Kernphysik

Millikan Versuch

Der Millikan Versuch ist ein Experiment, mit dem sich die Elementarladung, die minimale Ladungseinheit aller Teilchen, bestimmen lässt. Wenn du wissen möchtest, wie das funktioniert, dann bist du hier genau richtig.

Wenn es schnell gehen muss oder dir grade nicht nach langem Lesen ist, schau dir doch unser Video zum Millikan Versuch an. Darin erfährst du in ein paar Minuten ganz bequem alles, was du zum diesem Experiment wissen musst!

Inhaltsübersicht

Millikan Versuch einfach erklärt

Der Milikan Versuch ist ein erstmals von den Physikern Robert Andrews Millikan und Harvey Fletcher durchgeführter Versuch zur Bestimmung der Elementarladung e. Die Elementarladung wird dabei bestimmt, indem man die Steige- und Fallgeschwindigkeiten feinster, geladener Öltröpchen im elektrischen Feld eines Plattenkondensators aus zwei horizontalen Platten misst und dadurch die Tröpfchenladung bestimmt. Es stellt sich heraus, dass die Ladungen solcher Öltröpfchen nur als ganzzahliges Vielfaches einer kleinsten Ladung, der Elementarladung, vorkommen können.

Millikan Versuch Aufbau

Im Allgemeinen besteht der Millikan Versuch aus einem Plattenkondensator mit einer verstellbaren und umpolbaren Spannungsquelle, einem Zerstäuber, der feinste Öltröpfchen (Durchmesser ca. 0,5 \,\mu\text{m}) erzeugt und zwischen die Kondensatorplatten befördert, und einem Mikroskop zur Beobachtung der Tröpfchenbewegung.

Die Tröpfchen müssen dabei geladen sein, was in der Regel bereits beim Zerstäuben in ausreichendem Maße durch ihre Reibung aneinander und an der Luft geschieht. Um sicherzugehen, verwendet man jedoch oft ergänzend ionisierende Strahlung, die die Tröpfchen auf ihrem Weg vom Zerstäuber in den Plattenkondensator zusätzlich auflädt.

Die geladenen Öltröpfchen füllen dann als Aerosol (Schwebeteilchen in Gas, hier flüssige Tröpchen in Luft) den Raum zwischen den Kondensatorplatten und können mittels eines Mikroskops beobachtet werden. Dabei müssen wir beachten, dass die Tröpfchen sehr lichtdurchlässig sind. Mit einem normalen Mikroskop, das die Tröpfchen mit Licht durchscheint und bei dem das Bild aufgrund von Lichtabsorption in den Tröpfchen entsteht, könnten wir also praktisch nichts erkennen. Daher müssen wir beim Millikan Versuch die Dunkelfeldmethode verwenden. Die Dunkelfeldmikroskopie beruht darauf, dass Licht von Objekten nicht nur absorbiert, sondern auch abgelenkt und gebeugt wird. Mittels einer optischen Apparatur wird so das direkt durch die Tröpfchen laufende Licht so abgelenkt, dass wir es nicht sehen können. Vor dem jetzt also dunklen Hintergrund wird dann das von den Tröpfchen abgelenkte und gebeugte Licht sichtbar (normalerweise wäre es nicht „hell“ genug). Dadurch erreichen wir einen hohen Kontrast in der Abbildung trotz geringer Lichtabsorption. Dabei ist wichtig, dass die meistens beim Millikan Versuch benutzte Mikroskop-Optik das Bild vertikal spiegelt. Sinkende Tröpfchen bewegen sich im Bild also nach oben.

Millikan Versuch Aufbau
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Millikan Versuch Aufbau

Millikan Versuch Durchführung, Beobachtung und Berechnung

Ist der Plattenkondensator ungeladen, schweben ausreichend kleine und leichte Tröpfchen wie Nebel, während größere Tröpfchen nach einer kurzen Schwebephase langsam nach unten sinken. Wird der Kondensator geladen und wirkt über das sich bildende elektrische Feld (E-Feld) daher eine Coulomb-Kraft auf die Tröpfchen, verändert sich deren Bewegung. Eine Sorte fällt schneller als zuvor, während die andere Sorte langsamer fällt, jetzt schwebt oder sogar steigt; je nach Ladung der Tröpfchen. Diese Tröpfchenladungen wollen wir messen.

Zur Bestimmung der Tröpfchenladung gibt es im Allgemeinen zwei Varianten des Millikan Experiments: die Schwebe- bzw. Einfeldmethode und die Gleichfeld- bzw. Zweifeldmethode.

Schwebemethode bzw. Einfeldmethode

Bei dieser Methode erzeugen wir im Plattenkondensator ein E-Feld fester Polung aber variabler Stärke. Wir stellen die Spannung so ein, dass einige der Tröpfchen nach dem Einsprühen in der Schwebe bleiben, also ein Kräftegleichgewicht herrscht. Dabei wirkt die Gewichtskraft F_\text{G} nach unten und die Auftriebskraft F_\text{A} und elektrische Kraft F_\text{E} wirken nach oben.

F_\text{G} = F_\text{E} + F_\text{A} \quad\Leftrightarrow\quad \frac{4\pi}{3}r^3\rho g = \frac{qU}{d} + \frac{4\pi}{3}r^3\rho_\text{L}g

Hierbei verwenden wir folgende Größen:

  • r : Radius des Öltröpfchens
  • \rho : Dichte des Öls
  • q : Tröpfchenladung
  • U : Spannung am Kondensator
  • d : Plattenabstand des Plattenkondensators
  • \rho_\text{L} : Dichte der Luft

Mit dieser Formel könnten wir prinzipiell schon die Tröpfchenladung messen

q = \frac{\frac{4\pi}{3}r^3(\rho-\rho_\text{L})gd}{U}.

Allerdings erlaubt das gebeugte Licht des Dunkelfeldmikroskops keine sinnvolle Messung des Tröpfchenradiuses. Dieses Problem lösen wir, indem wir die Spannung abschalten und das resultierende Sinken unseres Tröpfchens beobachten. Nach einer kurzen Beschleunigung bewegt es sich, im Kräftegleichgewicht von F_\text{G}, F_\text{A} und der der Bewegung entgegenwirkenden Stokesschen Reibungskraft F_\text{R}, mit konstanter Geschwindigkeit v nach unten

F_\text{G} =  F_\text{R}(v) + F_\text{A}\quad\Leftrightarrow\quad  \frac{4\pi}{3}r^3\rho g = 6\pi r\eta v + \frac{4\pi}{3}r^3\rho_\text{L}g .

Hier ist \eta die Viskosität („Zähigkeit“) der Luft. Das lösen wir nach dem Radius auf

r = \sqrt{\frac{9v\eta}{2(\rho-\rho_\text{L})g}}

und setzen das Ergebnis in die Formel für die Ladung ein. Wir haben jetzt die Möglichkeit, q mittels messbarer Größen zu bestimmen:

q = \frac{9\pi d}{U}\sqrt{\frac{2\eta^3v^3}{(\rho-\rho_\text{L})g}} .

Unglücklicherweise ist die Schwebemethode des Millikan Versuchs in der Praxis leider fast nicht durchführbar. Das liegt daran, dass der Schwebezustand der mikroskopischen Tröpfchen von der Brownschen Molekularbewegung so stark überlagert wird, dass er fast nicht zu beobachten ist.

Gleichfeldmethode bzw. Zweifeldmethode

Diese Variante des Millikan Versuchs wird auch „Sink- und Steigmethode“ genannt und ist etwas aufwendiger als die Schwebemethode, aber dafür sind die einzelnen Messungen leichter durchzuführen.

Zuerst erhöhen wir die eingestellte Spannung aus der Schwebemethode, sodass die beobachteten Öltröpfchen nicht mehr schweben, sondern nach kurzer Beschleunigung mit der konstanten Geschwindigkeit v_\text{s} steigen. Die Tröpfchen sind also im Kräftegleichgewicht

F_\text{G} + F_\text{R}(v_\text{s}) = F_\text{E} + F_\text{A} \quad\Leftrightarrow\quad \frac{4\pi}{3}r^3\rho g + 6\pi r\eta v_\text{s} = \frac{qU}{d} + \frac{4\pi}{3}r^3\rho_\text{L}g ,

wobei die Kräfte links wieder nach unten und die rechts wieder nach oben zeigen.

Anschließend polen wir den Plattenkondensator bei gleicher Spannung um. Unsere Tröpfchen beschleunigen nach unten und ereichen dann eine konstante Fallgeschwindigkeit v_\text{f} > v_\text{s}. Das Kräftegleichgewicht lautet jetzt

F_\text{G} + F_\text{E} =F_\text{R}(v_\text{f}) + F_\text{A} \quad\Leftrightarrow\quad \frac{4\pi}{3}r^3\rho g + \frac{qU}{d} = 6\pi r\eta v_\text{f} + \frac{4\pi}{3}r^3\rho_\text{L}g

mit Gewichts– und elektrischer Kraft nach unten und Reibungs– und Auftriebskraft nach oben.

Ziehen wir die zweite Kräftegleichgewichts-Gleichung von der ersten ab und lösen das Ergebnis nach r auf, erhalten wir

6\pi r\eta v_\text{s} - \frac{qU}{d} = \frac{qU}{d} - 6\pi r\eta v_\text{f} \quad\Leftrightarrow\quad r = \frac{qU}{3\pi d\eta(v_\text{f} + v_\text{s})} ,

was wir zurück in eine der beiden Kräftegleichgewichts-Gleichungen einsetzen können. Lösen wir zuletzt noch nach q auf, finden wir in beiden Fällen

q = \frac{9\pi d}{U}\sqrt{\frac{(v_\text{f}-v_\text{s})\eta^3}{(\rho-\rho_\text{L})g}}(v_\text{f} + v_\text{s}) .

Durch Messung von v_\text{s} und v_\text{f} können wir also die Tröpfchenladung bestimmen. Interesiert uns auch der Radius, können wir diese Gleichung für q in die obige Formel für r einsetzen. Dann ist auch r durch Messgrößen bestimmbar.

Elementarladung bestimmen

Durch die Messung der Tröpfchenladung können wir mit dem Milikan Versuch die Elementarladung bestimmen. Dazu müssen wir den Versuch oft wiederholen und die gemessenen Ladungen q vieler Tröpfchen in ein Diagramm eintragen. Dabei ergibt sich, dass die Tröpfchenladungen nicht kontinuierlich verteilt sind, wie man es in der klassichen Physik erwarten würde, sondern nur diskrete Werte mit immer gleichen Abständen zu den nächsthöheren und -niedrigeren einnehmen. Es gibt also eine minimale Ladungseinheit e und jedes Tröpfchen kann nur ganzzahlige Vielfache davon enthalten: q=n e mit n\in\mathbb{Z}.

Diese minimale Ladung e ist die Elementarladung und man kann sie aus den Abständen der Tröpfchenladungen voneinander bestimmen. Da die Ladungseinheit Coulomb inzwischen über die Elementarladung definiert ist, ist der Wert von e exakt definiert:

e = 1,602\, 176\,634\,\cdot\,10^{-19}\,\text{C} .

Millikan Versuch Aufgabe

Rechnen wir noch eine kurze Übungsaufgabe zum Millikan Versuch durch.

Ein Tröpfchen sei in einem Plattenkondensator mit d=1,0\,\text{cm} von der Spannung U=60\,\text{V} in der Schwebe gehalten worden. Nach der Entladung des Kondensators werde die konstante Fallgeschwindigkeit v = 6,0\cdot 10^{-5}\,\frac{\text{m}}{\text{s}} gemessen. Zudem sei \rho = 9,0\cdot 10^{3}\,\frac{\text{kg}}{\text{m}^3} , \rho_\text{L} = 1,2\,\frac{\text{kg}}{\text{m}^3} und \eta = 1,8\cdot 10^{-5}\frac{\text{Ns}}{\text{m}^3} .

Uns interessieren die Ladung und die Masse des Tröpfchens in Einheiten der Elementarladung. Für die Ladung müssen wir nur die Formel für die Schwebemethode verwenden. Eingesetzt finden wir

\begin{aligned} q & = \frac{9\pi d}{U}\sqrt{\frac{2\eta^3v^3}{(\rho-\rho_\text{L})g}} = \frac{9\pi \cdot 0,01\,\text{m}}{60\,\text{V}}\sqrt{\frac{2 \left(1,8\cdot 10^{-5}\frac{\text{Ns}}{\text{m}^3}\right)^3 \left(6,0\cdot 10^{-5}\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)^3}{(9,0\cdot 10^{3}\,\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}-1,2\,\frac{\text{kg}}{\text{m}^3})\cdot 9,81\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}} \approx \\ & \approx 8,0\cdot 10^{-19}\,\text{C} = 5e\end{aligned}

Um die Masse zu bestimmen, verwenden wir die Formel für den Radius aus der Schwebemethode und zusätzlich m = \rho V = \rho\frac{4\pi}{3}r^3. Damit finden wir

\begin{aligned} m & = \rho\frac{4\pi}{3} \left(\frac{9v\eta}{2(\rho-\rho_\text{L})g}\right)^{\frac{3}{2}} = 9,0\cdot 10^{3}\,\frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot \frac{4\pi}{3}\left(\frac{9\cdot 6,0\cdot 10^{-5}\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 1,8\cdot 10^{-5}\frac{\text{Ns}}{\text{m}^3}}{2\,(9,0\cdot 10^{3}\,\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}-1,2\,\frac{\text{kg}}{\text{m}^3})\cdot 9,81\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}\right)^{\frac{3}{2}} \approx \\ & \approx 4,9\cdot 10^{-16}\,\text{kg}\end{aligned}

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