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Bragg Gleichung einfach erklärt

Mit der Bragg Gleichung, die du auch Bragg Bedingung nennst, kannst du die spezielle Reflexion von elektromagnetischen Strahlen an einem Kristall beschreiben. 

Denn an Kristallen werden zum Beispiel Röntgenstrahlen nur teilweise reflektiert. Das passiert nur dann, wenn die Strahlung in ganz bestimmten Winkeln auf den Kristall trifft. Die bestimmten Winkel nennst du auch Glanzwinkel.

Beim Glanzwinkel kannst du dann eine Reflexion der Röntgenstrahlen erkennen, weil sich die Strahlen gegenseitig verstärken (konstruktive Interferenz). Bei anderen Winkeln können sie sich auch gegenseitig auslöschen oder abschwächen (destruktive Interferenz), dann kannst du keine Reflexion beobachten.

Die Bragg Bedingung beschreibt, wann eine gegenseitige Verstärkung und somit eine Reflexion der Strahlung auftritt. Sie bildet den Zusammenhang zwischen dem Glanzwinkel θ, der Wellenlänge λ und dem Abstand d des Kristallgitters. In der Bragg Gleichung steht n für eine natürliche Zahl. Sie gibt die Ordnung des Glanzwinkels an.

n • λ = 2 • d • sin θ 

Reflexion Röntgenstrahlen an einer Kristall Gitterebene

Um die Bragg Reflexion zu zeigen, sind Kristalle wie Natriumchlorid gut geeignet. Sie bestehen aus Atomen, die auf parallelen Ebenen angeordnet sind. Die einzelnen Ebenen im Kristall nennst du auch Gitterebenen. Betrachten wir die Reflexion von Röntgenstrahlung an einer Gitterebene.

Treffen zwei Röntgenstrahlen auf eine Gitterebene eines Kristalls, werden sie an den Gitteratomen reflektiert.

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Reflexion Röntgenstrahlung an Gitterebene

%<img class="alignnone size-medium wp-image-350884" src="https://blog.studyflix.de/wp-content/uploads/2022/04/Reflexion-gleiche-Netzebene-300x171.png" alt="" width="300" height="171" /> %<strong>@Animation</strong>: bitte ein ähnliches Bild wie unten ("Reflexion zweier Strahlen") erstellen aber beide Strahlen treffen hier auf Kugeln, die in der <strong>gleichen</strong> Ebene sind. Die beiden Kugeln sollen bitte nebeneinander liegen. Außerdem braucht es keine Formeln oder Symbole wie im unteren alten Bild. Als Text bitte wie im Beispielbild noch "Gleiche Strecke zurückgelegt" hinzufügen. Bitte aber als grundsätzliche Vorlage für das Design an dem unteren Bild orientieren, das heißt dann auch bitte über die länge der beiden Strahlen hinweg eine Welle legen. Diese Wellen sollen bitte gleich verlaufen, was die Wellenlänge betrifft und mit welchen Verlauf die beiden Wellen starten; <strong>Bild = Bildüberschrift</strong>: Reflexion Röntgenstrahlen an einer Gitterebene; <strong>Alttext: </strong>Bragg Gleichung, Bragg Bedingung, Bragg Reflexion, Bragg, Reflexion Kristall, Drehkristallmethode, braggsche gleichung, Röntgenstrahlen Kristall, braggsche reflexionsbedingung, Reflexion eine Gitterebene, Netzebene, Gitterebene

Durch die Ablenkung an Kristallatomen in der gleichen Ebene legen die zwei Wellen auch den gleichen Weg zurück. Die Röntgenstrahlen haben also keinen Wegunterschied und verlaufen auch nach der Reflexion in gleicher Phase. Hier ist es also egal, in welchem Winkel die Strahlen auf den Kristall treffen. Die Strahlen werden hier entsprechend dem Reflexionsgesetz abgelenkt, also Einfallswinkel gleich Ausfallswinkel.

Reflexion Röntgenstrahlen an zwei Kristall Gitterebenen

Ein Teil der Röntgenstrahlen wird aber nicht direkt an der ersten Gitterebene reflektiert, sondern dringt in den Kristall ein. Sie werden dann an tieferliegenden Gitterebenen reflektiert. 

Nehmen wir an, dass die Röntgenstrahlen phasengleich auf den Kristall treffen. Das heißt, dass jeweils Wellenberg neben Wellenberg und Wellental neben Wellental zweier Wellen verläuft. Sie treffen jetzt jeweils auf unterschiedliche Gitterebenen. Dort werden sie an Kristallatomen reflektiert. Dadurch besitzen die beiden Strahlen unterschiedlich lange Wegstrecken. Die Wellen verlaufen nach der Reflexion also mit einem gewissen Gangunterschied

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Reflexion Röntgenstrahlung an zwei Gitterebenen

%<strong>@Animation:</strong> bitte den unteren Strahl links und rechts verlängern. sodass er bis zu dem lila bereich gleichlang wie der obere Strahl ist. Dabei bitte dafür sorgen, dass die Wellen der beiden Strahlen immer gleich verlaufen, also so dass immer wellenberg und wellenberg der welle und wellental und wellental der Wellen übereinander liegen. Insgesamt is der unter strahl um zwei wellen länger als der obere. diese beiden wellen die der untere strahl länger ist als der obere sind bis jetzt durch eine schwarze farbe gekennzeichnet. Diese Farbe bitte ändern, wie im Text bei "Gangunterschied". ebenso bitte auch den Teil der Linie rot machen, über welchen die zwei Wellen verlaufen. Damit das besser zu sehen ist, bitte den Abstand der beiden Ebenen etwas verkleinern aber bitte weiterhin mit d Kennzeichen (wie im alten Bild). Die weißen Kugeln auf den beiden Reihen bitte etwas verschieben, sodass der untere Strahl auf seinem Weg zu seiner weißen Kugel keine andere Kugel durchläuft (die Kugeln sollen aber weiterhin immer übereinander liegen). Außerdem bitte die Formel unten und die beiden δ rauslassen. Bitte noch aus dem folgenden Bild die Geschwungene Klammer und den drüber liegenden vergrößerten Wellenzug darstellen. Dieser Wellenzug kommt wie im Beispielbild über die beiden wellen rechts im Bild :) %<img class="alignnone size-medium wp-image-355181" src="https://blog.studyflix.de/wp-content/uploads/2022/04/Ergänzung-Wikipedia-bild-300x242.png" alt="" width="300" height="242" /> %Bild = Bildüberschrift</strong>= Reflexion Röntgenstrahlen an zwei  Gitterebenen; <strong>Alttext ergänzen: </strong>Bragg Gleichung, Bragg Bedingung, Bragg Reflexion, Bragg, Reflexion Kristall, Drehkristallmethode, braggsche gleichung, Röntgenstrahlen Kristall, braggsche reflexionsbedingung, Reflexion zwei Gitterebene, Reflexion unterschiedliche GItterebenen, Reflexion verschiedene Gitterebenen, Netzebene, Gitterebene</span><img class="alignnone wp-image-24778 size-large" src="https://blog.studyflix.de/wp-content/uploads/2019/09/Bragg-Gleichung_Reflexion_SEO-1024x576.jpg" alt="" width="525" height="295" /><span style="color: #ff00ff;">

Der Gangunterschied ist der Grund, dass die beiden Wellen nach der Reflexion nicht mehr in gleicher Phase laufen und ist damit Voraussetzung für die Interferenz der Wellen. Er ist abhängig vom Abstand d der Gitterebenen und vom Einfallswinkel θ der Wellen.

  • Ist der Gangunterschied ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge λ, kommt es zur konstruktiven Interferenz.
  • Ist der Gangunterschied kein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge λ, kommt es zur destruktiven Interferenz.

Der Glanzwinkel ist also definiert als der Winkel, bei welchem der Gangunterschied genau einem Vielfachen n der Wellenlänge λ entspricht. Dann entsteht eine konstruktive Interferenz der Strahlung und du kannst eine Reflexion erkennen. Bei welchem Glanzwinkel das passiert, ist über die Bragg Gleichung beschrieben.

Bragg Gleichung Herleitung

Grund für die spezielle Reflexion ist die Interferenz der Wellen. Sie ist vom Gangunterschied der beiden Wellen abhängig. Zur Herleitung der Bragg Gleichung betrachtest du zwei parallel einfallende Röntgenstrahlen mit den Wellenlängen λ, die auf jeweils ein Atom auf zwei unterschiedlichen Gitterebenen im Abstand d treffen.

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Bragg Gleichung Herleitung

%<strong>@Animation:</strong> bitte das gleiche Bild wie oben "Reflexion zweier Strahlen" hier einfügen, ebenfalls bitte die Kugel auf den Reihen bitte etwas verschieben, sodass der untere Strahl auf seinem Weg zu der weißen Kugel keine andere Kugel durchläuft. hier ebenfalls die Formel unten (d*sinθ) entfernen und dafür die zwei Gleichungen links im Bild unten wenns geht einfügen (die beiden Gleichungen siehe Beispielbild). Außerdem bitte wie oben im Bild die zwei wellen und die dazugehörigen Teile der Linien die bis jetzt schwarz gefärbt sind bitte rot machen. Insgesamt kann der Abstand der beiden Ebenen mit den Kugeln wie oben auch bitte verkleinert werden. %Bild = Bildüberschrift</strong>= Bragg Gleichung Herleitung; <strong>Alttext ergänzen: </strong>Bragg Gleichung, Bragg Bedingung, Bragg Reflexion, Bragg, Reflexion Kristall, Drehkristallmethode, braggsche gleichung, Röntgenstrahlen Kristall, braggsche reflexionsbedingung, Reflexion zwei Gitterebene, Reflexion unterschiedliche GItterebenen, Reflexion verschiedene Gitterebenen, Netzebene, Gitterebene, Bragg Gleichung Formel, Bragg Gleichung Herleitung %<img class="alignnone wp-image-354213 size-full" src="https://blog.studyflix.de/wp-content/uploads/2022/04/Bragg-Gleichung-Herleitung.png" alt="" width="791" height="438" />

Die beiden Strahlen treffen im gleichen Einfallswinkel θ auf den Kristall. Während ein Strahl von der oberen Gitterebene reflektiert wird, wird der andere Strahl von der unteren Gitterebene reflektiert. Unter Verwendung trigonometrischer Funktionen kannst du mit dem Einfallswinkel θ in der Bragg Bedingung folgende Beziehung aufstellen:

    \[\sin{\theta}=\frac{\delta}{d} \Leftrightarrow\delta=d\cdot \sin{\theta}\]

Der untere Strahl muss aber zweimal die Strecke δ zurücklegen. Beim Einfallen und beim Ausfallen. Dadurch berechnest du den Gangunterschied durch:

2 δ = 2d · sin(θ)

Die Wellen interferieren konstruktiv, wenn der Gangunterschied 2 δ ein ganzzahliges Vielfaches n (n∈N) der Wellenlänge λ ist:

    \[n \cdot \lambda = 2 \cdot \delta\]

Setzt du jetzt den gesamten Gangunterschied in die Gleichung ein, erhältst du die Bragg Gleichung:

    \[n\cdot\lambda=2\cdot d\cdot\sin{\theta}\]

Bragg Bedingung

Die Bragg Bedingung oder Bragg Gleichung gibt den Zusammenhang an, bei welchem es bei elektromagnetischen Wellen einer bestimmten Wellenlänge an einem Kristall zur Reflexion kommt. Der Einfallswinkel, genannt Glanzwinkel, ist dabei von der Wellenlänge und dem Aufbau des Kristalls abhängig. 

Die Bragg Bedingung beschreibt den Glanzwinkel θ in Abhängigkeit der Wellenlänge λ, dem Abstand d der einzelnen Gitterebenen und der Ordnung n des Glanzwinkels.

    \[n\cdot\lambda=2\cdot d\cdot\sin{\theta}\]

Drehkristallmethode

Die Drehkristallmethode verwendest du, um den Gitterabstand d eines Kristalls zu bestimmen. Hierfür strahlst du Röntgenstrahlung mit der Wellenlänge λ auf einen drehbaren Kristall. Je nach Einfallswinkel α zwischen dem Röntgenstrahl und den Gitterebenen des Kristalls interferieren die reflektierten Röntgenstrahlen destruktiv oder konstruktiv.

Konstruktive Interferenz tritt auf, wenn der Gangunterschied der Röntgenstrahlen ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge ist. Misst du die reflektierte Strahlung mit einem Detektor, so erhältst du eine Messkurve der Intensität in Abhängigkeit des Winkels α. Bei konstruktiver Interferenz ist die Intensität maximal und bei destruktiver Interferenz null. 

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Drehkristallmethode Messkurve

%@<strong>Animation:</strong> bitte die fünf Textfelder rechts entfernen und den grünen Haken, dafür das Diagramm bitte zentrieren. Außerdem bitte jeweils statt 1. und 2. Maximum konstrukive Interverenz schreiben und an den zwei linken Punkten wo das Diagramm null wird ebenfalls einkreisen und destruktive Interferenz schreiben (am ganz linken Punkt wo das Diagramm null ist aber auch aufhört bitte nichts schreiben); <strong>Bild = Bildüberschrift</strong>= Drehkristallmethode Messkurve; <strong>Alttext ergänzen um: </strong>Bragg Gleichung, Bragg Bedingung, Bragg Reflexion, Bragg, Reflexion Kristall, Drehkristallmethode, braggsche gleichung, Röntgenstrahlen Kristall, braggsche reflexionsbedingung, Reflexion zwei Gitterebene, Reflexion unterschiedliche GItterebenen, Reflexion verschiedene Gitterebenen, Netzebene, Gitterebene, Bragg Gleichung Formel, Bragg Gleichung Herleitung, Drehkristallmethode Messkurve</span><img class="alignnone wp-image-24784 size-large" src="https://blog.studyflix.de/wp-content/uploads/2019/09/Bragg-Gleichung_Drehkristallmethode_Messkurve_SEO-1024x576.jpg" alt="" width="525" height="295" /><span style="color: #ff00ff;">

Aus der Messkurve lassen sich nun die Winkel mit maximaler Intensität ablesen, die gerade dem Glanzwinkel θ entsprechen. Somit kann unter Verwendung der Bragg Gleichung der Gitterabstand d des Kristalls bestimmt werden.

    \[d=\frac{n\cdot\lambda}{2\cdot \sin{\theta_{\text{G}}}}\]

Doppelspalt 

Grundlage für die Bragg Gleichung ist die Interferenz der elektromagnetischen Wellen. Ein weiteres Experiment, mit welchen du die Interferenz von zum Beispiel Licht zeigen kannst, ist das Doppelspaltexperiment. Schau dir unseren Beitrag zum Doppelspaltexperiment an, um zu erfahren, wie du damit die Interferenz beobachten kannst.

Zum Video: Doppelspaltexperiment Durchführung
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