“ für besonders klausurrelevant

Hallo, leider nutzt du einen AdBlocker.

Auf Studyflix bieten wir dir kostenlos hochwertige Bildung an. Dies können wir nur durch die Unterstützung unserer Werbepartner tun.

Schalte bitte deinen Adblocker für Studyflix aus oder füge uns zu deinen Ausnahmen hinzu. Das tut dir nicht weh und hilft uns weiter.

Danke!
Dein Studyflix-Team

Wenn du nicht weißt, wie du deinen Adblocker deaktivierst oder Studyflix zu den Ausnahmen hinzufügst, findest du hier eine kurze Anleitung. Bitte lade anschließend die Seite neu.