Lineare Algebra

Gram Schmidt Verfahren

Mit dem Gram Schmidt Verfahren kannst du ein Orthogonal- oder Orthonormalsystem bestimmen. Wie das in beiden Fällen funktioniert, zeigen wir dir in diesem Artikel. Für beide Fälle haben wir auch ein Beispiel parat und wir erklären dir auch, weshalb das Verfahren überhaupt funktioniert.

Um das Gram Schmidt Verfahren aber noch einprägsamer für dich aufzubereiten, haben wir extra ein Video dazu erstellt.

Inhaltsübersicht

Gram Schmidt Verfahren einfach erklärt

Wenn du ein System linear unabhängiger Vektoren hast, dann kannst du mit dem Gram Schmidt Verfahren aus diesen Vektoren ein Orthogonalsystem oder ein Orthonormalsystem bestimmen. Diese Systeme erzeugen wieder den selben Untervektorraum, wie die Ausgangsvektoren. Das Gram Schmidt Verfahren zur Berechnung eines Orthogonalsystems heißt auch Gram Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren, oder auch Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren genannt. Das Verfahren, mit welchem du das Orthonormalsystem bestimmen kannst, heißt analog Gram Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren. Beide Vorgehen ähneln sich allerdings stark, worauf wir später im Artikel noch genauer eingehen werden. Stellen die linear unabhängigen Ausgangsvektoren eine Basis dar, so ist auch das berechnete Orthogonalsystem eine Orthogonalbasis. Berechnet man aus ihnen ein Orthonormalsystem. So erhält man eine Orthonormalbasis.#

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Gram Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren

Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren

Mit dem Gram Schmidt Verfahren zur Orthogonalisierung berechnet man aus linear unabhängigen Vektoren v_1, v_2, ..., v_n sukzessive die Vektoren w_1, w_2, ..., w_n. Diese stellen dann das Orthogonalsystem dar. Dabei wird der erste Vektor v_1 unverändert gelassen und entspricht somit dem Vektor w_1. Der darauffolgende Vektor v_2 muss nun zu w_1 orthogonalisiert werden. Dazu wird die orthogonale Projektion von v_2 auf w_1 betrachtet. Der Differenzenvektor zwischen v_2 und dieser orthogonalen Projektion ist dann orthogonal zu w_1. Für die Berechnung des nächsten Vektors geht man ähnlich vor. Allerdings muss jetzt die Projektion auf den Spann der bisher berechneten Vektoren betrachtet werden.

Algorithmus

Aus den linear unabhängigen Vektoren v_1, v_2, ..., v_n werden die Vektoren w_1, w_2, ..., w_n des Orthogonalsystems wie folgt berechnet:

w_1=v_1

w_2=v_2-\frac{\langle w_1,v_2\rangle}{\langle w_1, w_1\rangle}w_1

w_3=v_3-\left(\frac{\langle w_1,v_3\rangle}{\langle w_1, w_1\rangle}w_1+\frac{\langle w_2,v_3\rangle}{\langle w_2, w_2\rangle}w_2\right)

\vdots

w_n=v_n-\sum\limits_{i=1}^{n-1}\frac{\langle w_i,v_n\rangle}{\langle w_i,w_i\rangle}w_i

Hierbei stellt \sum\limits_{i=1}^{n-1}\frac{\langle w_i,v_n\rangle}{\langle w_i,w_i\rangle}w_i die orthogonale Projektion von v_n auf den Spann der bisher berechneten Vektoren dar.

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Orthogonale Projektion mit Gram Schmidt Verfahren

Gram Schmidt Verfahren Beispiel

Wir wollen die Idee des Gram Schmidt Verfahrens an einem kurzen Beispiel noch einmal demonstrieren. Dazu betrachten wir die linear unabhängigen Vektoren v_1=\left(\begin{array}{ccc}1\\2\\3\end{arrray}\right), v_2=\left(\begin{array}{ccc}2\\3\\4\end{arrray}\right).

Das eben beschriebene Verfahren soll uns nun zwei orthogonale Vektoren liefern.

Hierfür schreibt der Algorithmus vor, dass der erste Vektor unverändert bleiben soll:

w_1=v_1=\left(\begin{array}{ccc}1\\2\\3\end{arrray}\right)

Den zweiten Vektor berechnen wir gemäß des Algorithmuses wie folgt.

w_2=v_2-\frac{\langle w_1,v_2\rangle}{\langle w_1, w_1\rangle}w_1=\left(\begin{array}{ccc}2\\3\\4\end{arrray}\right)-\frac{2+6+12}{1+4+9}\cdot\left(\begin{array}{ccc}1\\2\\3\end{arrray}\right)=\left(\begin{array}{ccc}2\\3\\4\end{arrray}\right)-\frac{20}{14}\cdot\left(\begin{array}{ccc}1\\2\\3\end{arrray}\right)=\left(\begin{array}{ccc}8/14\\2/14\\-4/14\end{arrray}\right)

Mithilfe des Skalarprodukts kannst du noch kontrollieren, ob w_2 auch tatsächlich orthogonal zu w_1 ist.

\langle \left(\begin{array}{ccc}8/14\\2/14\\-4/14\end{arrray}\right), \left(\begin{array}{ccc}1\\2\\3\end{arrray}\right) \rangle=0

Gram Schmidt Orthonormalisierungsverfahren

Das Gram Schmitsche Orthonormalisierungsverfahren ist ganz ähnlich dem Orthogonalisierungsverfahren. Allerdings verfolgt es das Ziel, ein Orthonormalsystem zu erhalten. Daher wird das Orthogonalisierungsverfahren dahingehend modifiziert, dass jeder neu berechneter Vektor normiert wird. Erst danach bestimmt man den nächsten Vektor. Arbeitet man dann mit dem eben normierten Vektor weiter, so vereinfacht sich dieser Schritt ein wenig gegenüber der Berechnung im Orthogonalisierungsverfahren.

Algorithmus

w_1=\frac{v_1}{||v_1||} (Normieren des Vektors)

w_2'=v_2-\langle w_1,v_2\rangle w_1 (Orthogonalisieren des zweiten Vektors v_2)

w_2=\frac{w_2'}{||w_2'||} (Normieren des Vektors w_2')

w_3'=v_3-\left(\langle w_1,v_3\rangle w_1+\langle w_2,v_3\rangle w_2\right) (Orthogonalisieren des dritten Vektors v_3)

w_3=\frac{w_3'}{||w_3'||} (Normieren des Vektors w_3')

\vdots

w_n'=v_n-\sum\limits_{i=1}^{n-1}\langle w_i,v_n\rangle w_i (Orthogonalisieren des n-ten Vektors v_n)

w_n=\frac{w_n'}{||w_n'||} (Normieren des Vektors w_n')

Eine Möglichkeit zur Berechnung eines Orthonormalsystems wäre es auch zunächst ein Orthogonalsystem zu ermitteln und erst zum Schluss alle Vektoren zu normieren.

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Gram Schmidt Orthonormalisierungsverfahren

Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren Beispiel

Auch zur Bestimmung eines Orthonormalsystems mithilfe des Gram Schmidt Verfahrens wollen wir ein Beispiel anführen. Dazu betrachten wir die Vektoren v_1=\left(\begin{array}{cc}3\\4\end{arrray}\right), v_2=\left(\begin{array}{cc}2\\2\end{arrray}\right).

Zunächst müssen wir den Vektor v_1 normieren.

w_1=\frac{v_1}{||v_1||}=\frac{1}{\sqrt{3^2+4^2}}\left(\begin{array}{cc}3\\4\end{arrray}\right)=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{cc}3\\4\end{arrray}\right)

Nun orthogonalisieren wir den zweiten Vektor:

w_2'=v_2-\langle w_1,v_2\rangle w_1=\left(\begin{array}{cc}2\\2\end{arrray}\right)-\frac{1}{5}(3\cdot 2+4\cdot 2)\cdot\frac{1}{5}\left(\begin{array}{cc}3\\4\end{arrray}\right)=\left(\begin{array}{cc}2\\2\end{arrray}\right)-\frac{14}{25}\left(\begin{array}{cc}3\\4\end{arrray}\right)=\left(\begin{array}{cc}8/25\\-6/25\end{arrray}\right)

Abschließend muss dieser Vektor nur noch normiert werden.

w_2=\frac{w_2'}{||w_2'||}=\frac{1}{\sqrt{\frac{64}{625}+\frac{36}{625}}}\left(\begin{array}{cc}8/25\\-6/25\end{arrray}\right)=\frac{1}{\sqrt{\frac{100}{625}}}\left(\begin{array}{cc}8/25\\-6/25\end{arrray}\right)=\frac{1}{\sqrt{\frac{4}{25}}}\left(\begin{array}{cc}8/25\\-6/25\end{arrray}\right)

Du siehst, dass durch das Normieren zwischen den Schritten schnell unhandliche Zahlen entstehen können. Daher ist es oft sinnvoll, zunächst einmal ein Orthogonalsystem zu bestimmen. Anschließend kann man alle Vektoren des Systems noch normieren.

Funktionsweise des Verfahrens

Wir wollen zum Schluss noch kurz darlegen, weshalb das Gram Schmidt Verfahren überhaupt zum gewünschten Ziel führt. Dazu nehmen wir an, dass wir aus unseren gegebenen Vektoren v_1, v_2, ..., v_n bereits bis zu dem Vektor v_{k-1} alle Vektoren orthogonalisiert haben. Wir haben also schon die Vektoren w_1, w_2, ..., w_{k-1} bestimmt. Nun wollen wir den Vektor v_k so anpassen, dass der dadurch erhaltene Vektor w_k orthogonal zu den Vektoren w_1, w_2, ..., w_{k-1} ist. Dazu ziehen wir eine Linearkombination \sum\limits_{i=1}^{k-1} \lambda _i \cdot w_i vom Vektor v_k ab:

w_k=v_k-\sum\limits_{i=1}^{k-1} \lambda _i \cdot w_i

Nun müssen wir allerdings die passenden Linearfaktoren \lambda _i finden, sodass w_k auch tasächlich orthogonal zu den anderen Vektoren ist. Wir zeigen, dass dies für folgende Linearfaktoren gilt:

\lambda _i=\frac{\langle w_i,v_k\rangle}{\langle w_i,w_i\rangle}

Dazu berechnen wir das Skalarprodukt aus w_k=v_k-\sum\limits_{i=1}^{k-1} \lambda _i \cdot w_i mit einem beliebigen bereits berechneten Vektor w_j.

\langle w_k, w_j\rangle=\langle v_k-\sum\limits_{i=1}^{k-1} \frac{\langle w_i,v_k\rangle}{\langle w_i,w_i\rangle} \cdot w_i, w_j \rangle=\langle v_k, w_j\rangle- \langle\sum\limits_{i=1}^{k-1}  \frac{\langle w_i,v_k\rangle}{\langle w_i,w_i\rangle} \cdot w_i, w_j \rangle=\langle v_k, w_j\rangle- \sum\limits_{i=1}^{k-1}  \frac{\langle w_i,v_k\rangle}{\langle w_i,w_i\rangle} \underbrace{\langle w_i, w_j \rangle}_{=0\,\mathrm{wenn}\,i\neq j}=\langle v_k, w_j\rangle-\langle v_k, w_j\rangle=0

Das Skalarprodukt ist Null und somit sind die Vektoren orthogonal.

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