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Richtungsvektor

Wichtige Inhalte in diesem Video

Richtungsvektor einfach erklärt

Richtungsvektor rechnerisch bestimmen

Richtungsvektor grafisch bestimmen

Richtungsvektor Gerade

Was genau ein Richtungsvektor eigentlich ist und wie du ihn bestimmen kannst, erfährst du in diesem Beitrag und im Video !

Inhaltsübersicht

Richtungsvektor einfach erklärt

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Der Richtungsvektor AB ist ein Vektor zwischen zwei Punkten. Er zeigt dir die Richtung vom Punkt A zum Punkt B an. Das heißt, er verläuft zwischen den Pfeilspitzen der Ortsvektoren OA und OB.

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Dabei ist es egal, ob du ein zwei– oder dreidimensionales Koordinatensystem gegeben hast.

Richtungsvektor oder Ortsvektor?

Der Ortsvektor OA verläuft vom Ursprung O zum Punkt A. Im Gegensatz zum Richtungsvektor hat ein Ortsvektor immer den gleichen Anfangspunkt O. Die Koordinaten des Ortsvektors kannst du einfach direkt vom Punkt A ablesen.

Richtungsvektor rechnerisch bestimmen

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Um einen Richtungsvektor zu berechnen, brauchst du die folgende Formel:

$\textcolor{red}{AB} =\textcolor{blue}{OB} - \textcolor{green}{OA} = \textcolor{blue}{\left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array} \right)} - \textcolor{green}{\left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array} \right)} = \textcolor{red}{\left( \begin{array}{c} b_1 - a_1 \\ b_2 - a_2 \\ b_3 - a_3 \end{array} \right)}$

Rechne immer B minus A, also „Spitze minus Fuß„. So ziehst du den Ortsvektor OA vom Ortsvektor OB ab und erhältst den Richtungsvektor AB. Schau dir dazu mal ein Beispiel an.

Beispiel:

Du hast die Punkte A(2|2|1) und B(3|4|0) gegeben. Nun sollst du den Richtungsvektor AB berechnen.

Schritt: Ortsvektoren aufstellen

$\textcolor{blue}{OB} = \textcolor{blue}{\left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array} \right)} = \textcolor{blue}{\left( \begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right)}$

$\textcolor{green}{OA} = \textcolor{green}{\left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array} \right)} = \textcolor{green}{\left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)}$
Schritt: Formel anwenden

$\textcolor{red}{AB} = \textcolor{blue}{OB} - \textcolor{green}{OA} = \textcolor{blue}{\left( \begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right)} - \textcolor{green}{\left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)} = \left( \begin{array}{c} \textcolor{blue}{3} - \textcolor{green}{2} \\ \textcolor{blue}{4} - \textcolor{green}{2} \\ \textcolor{blue}{0} - \textcolor{green}{1} \end{array} \right) = \textcolor{red}{\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -1 \end{array} \right)}$

Der Richtungsvektor AB hat die Koordinaten $\textcolor{red}{\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -1 \end{array} \right)}$ .

Übrigens: Vektoren werden oft auch mit einem Pfeil gekennzeichnet. Das heißt, statt AB schreibst du dann $\vec{\textcolor{red}{AB}}$ .

Richtungsvektor grafisch bestimmen

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Einen Richtungsvektor kannst du aber auch im Koordinatensystem ablesen. Hast du zwei Punkte A und B gegeben, dann verbindest du sie und zeichnest so den Richtungsvektor AB ein. Danach liest du noch die Koordinaten ab und schon hast du AB bestimmt.

Beispiel:

Du hast die Punkte A(2|2|1) und B(3|4|0) im Koordinatensystem gegeben. Willst du den Richtungsvektor AB grafisch bestimmen, gehst du dabei so vor:

Schritt: Punkte zu Richtungsvektor AB verbinden

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Richtungsvektor AB
Schritt: Koordinaten ablesen
Überlege dir, wie weit du in x₁, x₂ und x₃-Richtung du gehen musst, um vom Punkt A zum Punkt B zu gelangen. Hier gehst du 1 in x₁-Richtung, 2 in x₂-Richtung und -1 in x₃-Richtung.

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Richtungsvektor ablesen

Wie du siehst, kommst du durch Ablesen auf den gleichen Vektor $\textcolor{red}{AB} = \textcolor{red}{\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -1 \end{array} \right)}$ wie beim Rechnen.

Normierte Richtungsvektoren

Wenn du dich nur für die Richtung eines Vektors interessierst, die genaue Länge aber egal ist, kannst du den normierten Vektor berechnen. Dafür änderst du die Länge des Vektors zu 1:

| $\textcolor{cyan}{AB}_0$ | = 1

Für die Normierung berechnest du als Erstes die Länge des Vektors AB. Das machst du mit dem Vektorbetrag :

$|\textcolor{red}{AB}| = \sqrt {1^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{6}$

Damit die Länge 1 wird, teilst du die Koordinaten von AB durch seine Länge:

$\textcolor{cyan}{AB}_0 = \frac{1}{\sqrt{6}}\cdot \vec{\textcolor{red}{AB}} = \frac{1}{\sqrt{6}}\cdot \textcolor{red}{\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -1 \end{array} \right)}$

$\textcolor{cyan}{AB}_0 = {\left(\begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{2}{\sqrt{6}} \\ -\frac{1}{\sqrt{6}} \end{array} \right)$

Richtungsvektor Gerade

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Mithilfe eines Richtungsvektors kannst du auch eine Gerade beschreiben. Liegen die Punkte A und B auf der Geraden, dann zeigt dir der Vektor AB die Richtung der Gerade.

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Die Gerade kannst du nun in der Parameterform darstellen. Dafür brauchst du neben dem Richtungsvektor AB auch noch einen Stützvektor. Dieser kann entweder der Ortsvektor OA oder OB sein:

$g: x= \textcolor{green}{OA} +\lambda \cdot \textcolor{red}{AB}$

Richtungsvektoren Ebene

Bei einer Ebene benötigst du im Gegensatz zur Geraden zwei Richtungsvektoren. Hier nennst du diese aber Spannvektoren .

Richtungsvektor — häufigste Fragen

Was ist ein Richtungsvektor?
Ein Richtungsvektor AB ist ein Verbindungsvektor zwischen den zwei Punkten A und B. Er verläuft dabei vom Punkt A zum Punkt B.
Wie berechnet man einen Richtungsvektor?
Du berechnest einen Richtungsvektor AB, indem du den Ortsvektor OB vom Ortsvektor OA beziehst.
Was ist der Richtungsvektor einer Gerade?
Der Richtungsvektor v einer Geraden ist der Vektor, der in die gleiche räumliche Richtung zeigt wie die Gerade. Hast du zwei Punkte A und B auf der Geraden gegeben, kannst du ihn mit einem Verbindungsvektor berechnen.

Einheitsvektor

Super! Jetzt weißt du alles über den Richtungsvektor und wie du ihn bestimmen kannst. Du willst nun mehr über den Einheitsvektor erfahren? Dann schau direkt in unserem Video vorbei!

Zum Video: Einheitsvektor

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