Geometrie
Dreiecke
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In diesem Beitrag erklären wir dir, was ein gleichseitiges Dreieck ist und wie du den Umfang, den Flächeninhalt und die Höhe berechnen kannst. Du willst dich beim Lernen lieber entspannt zurücklehnen? Dann schau dir jetzt unser Video an!

Was ist ein gleichseitiges Dreieck?

Wie der Name schon verrät, sind beim gleichseitigen Dreieck alle Seiten gleich lang. Es hat aber noch mehr Besonderheiten.

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Gleichseitiges Dreieck
  • Alle Winkel in diesem Dreieck sind gleich 60°.
  • Alle Seiten a = b = c sind im gleichseitigen Dreieck gleich lang.
  • Jedes gleichseitige Dreieck hat drei Symmetrieachsen, nämlich gerade die Höhen h
  • Die Mittelsenkrechte einer Seite ist gerade die Winkelhalbierende des gegenüberliegenden Winkels.

Gleichseitiges Dreieck Formel

Bei diesem besonderen Dreieck gibt es verschiedene Formeln, mit denen du rechnen kannst.

Umfang gleichseitiges Dreieck

Da in einem gleichseitigen Dreieck alle drei Seiten a die gleiche Länge haben, ergibt sich für den Umfang die Formel

U=3 \cdot a.

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Umfang gleichseitiges Dreieck

Fläche gleichseitiges Dreieck

Für den Flächeninhalt im gleichseitigen Dreieck gibt es eine extra Formel. Sie hängt nur von der Seitenlänge a ab.

A=\frac{1}{4}a^2\sqrt{3}

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Flächeninhalt gleichseitiges Dreieck

Höhe gleichseitiges Dreieck

Um die Höhe im gleichseitigen Dreieck berechnen zu können, nutzt du den Satz des Pythagoras . So entsteht die Formel

\textcolor{red}{h} = \frac{1}{2}a\sqrt{3}.

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Höhe im gleichseitigen Dreieck

Ein gleichseitiges Dreieck hat mit der Höhe h, der Seite a und der halben Seite \frac{a}{2} ein rechtwinkliges Dreieck. Dort gilt nach Pythagoras a^2=h^2+\left(\frac{1}{2}a\right)^2.

Flächeninhalt gleichseitiges Dreieck

Die Formel für den Flächeninhalt im gleichseitigen Dreieck sehen wir uns nochmal genauer an.

Beispiele

Mit ein paar Beispielen kannst du das Anwenden der Formel üben. 

A=\frac{1}{4}a^2\sqrt{3}

Fläche gleichseitiges Dreieck

Wie groß ist die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks mit Seitenlänge a = 5cm? 

  • Formel aufschreiben

A=\frac{1}{4}a^2\sqrt{3}

  • Angabe einsetzen

=\frac{1}{4} \cdot (5\text{cm})^2 \cdot \sqrt{3}

  • Ergebnis ausrechnen

= \frac{25\text{cm}^2 \cdot \sqrt{3}}{4} \approx 10,83 \text{cm}^2

Gleichseitiges Dreieck Flächeninhalt

Wie groß ist der Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks mit Seitenlänge a = 3m? 

  • Formel aufschreiben

A = \frac{1}{4} a^2 \sqrt{3}

  • Angabe einsetzen

=\frac{1}{4} \cdot (3\text{m})^2 \cdot \sqrt{3}

  • Ergebnis ausrechnen

= \frac{9\text{m}^2 \cdot \sqrt{3}}{4} \approx 3,90 \text{m}^2

Damit hat dieses gleichseitige Dreieck die Fläche 3,90m².

Herleitung

Allgemein gilt in jedem Dreieck die Formel für den Flächeninhalt  

A=\frac{1}{2} \cdot a \cdot \textcolor{red}{h}.

Für die Höhe im gleichseitigen Dreieck hast du eine extra Formel kennengelernt.

\textcolor{red}{h} = \frac{1}{2}a\sqrt{3}

Mit dieser Formel kannst du die Höhe in der ersten Gleichung ersetzen, um bei einem gleichseitigen Dreieck den Flächeninhalt zu berechnen. 

A=\frac{1}{2} \cdot a \cdot {\textcolor{red}{\frac{1}{2}a\sqrt{3}}}

Wenn du die Rechnung zusammenfasst, kommst du auf die Formel für den Flächeninhalt im gleichseitigen Dreieck.

=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot \sqrt{3} = \frac{1}{4}a^2\sqrt{3}

Flächeninhalt Dreieck

Super! Jetzt kennst du die wichtigsten Formeln zur Berechnung eines gleichseitigen Dreiecks. Damit du auch den Flächeninhalt von Dreiecken mit unterschiedlich langen Seiten bestimmen kannst, solltest du dir unbedingt unser Video dazu anschauen. Viel Spaß!

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Zum Video: Flächeninhalt Dreieck

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