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Vektoren addieren und subtrahieren

Wichtige Inhalte in diesem Video

So addierst und subtrahierst du Vektoren!

Vektoren addieren

Vektoren subtrahieren

In diesem Beitrag und im Video erfährst du, wie du Vektoren addierst und subtrahierst und wie du die Ergebnisse grafisch darstellst.

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Inhaltsübersicht

So addierst und subtrahierst du Vektoren!

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Bei der Addition und Subtraktion von Vektoren rechnest du immer Zeile für Zeile. Bei zweidimensionalen Vektoren rechnest du also x mit x und y mit y. Das Ergebnis schreibst du auch als Vektor.

Addition	Subtraktion
$\begin{pmatrix} \textcolor{olive}{-2} \\ \textcolor{violet}{5} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \textcolor{olive}{3} \\ \textcolor{violet}{-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \textcolor{olive}{-2 + 3} \\ \textcolor{violet}{5 + (-1)} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \textcolor{olive}{1} \\ \textcolor{violet}{4} \end{pmatrix}$	$\begin{pmatrix} \textcolor{olive}{4} \\ \textcolor{violet}{-6} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \textcolor{olive}{-3} \\ \textcolor{violet}{5} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \textcolor{olive}{4 - (-3)} \\ \textcolor{violet}{-6 - 5} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \textcolor{olive}{7} \\ \textcolor{violet}{-11} \end{pmatrix}$

Bei dreidimensionalen Vektoren verechnest du noch zusätzlich z mit z.

➡️Beispiel

$\begin{pmatrix} \textcolor{olive}{3} \\ \textcolor{violet}{-5} \\ \textcolor{teal}{7} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \textcolor{olive}{-2} \\ \textcolor{violet}{4} \\ \textcolor{teal}{-2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \textcolor{olive}{3 + (-2)} \\ \textcolor{violet}{-5 + 4} \\ \textcolor{teal}{7 + (-2)} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \textcolor{olive}{1} \\ \textcolor{violet}{-1} \\ \textcolor{teal}{5} \end{pmatrix}$

Wichtig: Du kannst nur Vektoren mit der gleichen Anzahl von Zeilen verrechnen. Einen zweidimensionalen Vektor darfst du also nicht mit einem dreidimensionalen Vektor addieren oder subtrahieren.

Vektoren addieren

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Um Vektoren zu addieren, musst du drei Schritte durchführen — egal wie viele Dimensionen deine Vektoren haben.

Schritt 1: Schreibe die Vektoren nebeneinander, sodass gleiche Dimensionen auf einer Höhe stehen.

➡️Beispiel: $\vec{a} = \begin{pmatrix} \textcolor{olive}{3} \\ \textcolor{violet}{-4} \end{pmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{pmatrix} \textcolor{olive}{-1} \\ \textcolor{violet}{6} \end{pmatrix}$

Schritt 2: Addiere jede Dimension einzeln.

➡️Beispiel: $\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} \textcolor{olive}{3} \\ \textcolor{violet}{-4} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \textcolor{olive}{-1} \\ \textcolor{violet}{6} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \textcolor{olive}{3 + (-1)} \\ \textcolor{violet}{-4 + 6} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \textcolor{olive}{2} \\ \textcolor{violet}{2} \end{pmatrix}$

Wichtig: Achte auf negative Einträge. Du vermeidest Vorzeichenfehler, indem du negative Zahlen in Klammern schreibst.

Schritt 3: Schreibe das Ergebnis als Ergebnisvektor.

➡️Beispiel: $\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} \textcolor{olive}{2} \\ \textcolor{violet}{2} \end{pmatrix}$

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Addition — Graphische Darstellung

Vektoren sind eigentlich nur Wegbeschreibungen im Koordinatensystem. Sie sagen dir, wie viele Einheiten du in welche Richtung gehen musst. Bei dem Vektor $\vec{x} = \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \end{pmatrix}$ würdest du also vier Schritte nach links und drei nach oben gehen.

Bei einer Addition sind das dann zwei Wegbeschreibungen hintereinander. Du gehst also erst den einen Vektor entlang und dann den zweiten.

So machst du das:

Schritt 1: Wähle einen Startpunkt in deinem Koordinatensystem.

➡️Beispiel: A (0 | 0)

Schritt 2: Zeichne den ersten Vektor als Pfeil vom Startpunkt aus.

➡️Beispiel: $\vec{\textcolor{blue}{a}} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix}$

Du gehst also drei Schritte nach rechts und vier nach unten. So landest auf Punkt B (3 | -4).

Schritt 3: Setze den zweiten Vektor an die Spitze des ersten Pfeils an.

➡️Beispiel: $\vec{\textcolor{cyan}{b}} = \begin{pmatrix} -1 \\ 6 \end{pmatrix}$

Von B (3 | -4) gehst du einen Schritt nach links und sechs nach oben. Jetzt bist du beim Endpunkt C (2 | 2).

Schritt 4: Zeichne den Ergebnisvektor $\vec{\textcolor{green}{c}}$ ein, indem du den Startpunkt des ersten Pfeils mit der Spitze des zweiten Pfeils verbindest.

Ein Bild zeigt die graphische Darstellung bei der Addition von zweidimensionalen Vektoren. Zuerst wird von einem Starpunkt A aus der erste Vektor gezogen. Er landet bei Punkt B. Von hier aus, wird der zweite Vektor eingezeichnet. Dadurch ergibt sich der Zielpunkt C. Der Ergebnisvektor verläuft nun vom Startpunkt A zum Zielpunkt C. — Vektoren graphisch addieren

Der Ergebnisvektor $\vec{c}$ ist die Summe der Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ . Deshalb kannst du mit ihm direkt vom Startpunkt A (0 | 0) zum Zielpunkt C (2 | 2) gelangen. Dafür gehst du vom Startpunkt aus den Ergebnisvektor $\vec{c}$ entlang — also zwei Schritte nach rechts und zwei nach oben.

Vektoren subtrahieren

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Die Subtraktion funktioniert genauso wie die Addition — nur eben mit Minus. Du gehst also wieder so vor:

Schritt 1: Schreibe die Vektoren nebeneinander.

➡️Beispiel: $\vec{a} = \begin{pmatrix} \textcolor{olive}{5} \\ \textcolor{violet}{-3} \end{pmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{pmatrix} \textcolor{olive}{-2} \\ \textcolor{violet}{4} \end{pmatrix}$

Schritt 2: Rechne jede Dimension einzeln aus.

➡️Beispiel: $\vec{a} - \vec{b} = \begin{pmatrix} \textcolor{olive}{5} \\ \textcolor{violet}{-3} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \textcolor{olive}{-2} \\ \textcolor{violet}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \textcolor{olive}{5 - (-2)} \\ \textcolor{violet}{-3 - 4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \textcolor{olive}{7} \\ \textcolor{violet}{-7} \end{pmatrix}$

Schritt 3: Schreibe das Ergebnis als Ergebnisvektor.

➡️Beispiel: $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b} = \begin{pmatrix} \textcolor{olive}{7} \\ \textcolor{violet}{-7} \end{pmatrix}$

Subtraktion — Graphische Darstellung

Auch die Subtraktion zweier Vektoren kannst du dir wie zwei Wegbeschreibungen vorstellen. Nur musst du den zweiten Vektor rückwärts gehen.

So gehst du vor:

Schritt 1: Wähle einen Startpunkt im Koordinatensystem.

➡️Beispiel: D (0 | 0)

Schritt 2: Zeichne den ersten Vektor als Pfeil vom Startpunkt aus.

➡️Beispiel: $\vec{\textcolor{blue}{d}} = \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \end{pmatrix}$

Du gehst also fünf Schritte nach rechts und drei nach unten. So landest auf Punkt E (5 | -3).

Schritt 3: Jetzt musst du den zweiten Vektor abziehen. Dafür drehst du seine Vorzeichen um. Dadurch erhältst du den Gegenvektor.

➡️Beispiel: $\vec{\textcolor{cyan}{e}} = \begin{pmatrix} -2 \\4 \end{pmatrix}; \quad \vec{\textcolor{cyan}{-e}} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix}$

Schritt 4: Hänge den Gegenvektor an die Spitze des ersten Pfeils an.

➡️Beispiel: $\vec{\textcolor{cyan}{-e}} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix}$

Von E (5 | -3) gehst du zwei Schritte nach rechts und vier nach unten. Jetzt bist du bei Punkt F (7 | -7).

Schritt 5: Zeichne den Ergebnisvektor $\vec{\textcolor{green}{f}}$ ein, indem du den Startpunkt des ersten Pfeils mit der Spitze des zweiten Pfeils verbindest.

Ein Bild zeigt die graphische Darstellung bei der Subtraktion von zweidimensionalen Vektoren. Zuerst wird von einem Starpunkt D aus der erste Vektor gezogen. Er landet bei Punkt E. Von hier aus, wird der Gegenvektor des zweiten Vektors eingezeichnet. Dadurch ergibt sich der Zielpunkt F. Der Ergebnisvektor verläuft nun vom Startpunkt D zum Zielpunkt F. — Vektoren graphisch subtrahieren

Der Ergebnisvektor $\vec{f}$ ist die Differenz der Vektoren $\vec{d}$ und $\vec{e}$ . Deshalb kannst du mit ihm direkt vom Startpunkt D (0 | 0) zum Zielpunkt F (7 | -7) gelangen. Dafür gehst du vom Startpunkt aus den Ergebnisvektor $\vec{f}$ entlang — also sieben Schritte nach rechts und sieben nach unten.

Vektor Multiplikation

Du beherrschst jetzt Addition und Subtraktion von Vektoren? Dann wird es Zeit für die nächste Stufe: Multiplikation von Vektoren. In unserem Beitrag erfährst du wie das funktioniert!

Zum Video: Vektor Multiplikation

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