Analysis

Flächeninhalt Kreis

In diesem Beitrag erklären wir dir, was der Flächeninhalt vom Kreis eigentlich ist und wie du die Kreisfläche mit dem Radius, dem Durchmesser oder dem Umfang berechnen kannst. %</span>Du möchtest lieber anschaulich sehen, wie du bei einem <strong>Kreis </strong>den <strong>Flächeninhalt</strong> bestimmst? Dann schau dir jetzt unser Video <span style="color: #99cc00;">VERWEIS</span> an! Dort erklären wir es dir mit vielen Beispielen.<span style="color: #99cc00;">

Inhaltsübersicht

Wie berechne ich die Fläche eines Kreises?

Die Kreisfläche umfasst alle Punkte, die im Kreis und auf der Kreislinie liegen. Um die Kreisfläche berechnen zu können, benötigst du den Radius r. Der Flächeninhalt vom Kreis wird meistens mit einem großen A bezeichnet.

Flächeninhalt Kreis Formel

Die Formel für die Kreisfläche ist

\textcolor{red}{A} = \textcolor{blue}{r}^2 \cdot \pi.

  • \textcolor{red}{A}: Flächeninhalt
  • \textcolor{blue}{r}: Radius
  • \pi: Kreiszahl (3,14….)
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Flächeninhalt Kreis

Hinweis: Die Kreiszahl \pi ist in deinem Taschenrechner eingespeichert. Du kannst aber auch mit dem gerundeten Wert \pi \approx 3,14 rechnen.

Flächeninhalt Kreis berechnen mit Radius

Wenn du den Radius gegeben hast, kannst du die Fläche eines Kreises ganz schnell berechnen. Dafür brauchst du nur die obere Formel. Schauen wir uns dazu gleich zwei Beispiele an.

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Beispiel 1

Berechne den Flächeninhalt vom Kreis mit Radius \textcolor{blue}{r=3\text{cm}}

  • Kreisfläche Formel aufstellen: Zuerst schreibst du dir die allgemeine Formel für den Flächeninhalt auf.

A = \textcolor{blue}{r}^2 \cdot \pi

  • Radius einsetzen: Nun kannst du den gegebenen Wert für den Radius einsetzen.

A = (\textcolor{blue}{3\text{cm}})^2 \cdot \pi

  • Ergebnis berechnen: Zum Schluss musst du nur noch die Werte zusammenrechnen und kannst so die Kreisfläche berechnen.

A = 9\text{cm}^2 \cdot \pi \approx 28,27\text{cm}^2

Dieser Kreis hat einen Flächeninhalt von gerundet A = 28,27\text{cm}^2. Beachte dabei, dass du als Ergebnis eine Fläche und deshalb auch eine Flächeneinheit wie cm² bekommst.

Beispiel 2

Im zweiten Beispiel ist ein Radius von r=8\text{m} gegeben und du sollst die Kreisfläche berechnen.

  • Formel für Kreisfläche aufstellen: Wieder notierst du zuerst für die Fläche vom Kreis die Formel.

A = r^2 \cdot \pi

  • Radius einsetzen: Als nächstes setzt du den Zahlenwert für den Radius ein.

A = (8\text{m})^2 \cdot \pi

  • Ergebnis berechnen: Mit dem Taschenrechner kannst du jetzt ganz schnell den Flächeninhalt vom Kreis berechnen

A \approx 201,1\text{m}^2

Kreisfläche berechnen mit Durchmesser

Manchmal hast du zum Berechnen der Kreis Fläche nicht den Radius, sondern den Durchmesser d gegeben. Das ist die Linie, die zwei gegenüberliegende Punkte auf der Fläche eines Kreises verbindet und durch den Mittelpunkt geht.

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Durchmesser im Kreis

Der Durchmesser ist doppelt so lang wie der Radius, es gilt also

\textcolor{orange}{d} = 2 \cdot \textcolor{blue}{r} oder anders herum \textcolor{blue}{r} = \frac{\textcolor{orange}{d}}{2}.

Für den Kreis Flächeninhalt ergibt sich dann ebenfalls eine neue Formel.

\textcolor{red}{A} = \left(\frac{\textcolor{orange}{d}}{2}\right)^2 \cdot \pi = \frac{\textcolor{orange}{d}^2}{4} \cdot \pi

Lass uns auch dazu ein paar Beispiele machen.

Beispiel 1

Gesucht ist die Fläche vom Kreis mit gegebenem Durchmesser \textcolor{orange}{d=7\text{cm}}.

  • Flächeninhalt Kreis Formel aufstellen: Weil du hier den Durchmesser und nicht den Radius gegeben hast, verwendest du die entsprechende Formel.

A = \frac{\textcolor{orange}{d}^2}{4} \cdot \pi

  • Durchmesser einsetzen: Als nächstes ersetzt du den Buchstaben d in der Formel durch den Zahlenwert.

A = \frac{(\textcolor{orange}{7\text{cm}})^2}{4} \cdot \pi

  • Ergebnis berechnen: Jetzt musst du nur noch das Ergebnis ausrechnen. Achte dabei darauf, dass die Maßeinheit mit quadriert wird.

A=\frac{49}{4}\text{cm}^2 \cdot \pi \approx 38,48\text{cm}^2

Der Flächeninhalt von diesem Kreis beträgt also etwa A=38,48\text{cm}^2

Beispiel 2

Berechne die Fläche vom Kreis mit einem gegebenen Durchmesser von d=2\text{m}.

  • Formel Kreisfläche aufstellen: 

A = \frac{d^2}{4} \cdot \pi

  • Durchmesser einsetzen:

A = \frac{(2\text{m})^2}{4} \cdot \pi

  • Ergebnis berechnen:

A = \frac{4}{4}\text{m}^2 \cdot \pi \approx 3,14\text{m}^2

Kreis Fläche berechnen mit Umfang

Du kannst die Kreisfläche aber auch aus seinem gegebenen Umfang bestimmen. Dabei musst du einen kleinen Umweg gehen. Wir zeigen dir gleich mal an einem Beispiel, wie das geht! 

Wir beginnen mit einem Umfang U = 62,83\text{cm}.

  • Formel für Umfang aufstellen: Zuerst müssen wir den Radius aus dem Umfang gewinnen. Dafür stellst du zuerst die Formel auf.

U = 2 \cdot r \cdot \pi

  • Formel nach Radius auflösen: Jetzt stellst du die Formel so um, dass du damit den Radius berechnen kannst.

    \begin{align*} U &= 2 \cdot r \cdot \pi && | : \pi \\ \frac{U}{\pi} &= 2 \cdot r && | :2 \\ \frac{U}{2 \pi} &= r \\ r &= \frac{U}{2 \cdot \pi} \end{align*}

  • Radius berechnen: Im nächsten Schritt setzt du den gegebenen Umfang ein, um so den Radius zu ermitteln.

r = \frac{U}{2 \cdot \pi} = \frac{62,83\text{cm}}{2 \cdot \pi} \approx 10\text{cm}

  • Kreisfläche Formel aufstellen: Ab hier kannst du wie gewohnt vorgehen. Du stellst also die Formel für die Fläche vom Kreis auf, um den Flächeninhalt zu bestimmen.

A = r^2 \cdot \pi

  • Radius einsetzen: Den berechneten Zahlenwert für den Radius setzt du nun in die Formel der Kreisfläche ein.

A = (10\text{cm})^2 \cdot \pi

  • Ergebnis berechnen: Zum Schluss musst du nur noch die Werte zusammenrechnen und bekommst so die Kreisfläche.

A = 100\text{cm}^2 \cdot \pi \approx 314,16\text{cm}^2

Hinweis: Noch mehr über den Umfang erfährst du in unserem extra Video zu diesem Thema! %VERWEIS Thumbnail Umfang Kreis

Kreisring berechnen

Es gibt auch die Möglichkeit, dass die Kreisfläche einmal nicht ganz gefüllt ist, sondern ein Loch in der Mitte hat. So eine Figur findest du unter dem Namen Kreisring. %Kannst du beim Bild vielleicht eine dezentere Farbe wählen, da das schon sehr stark heraussticht (grün/blau)

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Kreisring

Die Fläche dieses Kreisrings kannst du ganz einfach Schritt für Schritt berechnen. Dafür ziehst du einfach von der großen Kreisfläche den Flächeninhalt vom kleinen Kreis ab.

  • Flächeninhalt Kreis außen berechnen: Mit der Formel bestimmst du nun zuerst die große Kreisfläche mit Radius r_1 = 4\text{cm}.

A_{groß} = {r_1}^2 \cdot \pi = (4\text{cm})^2 \cdot \pi \approx 50,27\text{cm}^2

  • Kreisfläche innen bestimmen: Jetzt wendest du die Formel nochmal an, allerdings berechnest du diesmal den kleinen Kreis Flächeninhalt mit Radius r_2 = 2\text{cm}.

A_{klein} = {r_2}^2 \cdot \pi = (2\text{cm})^2 \cdot \pi \approx 12,57\text{cm}^2

  • Flächeninhalt Kreisring ausrechnen: Im letzten Schritt musst du jetzt nur noch die kleine Kreisfläche in der Mitte vom Flächeninhalt des großen Kreises abziehen. Damit bekommst du die Fläche des Kreisrings. 

A_{Kreisring} = A_{groß} - A_{klein} = 50,27\text{cm}^2 - 12,57\text{cm}^2 = 37,7\text{cm}^2

Flächeninhalt Kreis Formel

Zum Abschluss möchten wir dir noch zeigen, woher diese Formel für den Flächeninhalt vom Kreis eigentlich kommt. Dafür teilst du den Kreis einmal in viele kleine Teile ein. 

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Herleitung Flächeninhalt Schritt 1

Stell dir jetzt vor, dass du diesen Kreis entlang der Linien einmal zerschneidest. Die einzelnen Teile legst du dann neu zusammen und zwar so, dass die gekrümmten Linien immer abwechselnd oben und unten liegen. 

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Herleitung Flächeninhalt Schritt 2

Diese Figur sieht so ähnlich aus wie ein Rechteck und ist genauso hoch wie der Radius r. Die Breite des Rechtecks kannst du ungefähr mit dem halben Umfang des Kreises angeben, denn die Tortenstücke liegen ja immer abwechselnd mit der Spitze nach oben und unten. Diese Fläche kannst du jetzt berechnen.

A = \textcolor{blue}{r} \cdot \textcolor{red}{\frac{U}{2}}

Die Formel für den Umfang eines Kreises kennst du aber schon. Jetzt kannst du diese hier einsetzen und bekommst nach dem Zusammenfassen gerade die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises. 

A = \textcolor{blue}{r} \cdot \textcolor{red}{\frac{2 \cdot r \cdot \pi}{2}} = \textcolor{blue}{r} \cdot \textcolor{red}{r \cdot \pi}

A = r^2 \cdot \pi

Übrigens, je mehr du den Kreis in die einzelnen Teile zerlegst, desto mehr sieht die zusammengelegte Figur nach einem Rechteck aus. 

Hinweis: In unserem Video zur Kreisberechnung %VERWEIS Thumbnail findest du alle wichtigen Formeln zum Kreis noch einmal erklärt!

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