Materialwissenschaften

2. Ficksches Gesetz

Du möchtest wissen, wie sich das 2. Ficksche Gesetz aus dem ersten ableiten lässt und worüber das 2.Ficksche Gesetz Auskunft gibt? Hier erklären wir dir alles rund um das 2. Ficksche Gesetz.

Inhaltsübersicht

Zusammenhang des 1. und des 2. Fickschen Gesetz 

Schauen wir uns zu Beginn nochmal das 1. Ficksche Gesetz an:

j=-D\frac{\partial c}{\partial z}

Durch dieses konnten wir die Teilchenflussdichte berechnen, weil uns die Konzentrationsverteilung und der Diffusionskoeffizient des diffundierenden Teilchens bekannt war.

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Konzentrationsveränderung und zweites Ficksche Gesetz

Da sich die Ströme, die bei der Diffusion entstehen, ändern und damit auch eine Änderung der Konzentrationen bewirken, stellt sich die Frage: Wie verändert sich eine gegebene Anfangskonzentration im Laufe der Zeit, wenn Diffusion stattfindet?

2. Ficksche Gesetz im Modell

Als nächstes schauen wir uns das 2.Ficksche Gesetz an einem Modell an. Wir nehmen dazu ein Volumenelement und treffen die Annahme, dass weder neue Teilchen erzeugt, noch Teilchen vernichtet werden. Man nennt das auch Kontinuität.

Wir benötigen ein Referenzvolumen und die Konzentration c in Abhängigkeit von z. Die Teilchenflussdichte j hängt ebenfalls von der Strecke z ab. Um jetzt auf das zweite Ficksche Gesetz zu kommen, sehen wir uns die lokale Änderung von c an. Wir interessieren uns für den zeitlichen Verlauf dieser Änderung und schreiben daher

\frac{dc(z,t)}{dt}

Somit entspricht sie der Differenz der Ströme, die in unser Referenzvolumen an der Stelle z hineinfließen und ein Stück weiter bei z + dz hinausfließen.

\frac{dc(z,t)}{dt}=\frac{j\left(z\right)-j(z+dz)}{dz}=\frac{dj(z)}{dz}

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Herleitung des zweiten Fickschen Gesetz

In anderen Worten ausgedrückt, bedeutet dies, dass die Differenz der Ströme, der Konzentrationsänderung im Volumen entspricht:

\frac{dc}{dt}=-\frac{dj}{dz}

Setzen wir jetzt das erste Ficksche Gesetz

j=-D\frac{\partial c}{\partial z}

in diesen Zusammenhang ein, ergibt sich das zweite Ficksche Gesetz zu

\frac{dc}{dt}=-\frac{dj}{dz}=-\frac{d}{dz}\left(-D\frac{dc}{dz}\ \right)=D\frac{d^2c}{dz^2}

Das heißt, dass die zeitliche Änderung der Konzentration der diffundierenden Teilchen proportional zur zweiten Ableitung der Konzentration nach dem Ort ist. Du siehst, dass auch hier der Diffusionskoeffizient D die Proportionalitätskontante ist.

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