Inkreis und Umkreis Dreieck

Inkreis und Umkreis eines Dreiecks einfach erklärt

Der Inkreis liegt im Inneren des Dreiecks und berührt jede Seite genau einmal, ohne sie zu schneiden. Alle Dreiecksseiten sind also Tangenten des Inkreises. Sein Mittelpunkt ist dabei der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden.

Der Umkreis liegt dagegen außerhalb des Dreiecks. Dabei berührt er alle drei Eckpunkte des Dreiecks. Sein Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten.

direkt ins Video springen

Als Nächstes zeigen wir dir, wie du einen Inkreis und einen Umkreis selbst konstruieren kannst. Fangen wir mit dem Inkreis an.

Inkreis konstruieren

1. Mittelpunkt bestimmen:
   Um den Inkreis eines Dreiecks zeichnen zu können, musst du seinen Mittelpunkt herausfinden. Er ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden.

   Der erste Schritt ist daher das Bestimmen der Winkelhalbierenden. Da sich alle drei denselben Schnittpunkt teilen, reicht es schon aus, zwei von ihnen zu einzuzeichnen. Wie das geht, zeigen wir dir in unserem Beitrag zu Winkelhalbierenden. Danach kannst du ganz einfach den Schnittpunkt ablesen und als Mittelpunkt M markieren.

   direkt ins Video springen

2. Radius bestimmen:
   Im nächsten Schritt bestimmst du den Radius des Inkreises. Dafür ziehst du eine gerade Linie, die im rechten Winkel auf einer Seite steht. Achte dabei darauf, dass die Linie auch durch den Mittelpunkt M geht. Der daraus folgende Schnittpunkt mit der Seite des Dreiecks ist der Lotfußpunkt L. Der Abstand zwischen L und M ist der Radius deines Inkreises. Gut zu wissen: Eine Gerade, die senkrecht, also im rechten Winkel zu einer anderen Geraden steht, nennst du auch Lot. Das Einzeichnen des Lots wird auch als „Lot fällen“ bezeichnet. Sein Schnittpunkt mit der Geraden ist der Lotfußpunkt.
   

   direkt ins Video springen

3.  Inkreis einzeichnen:
   Jetzt kannst du mithilfe von Mittelpunkt und Radius den Inkreis einzeichnen. Dazu setzt du deinen Zirkel an den Mittelpunkt M an und fährst durch den Lotfußpunkt L.

direkt ins Video springen

Umkreis konstruieren

Für einen Umkreis verläuft die Konstruktion sehr ähnlich wie bei einem Inkreis. Anstelle der Winkelhalbierenden, musst du jedoch die Mittelsenkrechten der Seiten des Dreiecks bestimmen.

1. Mittelpunkt bestimmen:
   Um den Mittelpunkt des Umkreises herauszufinden, musst du im ersten Schritt die Mittelsenkrechten bestimmen. Da sich hier wieder alle drei einen Schnittpunkt teilen, reicht es zwei von ihnen zu einzuzeichnen. Dabei kann dir unser Beitrag zu Mittelsenkrechten helfen. Anschließend kannst du einfach den Schnittpunkt ablesen und als Mittelpunkt M markieren.
   

   direkt ins Video springen

2.  Radius bestimmen & Umkreis einzeichnen:
   Jetzt fehlt noch der Radius des Umkreises. Er ist der Abstand zwischen dem Mittelpunkt M und einer beliebigen Ecke des Dreiecks. Indem du den Zirkel am Mittelpunkt M ansetzt und ihn durch die Ecken des Dreiecks fährst, zeichnest du den fertigen Umkreis ein.

direkt ins Video springen

Inkreis und Umkreis Dreieck — häufigste Fragen

• Was sind Inkreis und Umkreis eines Dreiecks?
  Der Inkreis eines Dreiecks ist ein im Dreieck liegender Kreis, der jede Dreiecksseite genau einmal berührt. Der Umkreis ist dagegen ein außerhalb des Dreiecks liegender Kreis, der jede Ecke des Dreiecks berührt.
   
• Wie konstruiere ich den Inkreis eines Dreiecks?
  Um den Inkreise eines Dreiecks zu zeichnen, müssen erst zwei Winkelhalbierenden und ihr Schnittpunkt bestimmt werden. Daraus ergibt sich der Mittelpunkt M des Inkreises. Im Anschluss muss ein Lot von einer Dreiecksseite durch den Mittelpunkt M gefällt werden. Der Inkreis wird mit einem Zirkel vom Mittelpunkt M durch den Lotfußpunkt eingezeichnet.
   
• Wie konstruiere ich den Umkreis eines Dreiecks?
  Um den Umkreis eines Dreiecks zu zeichnen, müssen erst zwei Mittelsenkrechten und ihr Schnittpunkt bestimmt werden. Daraus ergibt sich der Mittelpunkt M des Umkreises. Der Umkreis kann anschließend mit einem Zirkel vom Mittelpunkt M durch die Ecken des Dreiecks eingezeichnet werden.

Flächeninhalt Kreis

Sehr gut! Jetzt weißt du, was du unter einem Inkreis und einem Umkreis verstehst und wie du sie konstruieren kannst. Wie du im nächsten Schritt den Flächeninhalt eines Kreises berechnen kannst, zeigen wir dir hier.