Chemie Grundlagen

Halbwertszeit

Hier lernst du was die Halbwertszeit ist und wie man sie berechnet. Du wirst auch sehen warum dieser Kennwert so wichtig ist und was er aussagt.

Schau am besten noch unser Video  zur Halbwertszeit an. Hierin haben wir für dich die wichtigen Inhalte bereits audiovisuell aufbereitet.

Inhaltsübersicht

Halbwertszeit einfach erklärt

Die Halbwertszeit ist eine Kenngröße von radioaktiven Kernzerfällen. Beobachtest du einen radioaktiven Atomkern, kannst mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit vorhersagen wann er zerfällt aber den genauen Zeitpunkt der Emission nicht nennen. Um dennoch Aussagen über den verbleibenden Kern machen zu können, benutzt du Zeiträume, in welchen dir der Soll-Zustand des Kerns bekannt ist. Die Halbwertszeit sagt aus, nach welchem Zeitraum eine mit der Zeit abnehmende Größe die Hälfte ihres Ursprünglichen Wertes erreicht hat. Nimmt dabei eine Größe exponentiell mit der Zeit ab, bleibt sie immer gleich, egal von welchem Punkt im Prozess man misst.

Halbwertszeit
Diese Kennzahl sagt dir, nach welchem Zeitraum eine mit der Zeit exponentiell abnehmende Größe, die Hälfte ihres ursprünglichen Wertes erreicht hat.

Zerfallsgesetz

Stell dir vor du hast ein radioaktives Präparat mit N_0 Atomkernen. Diese zerfallen und haben eine Aktivität A=-\lambda N. Dann ergibt sich für die Anzahl der im Zeitintervall dt zerfallenden Kerne dN der Zusammenhang:

A = \frac{dN}{dt}

-\lambda N = \frac{dN}{dt}

Das formst du um zu

-\lambda dt = \frac{1}{N}dN

Diese Gleichung integrierst du.

\int^t_0 -\lambda dt' = \int^{N}_{N_{0}} \frac{1}{N'}dN'

-\lambda t = ln\left( \frac{N}{N_0} \right)

Das formst du dann noch ein letztes Mal um zu

e^{-\lambda t} = \frac{N}{N_{0}}

N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}

Damit hast du das Zerfallsgesetz hergeleitet und den Faktor \lambda als Zerfallskostante definiert.

Das Zerfallsgesetz sagt dir, wie eine gegebene Menge radioaktiver Atomkerne mit der Zeit zerfallen. Dieser Zerfall ist abhängig von der ursprünglichen Anzahl der Nuklide, deren Halbwertszeit und von der bereits vergangenen Zeit.
Beachte aber, dass das Zerfallsgesetz keine Aussage über einzelne Atomkerne trifft. Da es sich um ein statistisches Gesetz handelt, kann man damit nur eine Menge von Atomen betrachten und über diese Aussagen bezüglich ihres Zerfalls treffen.

Zerfallskonstante

Die Zerfallskonstante \lambda gibt dir den pro Sekunde zerfallenden Bruchteil der vorhandenen Atomkerne an. Bei ihr handelt es sich um eine wichtige Konstante, die mit fast jeder Aussage über einen Zerfall in Verbindung steht. Sie spielt eine wichtige Rolle bei der Berechnung der Lebensdauer, Halbwertszeit und Zerfallsbreite.

Als Beispiel kannst du die Lebensdauer von Uran-235 berechnen. Dieses hat eine Zerfallskonstante von \lambda = 3,12 \cdot 10^{-17} \frac{1}{\mathrm{s}}. Die Lebensdauer \tau berechnet sich aus dessen Kehrwert, also:

\tau = \frac{1}{\lambda}

Setzt du die Zerfallskonstante ein ergibt sich damit

\tau = \frac{1}{3,12 \cdot 10^{-17} \frac{1}{\mathrm{s}}} = 3,20513 \cdot 10^{16} \mathrm{s} = 1,01634 \cdot 10^{9} \, \mathrm{Jahre}

Uran-235 hat also eine Lebensdauer von ungefähr 1,016 Milliarden Jahren!

Halbwertszeit Formel

Mithilfe des Zerfallsgesetzes kannst du die Halbwertszeit berechnen. Du nimmst an, dass nach der Zeit T_{1/2} nur noch die Hälfte der Substanz vorhanden ist. Damit ergibt sich

N(T_{1/2}) =N_{0} \cdot e^{-\lambda \cdot T_{1/2}} = \frac{N_0}{2}

Das formst du nach T_{1/2} um.

T_{1/2} = \frac{ln(2)}{\lambda} \approx \frac{0,693}{\lambda}

Das gleiche kannst du auch zur allgemeinen Bestimmung der Zerfallszeitpunkte machen. Anstelle von T_{1/2} setzt du dann T_{1/n} ein und formst um. Daraus ergibt sich dann

T_{1/n} = \frac{ln(n)}{\lambda}

Demnach ist also nach einer Halbwertszeit die Hälfte der Atome zerfallen. Nach Zweien ist noch ein Viertel und nach drei noch ein Achtel der ursprünglichen Atome übrig.

Da du die Herleitung über das Zerfallsgesetz machst, handelt es sich auch hierbei um eine statistische Analyse. Nach Ablauf einer Halbwertszeit weißt du, dass die Hälfte der Atome zerfallen ist. Du weißt jedoch nicht, was mit den individuellen Atomen geschehen ist.

Halbwertszeit berechnen

Anhand eines einfachen Beispieles kannst du dir die Berechnung besser vor Augen führen. Im Falle von Uran-235 hast du eine Zerfallskonstante \lambda = 3,12 \cdot 10^{-17} \frac{1}{\mathrm{s}}. Eingesetzt in die Gleichung ergibt sich damit zur Halbwertszeit Uran

T_{1/2}^{Uran-235} = \frac{ln(2)}{3,12 \cdot 10^{-17} \frac{1}{\mathrm{s}}} = 2,22163 \cdot 10^{16} \mathrm{s} = 7,044 \cdot 10^8 \, \mathrm{Jahre}

Also hat Uran-235 eine Halbwertszeit von 704 mio. Jahren!

Als weiteres Beispiel kannst du Kohlenstoff-14 betrachten. Dieses hat eine Zerfallskonstante von \lambda = 3,83688\cdot 10^{-12} \frac{1}{\mathrm{s}}.

T_{1/2}^{Kohlenstoff-14} = \frac{ln(2)}{3,83688 \cdot 10^{-12} \frac{1}{\mathrm{s}}} = 1,80654 \cdot 10^{11} \mathrm{s} \approx 5729 \, \mathrm{Jahre}

Um die Jahre zu berechnen musst du den in Sekunden berechneten Wert durch 365\cdot 24\cdot 60\cdot60 teilen.

Halbwertszeit Beispiele

Der Begriff der Halbwertszeit kann für jede Größe, welche exponentiell mit der Zeit abnimmt benutzt werden. In diesem Zusammenhang findet sie daher noch in anderen Bereichen Anwendung. Dieser Kennwert gibt dir jedoch keine Aussage über einzelne Teile in einem System. Es handelt sich um eine statistische Repräsentation der Ereignisse in einer mit der Zeit abnehmenden Menge. Zur Betrachtung individueller Komponenten sind andere Methoden erforderlich.
In Folge siehst du weitere Bereiche, in denen dieser Begriff Anwendung findet.

Radioaktive Halbwertszeit

Die radioaktive Halbwertszeit beschreibt den Zeitraum, in der die Menge eines radioaktiven Atoms, aufgrund seines Zerfalls, um die Hälfte abnimmt. Auch die Aktivität eines solchen Atoms reduziert sich in dieser Zeitspanne um die Hälfte.

Biologische Halbwertszeit

Die biologische Halbwertszeit, auch Eliminationshalbwertszeit, bezeichnet den Zeitraum, in welchem in einem Organismus die Menge eines inkorporierten Stoffes durch alle biologischen Prozesse auf die Hälfte des Ursprünglichen Wertes abgesunken ist.

Effektive Halbwertszeit

Die effektive Halbwertszeit beschreibt den Zeitraum, in welchem die Menge eines radioaktiven Atoms, welches in einem Organismus inkorporiert wurde, auf die Hälfte abgesunken ist. Hieran sind die biologische und die radioaktive Halbwertszeit beteiligt. Beide Effekte können zusammen in einer Exponentialfunktion zusammengefasst werden.

\mathrm{effektive \, Halbwertszeit} = \frac{\mathrm{phaysikalische \, Halbwertszeit}\cdot \mathrm{biologische \, Halbwertszeit}}{\mathrm{physikalische \, Halbwertszeit} + \mathrm{biologische \, Halbwertszeit}}

Bibliometrische Halbwertszeit

Die bibliometrische Halbwertszeit betrachtet die Abnahme der Zitate wissenschaftlicher Publikation im Verlauf der Zeit. Man hat so festgestellt, dass die Zitation wie auch die Häufigkeit der Bestellungen von Kopien der Zeitschriftenartikel, nach ungefähr fünf Jahren um die Hälfte abgenommen hat.

Radiokarbonmethode

Mit der Radiokarbonmethode, werden kohlenstoffhaltige, insbesondere organische, Stoffe radiometrisch Datiert. In abgestorbenen Organismen nimmt die Menge an radioaktiven ^{14} C-Atomen, gemäß dem Zerfallsgesetz ab. Über deren Beobachtung, kann das alter eines in einem Rahmen von 300 bis 60.000 Jahren bestimmt werden.
Wenn du mehr zu Radiokarbonmethode wissen willst schau dir am besten noch unser Video%Videoverweis Radiokarbonmethode (nicht online Stand 20.04.2020) an. Hierin haben wir für dich die relevanten Inhalte bereits aufbereitet.

Weitere Beispiele

Hier findest du noch ein paar weitere wichtige Halbwertszeiten.

Kohlenstoff 5.730 Jahre
Plutonium 24.110 Jahre
Thorium 14,05 Mrd. Jahre
Radon 3,8 Tage
Caesium 30,2 Jahre

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