Funktionen

Trigonometrische Funktionen

In diesem Beitrag zeigen wir dir, was trigonometrische Funktionen sind und welche wichtigen Eigenschaften trigonometrische Funktionen besitzen. Am Ende findest du Aufgaben zum Üben.

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Inhaltsübersicht

Trigonometrische Funktionen einfach erklärt

Als trigonometrische Funktionen (auch Winkelfunktionen, seltener Kreisfunktionen) werden periodische Funktionen bezeichnet, die einen Input aufnehmen und einen Output liefern. Neben der Periodizität besitzen trigonometrische Funktionen weitere wichtige Eigenschaften. Erst diese Eigenschaften machen die Funktionen zu trigonometrische Funktionen.

In diesem Beitrag unterscheiden wir folgende trigonometrische Funktionen:

Die Sinusfunktion

f(x) = \sin(x)

und Cosinusfunktion

g(x) = \cos(x),

die als Definitionsbereich die Menge \mathbb{R} und als Wertebereich die Menge [-1, 1] haben sowie

die Tangensfunktion

h(x) = \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}

die als Definitionsbereich die Menge \mathbb{R} außer den Nullstellen der Cosinusfunktion hat und als Wertebereich die Menge \mathbb{R}.

Trigonometrische Funktionen, Sinusfunktion, Cosinusfunktion, Tangensfunktion
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Trigonometrische Funktionen als Blackbox.

Trigonometrische Funktionen zeichnen

An dieser Stelle sind trigonometrische Funktionen noch sehr abstrakt. In diesem Abschnitt geben wir den einzelnen Funktionen eine anschauliche Gestalt. Hierzu nehmen wir eine kleine Wertetabelle auf, indem wir die x-Werte aus dem Intervall [-\pi, \pi] wählen und dazu die jeweiligen y-Werte für jede trigonometrische Funktion ausrechnen. Die Tabelle mit den Werten kann dann folgendermaßen aussehen:

Trigonometrische Funktionen: Wertetabelle zum Zeichnen der Graphen

x

-\pi -\frac{5\pi}{6} -\frac{2\pi}{3} -\frac{\pi}{2} -\frac{\pi}{3} -\frac{\pi}{6} 0 \frac{\pi}{6} \frac{\pi}{3} \frac{\pi}{2} \frac{2\pi}{3} \frac{5\pi}{6}

\pi

f(x) = \sin(x) 0 -0,5 -0,866 -1 -0,866 -0,5 0 0,5 0,866 1 0,866 0,5 0
g(x) = \cos(x) -1 -0,866 -0,5 0 0,5 0,866 1 0,866 0,5 0 -0,5 -0,866 -1
h(x) = \tan(x) 0 0,577 1,732 n. d. -1,732 -0,577 0 0,577 1,732 n. d. -1,732 -0,577 0

Hier steht „n. d.“ als Abkürzung für „nicht definiert“, denn bei diesen Werten für x würdest du durch Null dividieren. Wenn wir nun die Werte der Tabelle in ein Koordinatensystem eintragen und miteinander verbinden, erhalten wir ein Bild wie das Folgende. Beachte, dass sich die Tangensfunktion an den Stellen, an denen sie nicht definiert ist, einer senkrechten Asymptote nähert. Während die Sinus- und Cosinusfunktion nie größer als 1 beziehungsweise kleiner als -1 werden, erreicht die Tangensfunktion alle Werte entlang der y-Achse. 

Trigonometrische Funktionen Graph
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Trigonometrische Funktionen: Funktionsgraph aus Wertetabelle.

Die Punkte stellen die Pärchen aus unserer Wertetabelle dar, die Kurven den tatsächlichen Funktionsgraphen der trigonometrischen Funktionen. Außerhalb der x-Werte unserer Wertetabelle haben wir die Funktionen aufgrund einer besonderen Eigenschaft weiterzeichnen können. Diese Eigenschaften werden wir im nächsten Abschnitt vorstellen. Die einzelnen Funktionsgraphen heißen auch Sinuskurve, Kosinuskurve und Tangenskurve.

Trigonometrische Funktionen Eigenschaften

Wir hatten erwähnt, dass erst bestimmte Eigenschaften Funktionen zu trigonometrische Funktionen macht. Welche Eigenschaften genau trigonometrische Funktionen besitzen, werden wir in diesem Abschnitt behandeln. Für die Cosinusfunktion und Tangensfunktion werden wir zusätzlich auf den Einfluss der verschiedenen Parameter eingehen. Für die Sinusfunktion haben wir dazu einen eigenen ausführlichen Beitrag für dich verfasst.

Trigonometrische Funktionen: Sinusfunktion

Wir beginnen mit der Sinusfunktion, die allgemein folgende Funktionsvorschrift besitzt

Allgemeine Form der Sinusfunktion

Die allgemeine Form ist gegeben durch

f(x) = a \cdot \sin(bx + c) + d,

wobei a,  b,  c  und d beliebige reelle Zahlen sind. Im Folgenden beschränken wir uns auf die einfache Funktion f(x)=\sin(x).

Definitionsbereich und Wertebereich

Für \sin(x) ist

der Definitionsbereich = die Menge \mathbb{R} der reellen Zahlen und

der Wertebereich = die Menge [-1,1] aller reellen Zahlen von -1 bis 1.

Amplitude, Periode und Symmetrie

Für sin(x) gilt

Periode von \sin(x) beträgt 2\pi und

Amplitude  A=1.

Zusätzlich ist die Funktion punktsymmetrisch um den Ursprung. Es gilt also

f(-x) =\sin(-x)=-\sin(x)= -f(x).

Nullstellen

Für die Nullstellen von \sin(x) gilt

\sin(x) = 0

\Leftrightarrow x = n \pi.

Hier ist n ein Element der Menge \mathbb{Z} der ganzen Zahlen.

Extremwerte

Für die Extremwerte von \sin(x) gilt

x_{\mathrm{n,min}} = \frac{-\pi}{2} + n \cdot 2\pi und

x_{\mathrm{n,max}} = \frac{\pi}{2} + n \cdot 2\pi.

Manchmal findest du auch 

x'_{\mathrm{n,min}} = \frac{3\pi}{2} + n \cdot 2\pi.

Trigonometrische Funktionen: Cosinusfunktion

Als nächstes beschäftigen wir uns mit der Cosinusfunktion, die folgende allgemeine Form besitzt

Allgemeine Form der Cosinusfunktion

g(x) = a \cdot \cos(bx + c) + d,

wobei a,  b,  c  und d beliebige reelle Zahlen sind.

In den folgenden Unterabschnitten werden wir zunächst auf die unveränderte Cosinusfunktion eingehen, das heißt, wir setzen die Parameter auf a = 1, b = 1, c = 0 und d = 0. Die Cosinusfunktion lautet dann

g(x) = \cos(x).

Weiter unten werden wir dir zeigen, welchen Einfluss die einzelnen Parameter auf den Verlauf des Funktionsgraphen der Cosinusfunktion haben.

Definitionsbereich und Wertebereich

Für die Cosinusfunktion cos(x) ist

der Definitionsbereich = die Menge \mathbb{R} der reellen Zahlen und

der Wertebereich = die Menge [-1,1] aller reellen Zahlen von -1 bis 1.

Amplitude und Periode

Kommen wir nun zur Eigenschaft, die es uns ermöglicht hat, den Funktionsgraphen der Cosinusfunktion ohne Kenntnis der Werte außerhalb unserer Wertetabelle zeichnen zu können. Diese Eigenschaft ist die Periodizität der Cosinusfunktion. Das heißt, dass sich bei der Cosinusfunktion ein gewisses Muster wiederholt. Das Muster entspricht genau dem Verlauf der Cosinuskurve im Intervall von [-\pi, \pi]. Du kannst also einfach das Muster in diesem Intervall nehmen, kopieren und dann so einfügen, dass der Graph verbunden bleibt. Und genau das haben wir bei der Konstruktion der Cosinuskurve aus der Wertetabelle ausgenutzt. Die „Breite“ dieses Musters heißt Periode und ist für den Fall der Cosinusfunktion:

Periode von \cos(x) beträgt 2\pi.

Du kannst an der Cosinuskurve erkennen, dass die Cosinusfunktion nie größer als +1 beziehungsweise kleiner als -1 wird. Diese „Barriere“ zwischen der die Werte der Cosinusfunktion auf- und abschwingen heißt Amplitude und hier gilt

Amplitude  A=1.

Symmetrie

Ebenso kannst du aus der Cosinuskurve ableiten, dass die Funktion achsensymmetrisch um die y-Achse ist. Achsensymmetrie bedeutet, dass der Funktionsgraph links vom Ursprung durch Spiegelung des Funktionsgraphen rechts vom Ursprung an der y-Achse erhalten werden kann. Formal gilt also 

 f(-x) = f(x)

\Leftrightarrow \cos(-x)= \cos(x).

Nullstellen

Der periodische Charakter der Cosinusfunktion erleichtert einige interessante Berechnungen. Da sich das Muster nach 2\pi wiederholt, reicht es beispielsweise für die Nullstellen der Cosinusfunktion (im Bild unten als grüne Punkte dargestellt) aus, sich nur auf das Intervall von [-\pi, \pi] zu konzentrieren. Alle anderen Nullstellen können wir aufgrund der Periodizität ableiten. An der Cosinuskurve erkennen wir, dass sich innerhalb von [-\pi, \pi] die Nullstellen an den Stellen -\frac{\pi}{2} und \frac{\pi}{2} befinden. Der Abstand zwischen zwei benachbarten Nullstellen ist also genau \pi. Die Periodizität der Cosinusfunktion erlaubt uns daher die allgemeine Feststellung, dass gilt

\cos(x) = 0

\Leftrightarrow x = (n + \frac{1}{2}) \cdot \pi.

Hier ist n ein Element der Menge \mathbb{Z} der ganzen Zahlen.

Extremwerte

Auch für die Extremwerte der Cosinusfunktion (im Bild unten als orangene Punkte dargestellt) reicht die Betrachtung im Intervall [-\pi, \pi]. Anhand der Cosinuskurve können wir erkennen, dass die Funktion an den Stellen -\pi und +\pi ein Minimum und an der Stelle 0 ein Maximum besitzt. Der Abstand zwischen zwei benachbarten Maxima beziehungsweise Minima ist genau 2\pi. Der periodische Charakter der Cosinusfunktion lässt uns somit darauf schließen, dass die Minima und Maxima bei folgenden Werten liegen

 x_{\mathrm{n,min}} = -\pi + n \cdot 2\pi und

x_{\mathrm{n,max}} = n \cdot 2\pi

Auch hier ist n eine ganze Zahl. Manchmal findest du auch 

x'_{\mathrm{n,min}} = \pi + n \cdot 2\pi.

Der einzige Unterschied zwischen x_{\mathrm{n,min}} und x'_{\mathrm{n,min}} liegt darin, dass du das Intervall [0, \pi] an Stelle von [-\pi, \pi] betrachtest.

Cosinusfunktion Eigenschaften
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Trigonometrische Funktionen: Eigenschaften der Cosinusfunktion.

Einfluss Parameter

Um den Einfluss der einzelnen Parameter auf den Verlauf des Kosinusfunktion zu erkennen, schauen wir uns ein konkretes Beispiel an. Dazu wählen wir die Parameter folgendermaßen

a = 2, b = 1, c = -\frac{\pi}{2} und d = 2.

Die Cosinusfunktion lautet dann

g(x) = a \cdot \cos(bx + c) + d = 2 \cdot \cos(1x + (-\frac{\pi}{2})) + 2.

Der Funktionsgraph (rote durchgezogene Linie) sieht dann wie im folgenden Bild aus. 

Parameter, Cosinusfunktion, Einfluss
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Trigonometrische Funktionen: Einfluss der Parameter auf die Cosinusfunktion.

Die blaue gestrichelte Funktion stellt die normale Cosinusfunktion dar, also \cos(x), und dient dazu, den Einfluss der Parameter zu veranschaulichen. Du erkennst, dass der Parameter d die Kurve nach oben verschiebt. Für negative Werte wird die Kurve nach unten verschoben. Der Parameter c verschiebt die Kurve nach rechts. Wäre c positiv, würde die Kurve nach links verschoben werden.

Weiterhin sollte dir auffallen, dass der Parameter a die Amplitude, um die die Cosinusfunktion um ihre Nullstellen schwingt, beeinflusst. Das heißt, dass die Parameter die Kurve entlang der y-Achse streckt, wenn |a| > 1, beziehungsweise staucht, wenn |a| < 1. Hier ist a = 2 und die Cosinusfunktion schwingt nun um ihre verschobenen Nullstellen (durch die schwarz gestrichelte Linie dargestellt) mit der Amplitude 2.

Der Parameter b streckt die Kurve entlang der x-Achse, wenn |b| < 1, beziehungsweise staucht sie, wenn |b| > 1. In diesem Beispiel ist b = 1, weshalb die Kurve entlang der x-Achse weder gestreckt noch gestaucht wurde. Dieser Parameter hat Einfluss darauf, wie schnell die Kurve auf- und abschwingt. Die Periode P_b, welche um b gestreckt oder gestaucht ist, kannst du folgendermaßen ausrechnen

P_b  = \frac{2\pi}{b}.

Trigonometrische Funktionen: Tangensfunktion

Zum Abschluss schauen wir uns die Eigenschaften der Tangensfunktion an, deren allgemeine Form folgendermaßen lautet

Allgemeine Form der Tangensfunktion

h(x) = a \cdot \tan(bx + c) + d,

wobei a,  b,  c  und d beliebige reelle Zahlen sind.

In den folgenden Unterabschnitten werden wir zunächst auf die unveränderte Tangensfunktion eingehen, das heißt, wir setzen die Parameter auf a = 1, b = 1, c = 0 und d = 0. Die Tangensfunktion lautet dann

h(x) = \tan(x).

Am Ende dieses Abschnitts zeigen wir dir dann, welchen Einfluss die einzelnen Parameter auf diese trigonometrische Funktion haben.

Definitionsbereich und Wertebereich

Für die Tangensfunktion tan(x) ist

der Definitionsbereich = die Menge \mathbb{R} der reellen Zahlen außer den Nullstellen der Cosinusfunktion

der Wertebereich = die Menge \mathbb{R} der reellen Zahlen.

Amplitude, Periode und Symmetrie

Für \tan(x) gilt

Periode von \tan(x) beträgt \pi.

Da die Tangensfunktion alle Werte entlang der y-Achse annehmen kann, kannst du keine Amplitude angeben. 

Zusätzlich ist die Funktion punktsymmetrisch um den Ursprung. Punktsymmetrie bedeutet, dass der Funktionsgraph links vom Ursprung durch Spiegelung des Funktionsgraphen rechts vom Ursprung am Punkt (0,0) erhalten werden kann. Formal gilt also

f(-x) = -f(x).

Das folgt direkt aus der Definition der Tangensfunktion als

\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}.

Da die Sinusfunktion punktsymmetrisch ist, gilt

\sin(-x) = -\sin(x)

und die Achsensymmetrie der Cosinusfunktion bedeutet

\cos(-x) = \cos(x).

Damit folgt

\tan(-x) =\frac{\sin(-x)}{\cos(-x)} = \frac{-\sin(x)}{\cos(x)} = -\tan(x),

was gerade die formale Definition der Punktsymmetrie einer Funktion ist.

Nullstellen

Die Nullstellen der Tangensfunktion (im Bild unten als grüne Punkte dargestellt) sind gerade die Nullstellen der Sinusfunktion, da \sin(x) im Zähler bei der Darstellung der Tangensfunktion als Bruch steht. Demnach gilt

\tan(x) = 0

\Leftrightarrow x = n \pi.

Hier ist n ein Element der Menge \mathbb{Z} der ganzen Zahlen.

Polstellen

Die Tangensfunktion ist bei den Nullstellen der Cosinusfunktion nicht definiert, da \cos(x) im Nenner steht. Du würdest also bei den Nullstellen der Cosinusfunktion durch Null dividieren. An diesen Stellen nähert sich die Tangensfunktion senkrechten Asymptoten (im Bild unten grau gestrichelt dargestellt). Solche Stellen heißen Polstellen . Es gilt also

Polstellen der Tangensfunktion \tan(x) = Nullstellen der Cosinusfunktion (n + \frac{1}{2}) \cdot \pi

Tangensfunktion, Eigenschaften, Graph, Polstellen Tangensfunktion
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Trigonometrische Funktionen: Eigenschaften der Tangensfunktion.

Einfluss Parameter

Wie bei der Cosinsfunktion, schauen wir uns auch bei der Tangensfunktion ein konkretes Beispiel an, um den Einfluss der Parameter zu illustrieren. Dazu wählen wir die Parameter folgendermaßen

a = 0,5, b = 1, c = \frac{\pi}{2} und d = -0,5.

Damit ergibt sich die Funktion

f(x)=0,5\cdot \tan\left(x+\frac{\pi}{2}\right)-0,5.

Der Funktionsgraph (rote durchgezogene Linie) sieht dann wie im folgenden Bild aus. 

Einfluss Parameter, Tangensfunktion Parameter
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Trigonometrische Funktionen: Einfluss der Parameter auf den Verlauf der Tangensfunktion.

Die blaue gestrichelte Funktion stellt die normale Tangensfunktion dar, also \tan(x), und dient dazu, den Einfluss der Parameter zu veranschaulichen. Die Parameter haben auf den Verlauf der Tangensfunktion den gleichen Einfluss wie auf den Verlauf der Cosinusfunktion. Entsprechend verschiebt der Parameter d die Kurve entlang der y-Achse, der Parameter c verschiebt die Kurve entlang der x-Achse, der Parameter a streckt oder staucht die Kurve entlang der y-Achse und der Parameter b streckt oder staucht die Kurve entlang der x-Achse. 

Den Parameter a kannst du leider nicht so einfach wie bei der Cosinusfunktion bestimmen. Was dieser aber macht, ist jeden Punkt entlang der blauen Kurve um den Fakor 0,5 zu stauchen. Für den Parameter d schaust du wieder, wohin die Nullstellen verschoben wurden. Ähnlich für den Parameter c, wobei hier die Nullstelle am Ursprung ausreicht. 

Trigonometrische Funktionen ableiten

In diesem Abschnitt geben wir dir eine Zusammenfassung, wie du trigonometrische Funktionen ableiten kannst. 

Sinusfunktion

Für die Funktion f(x) = \sin(x) gilt:

f'(x) = \cos(x).

Cosinusfunktion

Für die Cosinusfunktion g(x) = \cos(x) gilt:

g'(x) = -\sin(x).

Beachte, dass bei der hier ein Minuszeichen vorkommt.

Tangensfunktion

Für die Tangensfunktion h(x) = \tan(x) gilt:

h'(x) = 1 + \tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}.

Trigonometrische Funktionen Aufgaben

In diesem Abschnitt rechnen wir gemeinsam zwei Aufgaben für trigonometrische Funktionen. Bei der ersten Aufgabe wird es darum gehen, die Funktionsvorschrift einer verschobenen Cosinuskurve anhand des Graphen zu bestimmen. Bei der zweiten Aufgabe ist die Funktionsvorschrift einer Tangensfunktion gegeben und soll gezeichnet werden. Zudem soll die Tangensfunktion charakterisiert werden.

Aufgabe 1: Funktionsvorschrift aus Cosinuskurve bestimmen

Bestimme die Funktionsvorschrift der folgenden gegebenen Cosinuskurve.

Cosinuskurve Aufgabe, Parameter bestimmen
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Trigonometrische Funktionen Aufgabe 1: Die Cosinuskurve ist gegeben und die Funktionsvorschrift wird gesucht.

Lösung Aufgabe 1

Eine mögliche Methode ist sich eine unveränderte Cosinuskurve gedanklich im Koordinatensystem vorzustellen. Das könnte folgendermaßen aussehen.

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Trigonometrische Funktionen Aufgabe 1: Zur gegebenen Cosinuskurve wird eine unveränderte Cosinuskurve hinzugefügt.

Im ersten Schritt bestimmen wir den Parameter d. Dazu betrachten wir die Nullstellen der gedanklichen Kurve und ermitteln, wie weit diese nach unten verschoben wurde. In diesem Fall sind die Nullstellen um -2 verschoben und damit ist d = -2. Als nächstes bestimmen wir die Amplitude. Die rote Kurve schwingt mit +1,5 beziehungsweise -1,5 um die verschobenen Nullstellen. Die Amplitude ist somit 1,5, also a = 1,5. Die Breite eines Musters der roten Kurve ist genau 2\pi. Daher wurde die Kurve in x-Richtung weder gestreckt noch gestaucht und somit ist b = 1. Für den Parameter c schauen wir uns das Maximum der originalen Kurve im Ursprung an. Wir erkennen, dass dieses um \frac{\pi}{2} nach rechts verschoben wurde, denn ab \frac{\pi}{2} beginnt die rote Kurve das gleiche Muster wie die originale Kurve zu haben. Damit ist c = -\frac{\pi}{2}

Wir haben nun alle Parameterwerte gefunden und müssen diese nur noch in die allgemeine Form der Cosinusfunktion einsetzen. Wir erhalten dann für die gesuchte Funktionsvorschrift

g(x) = 1,5 \cdot \cos(1x +(-\frac{\pi}{2})) -2

= 1,5 \cdot \cos(x -\frac{\pi}{2}) - 2.

Cosinusfunktion Parameter bestimmen
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Trigonometrische Funktionen Aufgabe 1: Illustration der Schritte zum Finden der Funktionsvorschrift.

Aufgabe 2: Tangenskurve zeichnen und charakterisieren

Zeichne die Funktionsvorschrift

h(x) = 0,2 \cdot \tan(x + \frac{\pi}{2})

und bestimme ihre Nullstellen und Polstellen im Intervall [-\pi, \pi].

Lösung Aufgabe 2

Wir erkennen, dass die originale Tangenskurve um \frac{\pi}{2} nach links verschoben wurde. Entlang der y-Achse wurde sie nicht verschoben. Die Kurve geht also durch den Punkt (-\frac{\pi}{2}, 0). Die Amplitude wurde um den Faktor 0,2 gestaucht. Da hier b = 1 ist, ist die Periode unverändert gleich \pi. Wir beginnen daher im Punkt (-\frac{\pi}{2}, 0) die Tangenskurve zu zeichnen, indem wir in den Taschenrechner ein paar Werte für x aus dem Intervall (-\pi, \pi) einsetzen. Beachte, dass die Polstellen, an denen die unveränderte Tangensfunktion nicht definiert ist, ebenfalls um \frac{\pi}{2} nach links verschoben wurden.

Tangensfunktion zeichnen, Tangenskurve zeichnen, Polstellen Tangenskurve, Polstellen Tangensfunktion
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Trigonometrische Funktionen Aufgabe 2: Funktionsgraph der Tangensfunktion.

Wir haben in diesem Bild bereits die Polstellen mit P_1, P_2 und P_3, sowie die Nullstellen mit N_1 und N_2 gekennzeichnet. Außerdem haben wir durch die blau gestrichelten Linien die senkrechten Asymptoten dargestellt. Aus diesem Bild erkennen wir

Polstellen bei x_{1,P} = -\pi, x_{2,P} = 0 und x_{3,P} = \pi sowie

Nullstellen bei x_{1,N} = -\frac{\pi}{2} und x_{2,N} = \frac{\pi}{2}.

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