Materialwissenschaften

Bragg Gleichung

Die Bragg Gleichung wird verwendet, um die Beugung von kurzwelliger elektromagnetischer Strahlung an Kristallen zu erklären. Die Strahlung wird von den Gitterebenen des Kristalls reflektiert, sodass es zur Interferenz der Strahlen kommt. In diesem Beitrag lernst du, unter welchen Bedingungen es zur konstruktiven Interferenz und destruktiven Interferenz kommt. Außerdem wird die Drehkristallmethode vorgestellt, mit der man den Abstand der Gitterebenen bestimmen kann.

Schau dir unser Video an, indem wir dir alle wichtigen Zusammenhänge kurz und verständlich erklären.

Inhaltsübersicht

Definition Bragg Gleichung

Merke
Die Bragg Gleichung beschreibt, unter welchen Winkeln es beim Auftreffen von elektromagnetischer Strahlung auf einen Kristall zu konstruktiver Interferenz kommt. Man spricht auch von Bragg Reflexion. A

ls Bragg Winkel oder Glanzwinkel wird dann derjenige Winkel bezeichnet, bei welchem elektromagnetische Strahlung an den Gitterebenen reflektiert wird.

William Lawrence Bragg entwickelte zusammen mit seinem Vater William Henry Bragg 1912 die Bragg Gleichung, wofür sie 1914 sogar gemeinsam den Nobelpreis erhielten. Licht wird nach dem Reflexionsgesetz, „Einfallswinkel gleich Ausfallswinkel“ an einer Oberfläche reflektiert. Im Gegensatz zu Licht gilt dieser Zusammenhang bei kurzwelliger elektromagnetischer Strahlung, wie beispielsweise Röntgenstrahlung, nicht. Hier kommt es nur zur Reflektion, wenn die Strahlen konstruktiv interferieren. Das ist nur unter ganz bestimmten (Einfalls-) Winkeln der Fall. Dieser bestimmte Winkel wird Glanzwinkel oder auch Bragg Winkel genannt. Dann spricht man von der sogenannten Bragg Reflektion.

Die Bragg Gleichung gibt einen Zusammenhang zwischen dem Glanzwinkel \theta, dem Abstand paralleler Gitterebenen d und der Wellenlänge der Strahlung \lambda an.

n\cdot\lambda=2\cdot d\cdot\sin{\theta}

Mit n \in \mathbb{N} (auch Beugungsordnung genannt).

Bragg Bedingung

Die Bragg Gleichung beziehungsweise Bragg Bedingung kann verwendet werden, um Informationen über die Kristallstruktur (Kristallstrukturanalyse) zu ermitteln. Zum Beispiel kann der Gitterabstand paralleler Gitterebenen mit der Drehkristallmethode bestimmt werden. Auf die genaue Funktionsweise der Drehkristallmethode werden wir weiter unten genauer eingehen. Des Weiteren findet die Bragg Gleichung auch Anwendung im Bereich der Elektronenstrahlmikroskopie, da diese die Beugungsbilder der Elektronenstrahlen erklären kann.

Röntgenbeugung am Kristall

Trifft Röntgenstrahlung mit der Wellenlänge λ im Glanzwinkel \theta (Winkel zwischen Gitterebene und Strahlung) auf einen Kristall, so wird ein Teil der Strahlung direkt von der Kristalloberfläche reflektiert und ein Teil der Strahlung dringt in den Kristall ein und wird von tiefer liegenden Gitterebenen reflektiert. Dies ist die Voraussetzung, dass es zur Interferenz der Strahlen kommen kann. Von Interferenz spricht man, wenn sich Wellen nach dem Superpositionsprinzip überlagern.

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Reflexion zweier Strahlen

Das Superpositionsprinzip beschreibt die Überlagerung gleicher physikalischer Größen. Betrachtet man nun zwei Gitterebenen im Abstand d , so muss der Strahl, der an der unteren Gitterebene reflektiert wird, einen längeren Weg zurücklegen als der obere Strahl. Dieser Gangunterschied beträgt:

2\delta = 2d \cdot \sin(\theta)

Konstruktive Interferenz

Beträgt der Gangunterschied ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge, so spricht man von konstruktiver Interferenz, denn dann trifft ein Wellenberg auf einen Wellenberg und ein Wellental auf ein Wellental. Bei der Röntgenbeugung am Kristall tritt also genau dann konstruktive Interferenz auf, wenn der Gangunterschied ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge der Strahlung ist:

2\cdot\delta=\ n\ \cdot\lambda

Destruktive Interferenz

Destruktive Interferenz beschreibt das Phänomen, wenn sich zwei Wellen gegenseitig auslöschen. Zu dieser Auslöschung kommt es, wenn ein Wellenberg auf ein Wellental trifft. Genauer, wenn der Gangunterschied ein Vielfaches der halben Wellenlänge ist

2\cdot\delta=n\cdot\frac{\lambda}{2}

Herleitung Bragg Gleichung

Zur Herleitung der Bragg Gleichung betrachte man zwei parallel einfallende Strahlen mit der Wellenlänge λ, die auf ein Gitter mit zwei parallelen Gitterebenen im Abstand d treffen. Der obere Strahl werde von der oberen Gitterebene reflektiert und der untere Strahl von der unteren Gitterebene. Unter Verwendung trigonometrischer Funktionen kann mit dem Glanzwinkel θ folgende Beziehung aufgestellt werden

(1)                    \sin{\theta}=\frac{\delta}{d} \Leftrightarrow\delta=d\cdot \sin{\theta}

Da der untere Strahl die Strecke δ zweimal, nämlich beim Einfallen und beim Aus- fallen, zurücklegen muss, erhält man den Gangunterschied durch 2 δ = 2d · sin(θ). Die Wellen interferieren konstruktiv, wenn der Gangunterschied δ ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge λ ist

(2)                    n\ \cdot\lambda=\ 2\ \cdot\delta\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n\ \in\ \mathbb{N}

Durch Einsetzen der Gl. (1) in Gl. (2) erhalt man die Bragg Gleichung

n\cdot\lambda=2\cdot d\cdot\sin{\theta}

(Wobei n \in \mathbb{N} die Ordnung angibt.)

Drehkristallmethode

Die Drehkristallmethode wird angewandt, um den Gitterabstand d eines Kristalls zu bestimmen. Hierfür lässt man Röntgenstrahlung mit der Wellenlänge λ auf einen drehbaren Kristall treffen. Je nach Einfallswinkel \alpha zwischen dem Röntgenstrahl und den Gitterebenen des Kristalls interferieren die reflektierten Röntgenstrahlen destruktiv oder konstruktiv.

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Drehkristallmethode

Konstruktive Interferenz tritt auf, wenn der Gangunterschied der Röntgenstrahlen ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge ist. Misst man die reflektierte Strahlung mit einem Detektor, so erhält man eine Messkurve der Intensität in Abhängigkeit des Winkels \alpha . Bei konstruktiver Interferenz ist die Intensität maximal und bei destruktiver Interferenz null.

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Drehkristallmethode Messkurve

Aus der Messkurve lassen sich nun die Winkel mit maximaler Intensität ablesen, die gerade dem Glanzwinkel θ entsprechen. Somit kann unter Verwendung der Bragg Gleichung der Gitterabstand ddes Kristalls bestimmt werden

n\cdot\lambda=2\cdot d\sin{\theta}

d=\frac{n\cdot\lambda}{2\cdot \sin{\theta}}


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