Spieltheorie

Spieltheorie
Nash-Gleichgewicht

Eines der wichtigsten Konzepte der Spieltheorie ist das Nash-Gleichgewicht oder auch Nash Equilibrium. Um im Rahmen einer Entscheidungssituation zu einer Lösung zu gelangen, verfolgt jeder Spieler eine bestimmte Strategie. Das Nash-Gleichgewicht beschreibt die Situation während der Entscheidung, in der es keinem der Spieler möglich ist, sich durch die Wahl einer anderen Handlungsstrategie besser zu stellen. Man unterscheidet zwischen dem Nash-Gleichgewicht in reinen und in gemischten Strategien.

Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien

Betrachten wir zunächst das Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien. Stell dir dafür folgende Situation vor: Du überlegst mit Deinem besten Kumpel ob ihr euch lieber das Fußballspiel anschauen oder ins Kino gehen wollt. Am Ende einigt ihr euch meist einstimmig auf eines von beiden. Diese Situation wird auch als reines Nash-Gleichgewicht bezeichnet.

Reine Strategie: Nash-Gleichgewicht Beispiel

Schauen wir uns das Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien am besten anhand eines Beispiels an. Dazu brauchen wir wieder eine Bimatrix:

Nash-Gleichgewicht
Bimatrix Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien

Du siehst, wenn Du Dich für Kino entscheidest, dann ist es für Deinen Kumpel auch am besten dies zu wählen. Schließlich ist seine Entscheidung für Kino, wenn Du Dich davor schon darauf festgelegt hast, mit sechs gekennzeichnet. Dagegen wäre die Entscheidung für Fußball schauen bei der gleichen Voraussetzung mit null bewertet.

Wenn sich jetzt Dein bester Kumpel als erstes für Kino entscheidet, ist es für Dich ebenfalls am besten Kino zu wählen. Dabei möchte keiner von seiner Entscheidung abweichen. Ihr gebt also die wechselseitig besten Antworten aufeinander. Genauso ist es mit Fußball schauen. Wenn Du Dich dafür entscheidest, dann sollte sich auch Dein bester Kumpel dazu entschließen, Fußball schauen zu wollen und anders herum. Und da ihr jeweils die Wahl des Anderen kennt und darauf entsprechend reagieren könnt, handelt es sich hier um reine Strategien. Es gibt also zwei Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien: Kino/Kino und Fußball/Fußball.

So, nach dieser Erklärung wird dir und deinem besten Kumpel die Entscheidung, was ihr zusammen unternehmen wollt, bestimmt noch leichter fallen.

 

Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien

Nachdem du nun das Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien kennengelernt hast, beschäftigen wir uns nun mit dem etwas komplexeren Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien. Auch hier wird das Nash Equilibrium anhand eines Beispiels einfach erklärt.

Nash-Gleichgewicht in gemischte Strategien
Video Nash-Gleichgewicht in gemischte Strategien

Unterscheidung Nash-Gleichgewicht in reinen und gemischten Strategien

Zur Erklärung des Nash-Gleichgewichts in gemischten Strategien müssen wir zunächst klären was der Unterscheid zwischen reinen und gemischten Strategien ist. Bei den reinen Strategien wählt jeder Spieler die Strategie, welche die beste Antwort auf die Strategie des Anderen ist. Wenn sich Dein bester Kumpel und Du wieder für Kino oder Fußball schauen entscheiden müssen und dann Dein Kumpel ins Kino gehen möchte, hast Du im Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien auch Kino gewählt. Dies ist dann die beste Antwort auf die Strategie Deines Kumpels.

Beim Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien ist das etwas anders. Hier treffen die Spieler nicht direkt eine Entscheidung, sondern wählen nur mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit eine bestimmte reine Strategie. Somit gibt es in jedem endlichen Spiel ein Nash Equilibrium in gemischten Strategien.

Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien am Beispiel Matching Pennies

Ein sehr beliebtes Beispiel für das Nash-Gleichgewicht in gemischten Spielen ist das sogenannte Matching Pennies – auf Deutsch: Kopf oder Zahl- Spiel. Erarbeiten wir uns das ganze also am besten daran. Die Auszahlungen sind dabei wieder in einer Bimatrix dargestellt:

Nash-Gleichgewicht
Bimatrix Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien

Zur Erklärung des Nash-Gleichgewichts gehen wir also davon aus, dass Dein bester Kumpel mit einer Wahrscheinlichkeit von  Kopf bzw. Zahl spielt. Dann musst Du Dir überlegen wie Du am besten auf diese Wahrscheinlichkeiten antwortest. Wenn dein Kumpel immer Kopf wählt, dann gewinnt er mit einer Wahrscheinlichkeit von 50 Prozent und erhält 1 Euro. Mit der restlichen Wahrscheinlichkeit von 50 Prozent verliert er und muss 1 Euro zahlen. Der erwartete Gewinn beträgt also 0 Euro. Genau das Gleiche passiert, wenn er immer Zahl wählen würde.

Er ist somit zwischen allen Randomisierungsstrategien, also zufällig gewählten Strategien, indifferent. Wenn das Gleiche für Dich gilt, dann haben wir ein Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien gefunden! Aber wie kommt man nun auf die Wahrscheinlichkeit von \ \frac{1}{2} ?

Berechnung der Wahrscheinlichkeiten im Nash-Gleichgewicht

Bauen wir das Ganze anhand einer kleinen Rechnung auf: Gehen wir davon aus, dass Du mit einer Wahrscheinlichkeit von k_{Du} Kopf spielst, dann wählst Du mit der Gegenwahrscheinlichkeit von 1-k_{Du} Zahl. Genauso verhält es sich mit Deinem Kumpel. Die Matrix dazu sieht dann so aus:

Nash-Gleichgewicht Matching Pennies
Bimatrix Wahrscheinlichkeiten Matching Pennies

Damit können wir auch schon Deinen erwarteten Gewinn in Abhängigkeit von diesen Wahrscheinlichkeiten ausrechnen. Wir gehen also alle möglichen Kombinationen von Kopf und Zahl durch und geben für jede die Wahrscheinlichkeit und den Gewinn für Dich und Deinen Kumpel an. Damit das Ganze übersichtlich ist, stellen wir eine Tabelle auf:

Nash-Gleichgewicht Matching Pennies
Tabelle Matching Pennies

Berechnung des Gewinns beim Nash-Gleichgewicht

Mit diesen Informationen können wir jetzt Deinen erwarteten Gewinn im Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien berechnen. Dafür müssen wir die Wahrscheinlichkeit jeder Kombination multipliziert mit dem jeweiligen Gewinn miteinander addieren. Im nächsten Schritt möchten wir herausfinden wie sich der Gewinn entwickelt, wenn sich k_{Du} verändert. Wir leiten das Ganze also ab.

Gewinn Formel und Ableitung
Gewinn Formel und Ableitung

Wir sehen, dass Dein erwarteter Gewinn steigt, wenn k_{Ku} größer 0,5 ist. Also wenn die Wahrscheinlichkeit, dass Dein Kumpel Kopf wählt, mehr als 50 Prozent beträgt. Wenn das so ist, wirst Du k_{Du} gleich 1 wählen. Das heißt, Du wirst auf jeden Fall, also zu 100 Prozent Kopf nehmen.

 

Wenn k_{Ku} kleiner 0,5 ist, dann sinkt natürlich Dein erwarteter Gewinn und Du wählst k_{Du} gleich 0. Für den Fall, dass k_{Ku} jetzt genau 0,5 beträgt, bist Du zwischen allen Wahrscheinlichkeiten indifferent. Damit haben wir Deine beste Antwort auf alle möglichen Wahrscheinlichkeiten Deines Kumpels gefunden. Die daraus entstehende Funktion nennt man Reaktionsfunktion. Sie sieht dann so aus:

Nash-Gleichgewicht Reaktionsfunktion
Reaktionsfunktion

Deine Wahrscheinlichkeit für Kopf beträgt also null Prozent, wenn die Wahrscheinlichkeit Deines besten Kumpels für Kopf weniger als 50 Prozent ist. Und wenn die Wahrscheinlichkeit für Kopf bei Deinem besten Kumpel mehr als 50 Prozent beträgt, wählst Du zu 100 Prozent Kopf. Bei fünfzig prozentiger Wahrscheinlichkeit, dass sich Dein bester Kumpel für Kopf entscheidet, bist Du zwischen Kopf und Zahl indifferent.

Das Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien

Um nun zum Nash-Gleichgewicht zu gelangen, müssen wir genau das Gleiche auch für Deinen Kumpel ausrechnen. Wir finden das Nash-Gleichgewicht dann genau dort, wo eure Strategien die wechselseitig besten Antworten aufeinander sind. Da wir die besten Antworten als Reaktionsfunktionen dargestellt haben, liegt das Nash Equilibrium im Schnittpunkt der beiden Funktionen. Auch das lässt sich wieder gut anhand einer Graphik verdeutlichen:

Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien
Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien

Wir haben also ein Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien, in dem beide von euch jede reine Strategie mit einer Wahrscheinlichkeit von jeweils 50 Prozent spielen. Du siehst, diese Strategie ist zwar etwas komplizierter zu berechnen, aber sie kann euch bei eurer Freizeitplanung eindeutig weiterhelfen.

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