Deskriptive Statistik

Arithmetisches Mittel

Inhaltsübersicht

In diesem Beitrag geht es um das arithmetische Mittel. Anhand mehrerer Beispiele werden wir den Mittelwert berechnen. Außerdem zeigen wir die wie man das gewichtete arithmetische Mittel berechnet mit den dazugehörigen Formeln.

Du fragst dich: Was ist ein arithmetisches Mittel? Das erklären wir dir hier im Video innerhalb von wenigen Minuten.

Arithmetische Mittel einfach erklärt

Das arithmetische Mittel ist im Prinzip einfach nur eine andere Bezeichnung für den Durchschnitt. Wenn Peter, Max und Sophia 80 kg, 75 kg und 55 kg wiegen, dann beträgt das arithmetische Mittel der Gruppe 70 kg.

Ein anderes Beispiel: Dein Lieblings Fußballverein hat in 4 Spielen 14 Tore geschossen! Dann beträgt das arithmetische Mittel für die geschossenen Tore 3,5. Dein Team hat also im Durchschnitt 3,5 Tore geschossen.

Arithmetisches Mittel Definition

Unter dem Begriff arithmetisches Mittel versteht man die Summe aller Beobachtungen einer betrachteten Grundgesamtheit geteilt durch ihre Anzahl.  Der arithmetische Mittelwert ist ein Lagemaß der deskriptiven Statistik und wird häufig auch als Durchschnitt bezeichnet.

Arithmetisches Mittel Formel

Die Formel zum Berechnen des arithmetischen Mittels lautet wie folgt:

\bar{x}=\frac{x_1 + x_2 + x_3 +...x_n}{n}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}\ x_i

Um den Mittelwert zu berechnen, teilt man alle Ausprägungen x_i durch deren Anzahl n.

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Arithmetisches Mittel Formel

Arithmetisches Mittel berechnen

Wenden wir uns nun einigen konkreten Anwendungsfällen des des arithmetischen Mittels zu. Die folgenden Beispiele veranschaulichen dieses Lagemaß der Statistik anhand einer anschaulichen Berechnung .

Arithmetisches Mittel Beispiel

Fünf befreundete Studierende erhalten die folgenden Noten in einer Statistik Klausur:

Note xi 2 5 5 3 4

Mithilfe der oben angeführten Formel lässt sich der arithmetische Mittelwert nun wie folgt bestimmen:

\bar{x}=\frac{2 + 2 + 5 + 3 + 4}{5}=3,2

Die Studierenden haben also im Durschnitt eine Note von 3,2 erreicht.

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Arithmetisches Mittel Beispiel

Arithmetisches Mittel Merkmale bestimmen

Es kann vorkommen, dass bereits der Mittelwert bestimmt ist, jedoch die Daten zu einzelnen Beobachtungen nicht vorhanden sind. In solch einem Fall können die fehlenden Beobachtungen durch Umformung bestimmt werden.

\bar{x}=\frac{2 + 1 + x_3 + 3 + 4}{5}=3

Durch Multiplikation mit 5 ergibt sich.

2 + 1+x_3 + 3 + 4 = 15

x_3 = 5

Wie du siehst ist die Note des dritten Studierenden also 5.

Gewichtetes arithmetisches Mittel

Mit dem Ausdruck gewichtetes arithmetisches Mittel wird eine Variante zur Berechnung des arithmetischen Mittels bezeichnet. Bei dieser auch als gewogenes arithmetisches Mittel bezeichneten Abwandlung werden bestimmte Beobachtungen stärker gewichtet als andere.

Gewichtetes arithmetisches Mittel Formel

Das gewichtete arithmetische Mittel lässt sich sowohl mithilfe der absoluten Häufigkeit, sowie der relativen Häufigkeit berechnen. Daraus ergeben sich die folgenden Formeln zum Berechnen des gewogenen arithmetischen Mittel:

Formel gewichtetes arithmetisches Mittel mit absoluter Häufigkeit:

\bar{x}=\frac{x_1H(x_1) + x_2H(x_2) + x_3H(x_3) +...x_nH(x_n)}{n}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}\ x_iH(x_i)

Zur Berechnung des gewogenen Mittels mit Gewichtung durch die absolute Häufigkeit multipliziert man die Beobachtungen mit der absoluten Häufigkeit der Beobachtungen. Teile anschließnd die gewichteten Merkmale wieder durch die Anzahl der Beobachtungen. Häufig auftretende Merkmale fallen so im Durchschnitt stärker ins Gewicht.

Formel gewichtetes arithmetisches Mittel mit relativer Häufigkeit:

\bar{x}=x_1h(x_1) + x_2h(x_2) + x_3h(x_3) +...x_nh(x_n)=\sum\limits_{i=1}^{n}\ x_i h(x_i)

Äquivalent zur Berechnung des gewichteten arithmetischen Mittels mithilfe der absoluten Häufigkeit erfolgt die Berechnung mit der relativen Häufigkeit.

Anschließend werden die Beobachtungen mit der relativen Häufigkeit ihres Auftreten multipliziert. Beobachtungen, die im Verhältnis relativ häufig auftreten, werden somit beim Durchschnitt stärker berücksichtigt.

Es ist wichtig zu verstehen, dass die absolute und relative Häufigkeit zwar üblicherweise als Mittel zur Gewichtung herangezogen werden, jedoch eine Gewichtung auch nach anderen frei wählbaren Kriterien/Maßstäben erfolgen kann. Das gewichtete arithmetische Mittel kann außerdem verwendet werden, um Problemstellungen zu lösen, die sonst nur mit dem harmonischen Mittel zu lösen sind.

Gewichtetes arithmetisches Mittel Beispiel (absolute Häufigkeit)

Eine Gruppe von 50 Studierenden schreibt eine Statistik Klausur. Es ergeben sich die in der Häufigkeitstabelle abgetragenen Notengruppen.

xi 1 2 3 4 5
Hi 2 9 11 16 12

Wobei x_i der Note entspricht und H_i die absolute Häufigkeit der Beobachtung wiedergibt.

Der Notenspiegel lässt sich nun wie folgt bestimmen:

\bar{x}=\frac{1\cdot2+2\cdot9+3\cdot11+4\cdot16+5\cdot12}{50}=3,54

Folglich beträgt der Notenspiegel für die Klausuren der 50 Studierenden also 3,54.

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Gewichtetes Arithmetisches Mittel Beispiel

Gewichtetes arithmetisches Mittel Beispiel ( relative Häufigkeit)

Die Studierenden eines Studiengangs schreiben eine Statistikklausur. Aus Datenschutzgründen werden die Ergebnisse nur in anonymisierter Form als Notenverteilungen veröffentlicht. Uns liegt folgende Häufigkeitstabelle vor.

xi 1 2 3 4 5
hi 0,1 0,3 0,2 0,25 0,15

Wobei x_i also der Note entspricht und h_i die relative Häufigkeit der Beobachtung wiedergibt.

Die Studierenden möchten nun bestimmen wie gut oder schlecht die Klausur in diesem Jahr ausgefallen ist. Dazu benutzen sie die Formel zum gewichteten arithmetischen Mittel bei relativen Häufigkeiten:

\bar{x}=1\cdot 0,1+2 \cdot 0,3+3 \cdot 0,2+4\cdot 0,25+5\cdot 0,15 = 3,05

Zusammenfassend weißt du jetzt, dass der Notendurchschnitt für die Klausuren der Studierenden  also 3,05 beträgt.


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