Statistik Wahrscheinlichkeit

Grundlagen
Satz von Bayes

Du möchtest wissen, was sich hinter dem „Satz von Bayes“ verbirgt? Wir erklären ihn dir anhand eines einfachen Beispiels!

Umgekehrte Form der bedingten Wahrscheinlichkeit

Der Satz von Bayes gehört zu den wichtigsten Sätzen der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Er hilft dir dabei, die bedingte Wahrscheinlichkeit zweier Ereignisse A und B zu bestimmen, wenn du die umgekehrte Form der bedingten Wahrscheinlichkeit, also die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis B unter der Bedingung A kennst.

Satz von Bayes
Der Satz von Bayes berechnet die umgekehrte Form der bedingten Wahrscheinlichkeit

Die mathematische Formel für den Satz von Bayes sieht so aus:

P(A|B)=\frac{P(B|A)\ast P(A)}{P(B)}

Berechnung anhand eines Beispiels

Schauen wir uns am besten gleich ein praktisches Beispiel dazu an. Stell dir vor, ein Kommilitone von dir wird nach dem Feiern von der Polizei aufgehalten und muss einen Alkoholtest machen. Bei Personen, die tatsächlich Alkohol getrunken haben, erkennt der Test das in 99,9% der Fälle.

Satz von Bayes
Der Test erkennt Alkoholkonsum in 99,9% aller Fälle

Allerdings liefert er auch in 3% der Fälle ein positives Ergebnis, obwohl die getestete Person keinen Alkohol getrunken hat. Wir wissen also:

P(+|Alkohol)= 0,999

P(+|kein Alkohol)=0,03

Außerdem wissen wir, dass 5% der getesteten Personen tatsächlich Alkohol konsumiert haben:

P(Alkohol)=0,05

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine getestete Person keinen Alkohol getrunken hat, liegt also bei 95%.

Der Test fällt bei deinem Kommilitonen positiv aus. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er tatsächlich Alkohol konsumiert hat?

Anwendung des Satzes der totalen Wahrscheinlichkeit

Diese Frage lässt sich mit Hilfe des Satzes von Bayes beantworten. Die beiden Wahrscheinlichkeiten, die wir im Zähler der Formel einsetzen müssen, haben wir gegeben. Allerdings fehlt uns noch die unbedingte Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Test positiv ausfällt. Da wir aber die beiden bedingten Wahrscheinlichkeiten gegeben haben, können wir das mit Hilfe des Satzes der totalen Wahrscheinlichkeit berechnen. Ein positives beziehungsweise negatives Testergebnis kürzen wir im Folgenden mit einem Plus beziehungsweise einem Minus ab.

Satz von Bayes
Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass der Test positiv ist

So, jetzt müssen wir nur noch alle Werte in die Formel von vorhin einsetzen.

Satz von Bayes
Jetzt können wir den Satz von Bayes anwenden!

Da der Test positiv ausgefallen ist, hat dein Kommilitone also mit einer Wahrscheinlichkeit von 63,67% tatsächlich Alkohol getrunken.

Das wars auch schon zum Satz von Bayes! Hier findest du nochmals die allgemeine Formel:

P(A|B)=\frac{P(B|A)\ast P(A)}{P(B)}

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