Statistik Wahrscheinlichkeit

Bedingte Wahrscheinlichkeit

In diesem Video erklären wir dir bedingte Wahrscheinlichkeiten und wie du sie berechnen kannst anhand eines einfachen Beispiels. Los geht’s!

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses unter Bedingung des Eintritts eines anderen Ereignisses

Wie der Name der bedingten Wahrscheinlichkeiten schon sagt, lassen sich damit Wahrscheinlichkeiten ausdrücken, unter der Bedingung, dass ein bestimmtes Ereignis schon eingetreten ist. Beispielsweise lässt sich so die Wahrscheinlichkeit bestimmen, mit der du deine Klausuren bestehst, unter der Voraussetzung, dass du dafür gelernt hast.

Schreibweisen und Definition

Es gibt verschiedene Schreibweisen für die bedingte Wahrscheinlichkeit. Die beiden häufigsten sind wohl diese:

Bedingte Wahrscheinlichkeit
Schreibweisen für die bedingte Wahrscheinlichkeit

Beide Schreibweisen drücken dasselbe aus, nämlich die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A unter der Voraussetzung, dass Ereignis B bereits eingetreten ist.

Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist wie folgt definiert:

Bedingte Wahrscheinlichkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeit Definition

Veranschaulichung in einem Venn-Diagramm

Am einfachsten lässt sich die bedingte Wahrscheinlichkeit anhand eines Venn-Diagramms veranschaulichen, das du schon aus unserem letzten Video kennst. Zuerst einmal überlegen wir uns, wie wir die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis A ausdrücken können. Im Venn-Diagramm sieht das so aus:

Bedingte Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A

Wenn wir bereits wissen, dass Ereignis B eingetreten ist, verringert sich die mögliche Ergebnismenge auf die Schnittmenge aus A und B:

Bedingte Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeit für A unter der Bedingung, dass B bereits eingetreten ist

Veranschaulichung am Baumdiagramm

Eine weitere Möglichkeit, die bedingte Wahrscheinlichkeit darzustellen, ist in einem Baumdiagramm. Dazu haben wir wieder mindestens zwei Ereignisse A und B gegeben, die wir zusammen mit ihren Gegenwahrscheinlichkeiten als Wahrscheinlichkeitsbaum darstellen:

Bedingte Wahrscheinlichkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeit am Wahrscheinlichkeitsbaum

Veranschaulichung an der Vierfeldertafel

Du kannst die bedingte Wahrscheinlichkeit sogar einer Vierfeldertafel entnehmen. Die fertig ausgefüllte Tafel würde dann so aussehen:

Bedingte Wahrscheinlichkeit
Berechnung mithilfe einer Vierfeldertafel

Um nun beispielsweise die bedingte Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung des Eintritts von A zu ermitteln, musst du einfach folgendes berechnen:

P_A (B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}

Bedingte Wahrscheinlichkeit bei stochastischer Unabhängigkeit

Weiß man, dass zwei Ereignisse stochastisch unabhängig voneinander sind, dann kann auch logischerweise die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit nicht mehr Anwendung finden.

P(A\cap B)  vereinfacht sich zu P(A)*P(B). Dann gilt für die bedingte Wahrscheinlichkeit für den Eintritt des Ereignisses A:

P\left(A\middle| B\right)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{P(A)*P(B)}{P(B)}=P(A)

Wenn du das Thema genauer verstehen willst, kannst du dir unser Video zur Unabhängigkeit von Ereignissen ansehen.

Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit – Beispiel

Schauen wir uns abschließend noch ein passendes Beispiel dazu an. Stell dir vor, du wirfst einen Würfel. Die Ergebnismenge A beinhaltet alle geraden Zahlen und die Ergebnismenge B beinhaltet alle Zahlen von 4 bis 6.

A={2,4,6}

B={4,5,6}

Jetzt sollst du die Wahrscheinlichkeit für A berechnen, unter der Bedingung, dass B bereits eingetreten ist. Um unsere Formel von vorhin verwenden zu können, müssen wir erst die Wahrscheinlichkeit für Ergebnis B berechnen. Da drei Elemente in der Menge B enthalten sind und der Würfel sechs Seiten hat, ist die Wahrscheinlichkeit für B gleich 0,5.

P(B)=\frac{3}{6}=0,5

Als nächstes müssen wir noch die Wahrscheinlichkeit für A geschnitten B berechnen, also für die Ergebnisse, die in A und in B enthalten sind. Da die Menge A geschnitten B genau 2 Elemente enthält, nämlich 4 und 6, beträgt die Wahrscheinlichkeit hierfür \frac{1}{3}.

A\cap B={4,6}

P(A\cap B)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}

Jetzt können wir alles in die Formel einsetzen und erhalten so eine Wahrscheinlichkeit in Höhe von \frac{2}{3}.

Bedingte Wahrscheinlichkeit
Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit

Weitere wichtige Sätze

Du kennst nun die Formel zur bedingten Wahrscheinlichkeit und kannst dich wahrscheinlich noch an die Pfadregeln zum Baumdiagramm erinnern. Mithilfe dieser Regeln lassen sich andere Sätze herleiten, die du dir auf jeden Fall einprägen solltest:

Multiplikationssatz: P(A\capB)=P\left(A\middle| B\right)*P(B)

Gegenwahrscheinlichkeit: P\left(A\middle| B\right)+P\left(\={A}\middle| B\right)=1

Zwei weitere sehr wichtige Sätze sind außerdem der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit und der Satz von Bayes, welche du in den nächsten Videos kennenlernen wirst.

Das wars auch schon zur bedingten Wahrscheinlichkeit! Zur Wiederholung findest du hier nochmal die zentrale Formel:

P\left(A\middle| B\right)=\frac{P(A\bigcap{B)}}{P(B)}

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