Lineare Algebra
Lineare Gleichungssysteme
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Gleichsetzungsverfahren einfach erklärt 

%FSMit dem Gleichsetzungsverfahren kannst du die Lösung von einem linearen Gleichungssystem herausfinden. Dazu löst du beide Gleichungen nach derselben Variable auf und setzt die entsprechenden Terme gleich. Damit kannst du zum Beispiel das folgende lineare Gleichungssystem berechnen: 

(I)   2x – 3y = -2

(II)   -3x + 6y = 0

Wie du bei Aufgaben zum Gleichsetzungsverfahren vorgehst, zeigt dir diese Schritt-für-Schritt-Anleitung:

Gleichsetzungsverfahren Anleitung

Schritt 1: Forme beide Gleichungen nach derselben Variable um (z. B. x).

Schritt 2: Setze die Terme gleich.

Schritt 3: Löse die Gleichung  nach der übrigen Variable (z. B. y) auf.

Schritt 4: Setze nun das Ergebnis aus Schritt 3 in eine der Gleichungen aus Schritt 1 ein. So berechnest du den Wert der anderen Variable (x).

Probe: Nun setzt du die ermittelten Werte in die ursprünglichen Gleichungen des linearen Gleichungssystems ein. Wenn die Gleichungen erfüllt sind, ist dein Ergebnis richtig.

Probiere das direkt an ein paar Gleichsetzungsverfahren Aufgaben aus!

Gleichsetzungsverfahren — Beispiel %nur latex entfernt und Farben ergänzt

Hier siehst du ein System aus zwei linearen Gleichungen. Das kannst du mit dem Gleichsetzungsverfahren Schritt-für-Schritt lösen!

(I)   2x – 3y = -2

(II)   -3x + 6y = 0

Schritt 1:  Forme beide Gleichungen nach einer Variablen um. Wir entscheiden uns für die Variable x. 

(I)   2x – 3y = -2   | + 3y

   2x = -2 + 3y  | : 2

(I‘)   x = -1 + 1,5y

(II)   -3x + 6y = 0  | – 6y

  -3x = -6y   | : (-3)

(II‘)   x = 2y

Schritt 2: Du hast nun zwei Gleichungen für die Variable x. Die kannst du dann gleichsetzen:

(I‘) = (II‘)

-1 + 1,5y = 2y

Schritt 3: Jetzt hast du eine Gleichung, wo nur noch die Variable y vorkommt. Forme sie nach y um.

-1 + 1,5y = 2y   | -1,5y

-1 = 0,5y   | : 0,5

y = -2

Schritt 4: Es fehlt dir jetzt nur noch der Wert für die Variable x. Dafür setzt du y=-2 entweder in Gleichung (I‘) oder (II‘) ein — zum Beispiel in (II‘):

y = -2 in (II‘)   x = 2 · (-2)

x = -4

Probe: Um zu überprüfen, ob die Werte x=-4 und y = -2 richtig sind, setzt du sie in die ursprünglichen Gleichungen (I) und (II) ein:

(I)   2 · (-4) – 3 · (-2) = -2

(II)   -3 · (-4) + 6 · (-2) = 0

Super! Beide Gleichungen sind erfüllt! Das heißt du hast beim Gleichungsverfahren in der Aufgabe alles richtig gemacht!

Gleichsetzungsverfahren: Anzahl der Lösungen %umgeschrieben

Ein lineares Gleichungssystem kann entweder keine Lösung, eine eindeutige Lösung oder sogar unendlich viele Lösungen haben. Mit dem Gleichsetzungsverfahren findest du heraus, wie viele Lösungen es gibt.

Keine Lösung

Wenn das lineare Gleichungssystem keine Lösung hat, gibt es keine Werte für x und y, für die beide Gleichungen aufgehen. Das bedeutet, die Lösungsmenge ist leer L = { }. Egal welche Werte du für x und y in die Gleichung einsetzt, es entsteht immer eine falsche Aussage. Schau es dir an einem Beispiel an:

Betrachte zuerst das lineare Gleichungssystem

(I)   -3x + 6y = 3

(II)   2x – 4y = 3

Schritt 1: Um das Gleichsetzungsverfahren anzuwenden, formst du zuerst beide Gleichungen nach x um.

(I‘)   x = -1 + 2y

(II‘)   x = 1,5 + 2y

Schritt 2: Dann setzt du (I‘) und (II‘) gleich.

(I‘) = (II‘)

 -1 + 2y = 1,5 + 2y

Schritt 3: Löse die Gleichung auf. Du erhältst eine falsche Aussage:

0 = 2,5

Das bedeutet, dass das lineare Gleichungssystem in dieser Aufgabe zum Gleichsetzungsverfahren keine Lösung besitzt. Lösungsmenge L = { }.

Eindeutige Lösung

Beim Gleichsetzungsverfahren für lineare Gleichungssysteme kannst du auch auf genau eine Lösung kommen. Es gibt also genau einen Wert für x und genau einen Wert für y, bei der die beiden Gleichungen aufgehen. Die Lösungsmenge besteht dann aus genau einem Zahlenpaar L = {(x;y)}. Hier siehst du ein Beispiel dazu:

(I)   -2x + 3y = -12

(II)   x – 2y = 6

Schritt 1: 

(I‘)   x = 6 + 1,5y

(II‘)   x = 6 + 2y

Schritt 2:

(I‘) = (II‘)

6 – 1,5y = 6 + 2y

Schritt 3: Du erhältst damit eine Gleichung, die du direkt nach y auflösen kannst.

0 = 3,5y   | : 3,5

y = 0

Schritt 4: 

y = 0 in (I‘)   x = 6 – 1,5 · 0

x = 6

Somit hast du mit x = 6 und y = 0 die eindeutige Lösung des linearen Gleichungssystems. Lösungsmenge L = {(6;0)}.

Unendlich viele Lösungen

Es kann auch passieren, dass du bei Gleichsetzungsverfahren Aufgaben unendlich viele Zahlenpaare als Lösungen bekommst. Hat dein Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, entsteht immer eine wahre Aussage – egal welche Werte du für x und y einsetzt.

Schau es dir wieder an einem Beispiel an:

(I)   2x – 5y = 7

(II)   -4x + 10y = -14

Schritt 1:

(I‘)   x = 3,5 + 2,5y

(II‘)   x = 3,5 + 2,5y

Schritt 2:

(I‘) = (II‘)

3,5 + 2,5y = 3,5 + 2,5y

Schritt 3: Versuchst du die Gleichung zu lösen, entsteht eine Aussage, die immer wahr ist:

0 = 0

Das heißt, dass du für y jeden beliebigen Wert einsetzen kannst. Die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems ist somit \lbrace (3,5 + 2,5y ) \vert y \in \mathbb{R} \rbrace. Also hat das lineare Gleichungssystem unendlich viele Lösungen. Dazu zählen zum Beispiel {(1;6), (2;8,5),…}.

Gleichsetzungsverfahren Übungen%nur latex entfernt und Farben ergänzt

Schau dir nun ein paar Übungen und Aufgaben zum Gleichsetzungsverfahren an. Betrachte dafür das lineare Gleichungssystem

(I)   2x + 2y = 2

(II)   x – 4y = -14

Schritt 1: Forme zuerst beide Gleichungen nach einer Variablen um. Wir wählen die Variable x.

(I‘)   x = 1 – y

(II‘)   x = -14 + 4y

Schritt 2: Nun setzt du Gleichung (I‘) mit Gleichung (II‘) gleich.

(I‘) = (II‘)   

1 – y =-14 + 4y

(II“)   -5y = -15

Schritt 3: Somit hast du eine Gleichung, die nur noch von der Variable y abhängt, also löst du die Gleichung nach y auf und bekommst somit den Wert für y.

(II“)   -5y = -15   | : (-5)

y = 3

Schritt 4: Nun kannst du auch die Variable x bestimmen, indem du y = 3 in die Gleichung (I‘) einsetzt.

y = 3 in (I‘)   x = 1 – 3

x = -2

Damit hast du mit dem Gleichsetzungsverfahren die Lösung x = -2 und y = 3 des linearen Gleichungssystems bestimmt.

Probe: Um noch zu überprüfen, ob du das Gleichsetzungsverfahren richtig angewendet hast und somit die Lösung richtig ist, setzt du x = -2 und y = 3 in die Gleichungen (I) und (II) ein.

(I)   2 · (-2) + 2 · 3 = 2

(II)   -2 – 4 · 3 = -14

Da beide Gleichungen erfüllt sind, ist die Lösung richtig und du hast das Gleichsetzungsverfahren korrekt angewendet.

Gleichsetzungsverfahren Aufgaben%nur latex entfernt und Farben ergänzt

Im folgenden Abschnitt stellen wir dir zum Gleichsetzungsverfahren zwei Aufgaben mit Lösungen zur Verfügung. Damit kannst du selbst testen, ob du es verstanden hast!

Aufgabe 1: 2 Gleichungen 2 Variablen

Verwende das Gleichsetzungsverfahren, um das folgende lineare Gleichungssystem zu lösen.

(I)   -4x + 2y = -10

(II)   3x – 2y = 8

Lösung Aufgabe 1

Um das Gleichsetzungsverfahren anzuwenden, formst du die beiden Gleichungen erst einmal nach y um und erhältst damit die Gleichungen

(I‘)   y = -5 + 2x

(II‘)   y = -4 + 1,5x

Setzt du nun die Gleichungen (I‘) und (II‘) gleich, so bekommst du die Gleichung

(I‘) = (II‘)

-5 + 2x = -4 + 1,5x

(I“)   0,5x = 1

Diese Gleichung enthält nur noch die Variable x. Formst du Gleichung (I“) also nach x um, so erhältst du für x den Wert

x = 2

Um die Variable y zu bestimmen, setzt du x = 2 in Gleichung (II‘) ein.

x = 2 in (II‘)   y = -4 + 1,5 · 2

y = -1

Somit hast du mit x = 2 und y = -1 die Lösung des linearen Gleichungssystems bestimmt. Zum Schluss kannst du noch die Werte x = 2 und y = -1 in die ursprünglichen Gleichungen (I) und (II) einsetzen, um zu überprüfen, ob du mit dem Gleichsetzungsverfahren die richtige Lösung berechnet hast.

(I)   -4 · 2 + 2 · (-1) = -10

(II)   3 · 2 – 2 · (-1) = 8

Wie du siehst, sind beide Gleichungen erfüllt, damit hast du das Gleichsetzungsverfahren richtig angewendet und die Variablen x und y richtig berechnet.

Aufgabe 2: Gleichsetzungsverfahren mit 2 Gleichungen

Löse mit dem Gleichsetzungsverfahren das lineare Gleichungssystem

(I)   3x – 2y = -13

(II)   4x + 2y = -8

Lösung Aufgabe 2

Für das Gleichsetzungsverfahren formst du zuerst beide Gleichungen nach y um. Damit erhältst du die Gleichungen

(I‘)   y = 6,5 + 1,5x

(II‘)   y = -4 – 2x

Jetzt kannst du das Gleichsetzungsverfahren anwenden. Dafür setzt du die beiden Gleichungen (I‘) und (II‘) gleich.

(I‘) = (II‘)

6,5 + 1,5x = -4 – 2x

Somit erhältst du mit 

3,5x = -10,5

eine neue Gleichung, die nur noch von der Variablen x abhängt. Löst du die Gleichung nun nach x auf, so erhältst du

x = -3

Als nächstes kannst du mit den Gleichungen (I‘) und (II‘) den Wert für y berechnen, indem du x = -3 in eine der beiden Gleichungen einsetzt. Eingesetzt in (II‘) erhältst du

x = -3 in (II‘)   y = -4 – 2 · (-3)

y = 2

Insgesamt hast du mit dem Gleichsetzungsverfahren die Lösung x = -3 und y = 2 des linearen Gleichungssystems bestimmt. Um die Lösung auf Richtigkeit zu überprüfen, setzt du die Werte für x und y in die Gleichungen (I) und (II) ein.

(I)   3 · (-3) – 2 · 2 = -13

(III)   4 · (-3) + 2 · 2 = -8

Da beide Gleichungen erfüllt sind, hast du die Lösung richtig berechnet und das Gleichsetzungsverfahren korrekt angewendet.

Weitere Lösungsverfahren linearer Gleichungssysteme%nichts verändert

Es gibt neben dem Gleichsetzen in Mathe auch noch andere Verfahren, mit denen du Gleichungssysteme lösen kannst. Schau dir unbedingt auch unsere Videos zu den folgenden Themen an:

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