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Einheitsvektor

Wichtige Inhalte in diesem Video

Einheitsvektor einfach erklärt

(00:12)

Einheitsvektor berechnen Beispiele

(00:47)

Einheitsvektor Anwendungsbeispiel

(03:09)

Du möchtest wissen, was ein Einheitsvektor ist und wie du ihn berechnen kannst? Hier und im Video erfährst du es!

Inhaltsübersicht

Einheitsvektor einfach erklärt

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(00:12)

Ein Einheitsvektor ist ein Vektor der Länge 1.

Du machst aus einem normalen Vektor einen Einheitsvektor, indem du den Vektor durch seine Länge teilst.

Beispiel: Berechne den Einheitsvektor $\vec{e}_v$ von $\vec{v} = \left(\begin{array}{c} \textcolor{magenta}{3} \\ \textcolor{red}{0} \\ \textcolor{orange}{4} \end{array}\right)$ .

Berechne die Länge/den Betrag des Vektors.
$\textcolor{blue}{|\vec{v}|} = \sqrt{\textcolor{magenta}{3}^2 + \textcolor{red}{0}^2 +\textcolor{orange}{4}^2} = \textcolor{blue}{5}$
Teile deinen Vektor durch die Länge.
$\vec{e}_v = \frac{1}{\textcolor{blue}{5}} \cdot \left(\begin{array}{c} \textcolor{magenta}{3} \\ \textcolor{red}{0} \\ \textcolor{orange}{4} \end{array}\right)$

Einheitsvektor berechnen Formel

$\vec{e}_v = \frac{1}{\textcolor{blue}{| \vec{v}|}} \cdot \vec{v}$

Das ist doch gar nicht so schwer, oder? Schau dir gleich noch weitere Beispiele dafür an, wie du aus einem Vektor einen Einheitsvektor bestimmen kannst.

Einheitsvektor berechnen Beispiele

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(00:47)

Beispiel in R²:

Betrachte als Beispiel den Vektor $\vec{v} = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array}\right)$ . Um diesen Vektor auf die Länge 1 zu bringen, brauchst du zuerst den Betrag des Vektors.

$|\vec{v}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$

Jetzt teilst du deinen Vektor durch die Länge. Du rechnest also

$\vec{e}_v = \frac{1}{5} \cdot \left(\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} \frac{4}{5} \\ \frac{3}{5} \end{array}\right).$

Einheitsvektor, Einheitsvektor berechnen, Einheitsvektor bestimmen, Was ist ein Einheitsvektor?, Vektor durch Betrag — Einheitsvektor in 2D

Beispiel in R³:

Um den Vektor $\vec{v} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 6 \\ 3 \end{array}\right)$ zu normieren, berechnest du erst den Betrag von $\vec{v}$ .

$|\vec{v}| = \sqrt{2^2 + 6^2 + 3^2} = 7$

Erst dann kannst du den Einheitsvektor bestimmen.

$\vec{e}_v = \frac{1}{7} \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 6 \\ 3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} \frac{2}{7} \\ \frac{6}{7} \\ \frac{3}{7} \end{array}\right)$

Länge eines Einheitsvektors überprüfen

Das Besondere am Einheitsvektor ist, dass die Länge des Vektors immer 1 beträgt.

Willst du also überprüfen, ob du den Einheitsvektor richtig berechnet hast, so musst du lediglich den Betrag des Vektors bestimmen.

Merke

Für einen Einheitsvektor $\vec{e}_v$ gilt immer: $|\vec{e}_v| = 1$ .

Beispiel

Um zu überprüfen, ob zum Beispiel der Vektor $\vec{v} = \left(\begin{array}{c} -4 \\ 3 \end{array}\right)$ normiert ist, also die Länge 1 hat, bestimmst du den Betrag von $\vec{v}$ .

$|\vec{v}| = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = 5$

Da die Länge ungleich 1 ist, ist $\vec{v}$ nicht normiert. Um den Einheitsvektor zu berechnen, teilst du einfach den Vektor durch seine Länge und erhältst

$\vec{e}_v = \frac{1}{5} \cdot \left(\begin{array}{c} -4 \\ 3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -\frac{4}{5} \\ \frac{3}{5} \end{array}\right).$

Nun kannst du noch prüfen, ob $\vec{e}_v$ die Länge 1 hat.

$|\vec{e}_v| = \sqrt{(-\frac{4}{5})^2 + (\frac{3}{5})^2} = 1$

Super, jetzt hast du als Ergebnis die 1 erhalten!

Einheitsvektor Anwendungsbeispiel

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(03:09)

Wenn du von einem bestimmten Punkt aus eine Strecke in vorgegebener Richtung entlanglaufen willst, so verwendest du dafür den Einheitsvektor.

Betrachte zum Beispiel den Punkt $A(3 \vert 1 \vert 4)$ . Angenommen du möchtest nun von A aus 9 Einheiten in Richtung $\vec{v}= \left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ -4 \end{array}\right)$ gehen.

Um dein Zielpunkt P zu berechnen, musst du erst einmal $\vec{v}$ normieren. Dafür berechnest du den Betrag des Vektors

$| \vec{v} | = \sqrt{4^2 + 2^2 + (-4)^2} = 6$

und teilst $\vec{v}$ dann durch seine Länge

$\vec{e}_v = \frac{1}{6} \cdot \left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ -4 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \\ -\frac{2}{3} \end{array}\right).$

Nun kannst du den Punkt P berechnen, indem du beim Punkt A startest und 9 mal in Richtung $\vec{e}_v$ gehst.

$\vec{P} = \left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right) + 9 \cdot \left(\begin{array}{c} \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \\ -\frac{2}{3} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 9 \\ 4 \\ -2 \end{array}\right)$

Somit erhältst du den Punkt $P(9 \vert 4 \vert -2)$ als Ergebnis.

Einheitsvektor Aufgaben

Im Folgenden geben wir dir zwei Aufgaben, womit du die Berechnung der Einheitsvektoren üben kannst.

Aufgabe 1: Einheitsvektoren überprüfen

Überprüfe, ob es sich bei den folgenden Vektoren um Einheitsvektoren handelt.

a) $\vec{a} = \left(\begin{array}{c} 0,8 \\ -0,6 \end{array}\right)$

b) $\vec{b} = \left(\begin{array}{c} -5 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)$

Lösung Aufgabe 1

a) Um zu überprüfen, ob $\vec{a}$ normiert ist, berechnest du seinen Betrag.

$| \vec{a} | = \sqrt{0,8^2 + (-0,6)^2} = 1$

Da seine Länge 1 beträgt, handelt es sich um einen Einheitsvektor.

b) Berechne zuerst den Betrag des Vektors.

$| \vec{b} | = \sqrt{(-5)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{26} \neq 1$

Da der Betrag von $\vec{b}$ ungleich 1 ist, ist der Vektor also nicht normiert.

Aufgabe 2: Einheitsvektoren berechnen

Bestimme von den folgenden Vektoren die Einheitsvektoren und überprüfe das Ergebnis auf Richtigkeit.

a) $\vec{a} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array}\right)$

b) $\vec{b} = \left(\begin{array}{c} -1 \\ -5 \\ 2 \end{array}\right)$

Lösung Aufgabe 2

a) Zuerst berechnest du den Betrag vom $\vec{a}$

$| \vec{a} | = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{13}$

und teilst dann den Vektor durch seine Länge

$\vec{e}_a = \frac{1}{\sqrt{13}} \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array}\right).$

Damit kannst du den Einheitsvektor bestimmen

$\vec{e}_a = \left(\begin{array}{c} \frac{2}{\sqrt{13}} \\ -\frac{3}{\sqrt{13}} \end{array}\right).$

Zum Schluss kannst du noch den Betrag von $\vec{e}_a$ überprüfen

$| \vec{e}_a | = \sqrt{(\frac{2}{\sqrt{13}})^2 + (-\frac{3}{\sqrt{13}})^2} = 1$

Damit ist der Vektor normiert.

b) Auch hier berechnest du zuerst die Länge vom Vektor $\vec{b}$ . Du rechnest also

$| \vec{b} | = \sqrt{(-1)^2 + (-5)^2 + 2^2} = \sqrt{30}$

Nun teilst du $\vec{b}$ durch seine Länge

$\vec{e}_b = \frac{1}{\sqrt{30}} \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ -5 \\ 2 \end{array}\right)$

und kannst so den Einheitsvektor bestimmen

$\vec{e}_b = \left(\begin{array}{c} -\frac{1}{\sqrt{30}} \\ -\frac{5}{\sqrt{30}} \\ \frac{2}{\sqrt{30}} \end{array}\right)$

Wenn du mit dem Ergebnis unsicher bist, kannst du noch seinen Betrag bestimmen und überprüfen, ob $| \vec{e}_b | = 1$ herauskommt.

$| \vec{e}_b | = \sqrt{(-\frac{1}{\sqrt{30}})^2 + (-\frac{5}{\sqrt{30}})^2 + (\frac{4}{\sqrt{30}})^2} = 1$

Weitere Themen der Vektorrechnung

Es gibt auch noch weitere wichtige Themen, die sich mit Vektoren beschäftigen. Schau dir unbedingt auch unsere Videos zu den folgenden Themen an:

Um den Einheitsvektor zu berechnen, ist vor allem der Betrag eines Vektors von Bedeutung:

Lineare Algebra

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Vektorrechnung

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Orthogonale Projektion

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Einheitsvektor

Einheitsvektor einfach erklärt

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