In diesem Beitrag zeigen wir dir die drei wichtigsten Lagemaße der Statistik: Den Mittelwert, den Median und den Modus.
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Der Modus, der Median und der Mittelwert sind die drei bekanntesten, sogenannten Lagemaße der Statistik. Mit ihnen versuchen wir eine zentrale Tendenz in einer Datenmenge zu erfassen. Deshalb werden sie öfter auch als Maße der zentralen Tendenz bezeichnet.
Zur „Berechnung“ zählt man lediglich ab, wie oft die verschiedenen Merkmalsausprägungen in einer Stichprobe vorkommen. Betrachten wir beispielsweise eine Urliste mit den Werten 5,2,1,2,6, dann ist der Modus deiner Verteilung der Wert 2, da dieser Wert am häufigsten in der Liste vorkommt.
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Es kann vorkommen, dass es in einer Stichprobe mehrere Modi gibt, wenn zwei oder mehrere Merkmale gleich oft vorkommen.
Machen wir weiter mit dem Median. Er ist der Wert, der deine Messwerte in zwei gleich große Hälften teilt, so dass 50% der Werte kleiner und 50% der Werte größer als der Median sind. Sortierst du deine Messwerte also nach ihrer Größe, ist der Median der Wert, der genau in der Mitte liegt. Der Median kann nur bei ordinalen und kardinalen Skalenniveaus ermittelt werden. Ein Vorteil des Medians ist, dass er durch extreme Ausreißerwerte nicht verzerrt wird.
Zur Berechnung musst du die Urliste von vorhin der Größe nach aufsteigend sortieren:
Bei der Berechnung des Medians kommt es anschließend darauf an, ob du eine gerade oder eine ungerade Anzahl an Messwerten betrachtest. Je nach dem, verwendest du eine andere Formel.
In unserem Beispiel haben wir eine ungerade Anzahl an Messwerten und müssen die erste Formel verwenden. Setzen wir die Werte in die Formel ein erhalten wir als Median den Wert 2.
Wenn wir jetzt noch einen weiteren beliebigen Wert an unsere Liste anhängen, müssen wir mit der zweiten Formel rechnen.
Um den Unterschied zum Mittelwert an dieser Stelle hervorzuheben, folgt ein Beispiel mit ordinalskalierten Daten. Wir wollen den Median für die Schulnoten eines Schülers berechnen.
Der Schüler hat in Mathe die Note „sehr gut“, in Deutsch „gut“, in Englisch „mangelhaft“ und in Sport wieder „sehr gut“ . Sortiert man die Daten, erhält man folgende Urliste: „sehr gut, sehr gut, gut, mangelhaft“. Der Median liegt in der Mitte der Datenliste, also in diesem Fall zwischen „sehr gut“ und „gut“, da es sich um eine ungerade Anzahl an Datenwerten handelt.
Den Mittelwert hättest du hier nicht berechnen dürfen, da bei den Daten nicht mindestens Intervallskalenniveau vorliegt.
Das Besondere am Median ist, dass er durch sogenannte Ausreißer kaum beeinflusst wird. Dies wird durch das Schulnotenbeispiel deutlich. Der Schüler hat generell sehr gute Noten, nur die Note „mangelhaft“ in Englisch weicht stark von den anderen Noten ab. Diese extreme Note beeinflusst den Median jedoch nicht, da dieser nur die Werte in der Mitte der Messwertreihe betrachtet.
Ganz anders verhält sich der Mittelwert, der häufig auch als arithmetisches Mittel bezeichnet wird. Er lässt sich im Gegensatz zum Modus und Median nur für Variablen mit Kardinalskalenniveau bestimmen.
Um den Mittelwert zu bestimmen, summierst du alle Messwerte auf und teilst sie durch ihre Anzahl. Die Formel dafür siehst du hier:
Für unser Beispiel von vorhin berechnest du den Mittelwert also folgendermaßen:
Erhöhen wir hier den letzten Wert auf 50 kommen wir auf folgendes Ergebnis:
Du siehst, unser jetziges Mittelmaß wurde durch einen einzigen Ausreißer deutlich nach oben verzerrt. Führe dir also immer vor Augen, dass der Mittelwert nicht unbedingt zuverlässig interpretierbar ist, sondern durch Ausreißer verzerrt werden kann.
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