Stochastik
Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
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Du möchtest mit der Standardnormalverteilung Tabelle Wahrscheinlichkeiten berechnen? Die Wahrscheinlichkeitstabelle und alle Erklärungen mit Beispielen findest du hier im Beitrag!

Die Standardnormalverteilung Tabelle kannst du dir hier als Datei herunterladen und ausdrucken.

Standardnormalverteilung Tabelle einfach erklärt

Die Standardnormalverteilungstabelle zeigt die Verteilungsfunktion  Φ(z) der Standardnormalverteilung .

Die Standardnormalverteilung wird in der Tabelle durch standardisierte z Werte (von -3 bis 3) dargestellt. Diese z Werte werden in der z Tabelle aufgespalten. Dein z Wert 2,34 ist zum Beispiel aufgeteilt in 2,3 in der ersten Spalte und 0,04 in der ersten Zeile. Die Felder in der Tabelle geben dir die Wahrscheinlichkeit P an, dass genau der ausgewählte z Wert oder ein kleinerer z Wert auftritt:

P (X z) = Φ(z)

Mach dir das einmal bildlich klar: 

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Die Tabelle der Standardnormalverteilung gibt dir die Wahrscheinlichkeit für den Wert z1 oder einen kleineren z Wert an (gelbe Fläche)

Die Wahrscheinlichkeit, die du in den Feldern der z Tabelle findest, entspricht der gelben Fläche in der Abbildung. Diese gelbe Fläche ist das Integral der Dichtefunktion von -∞ bis z.

Orientierung in der Verteilungstabelle

Wie liest du die Werte in der Standardnormalverteilung Tabelle jetzt genau ab?

Um dich in der z Tabelle zu orientieren, gehst du in drei Schritten vor:

Beispiel: Du suchst den z Wert 0,32

Schritt 1: Schau dir die erste Spalte an

Wie schon erwähnt, ist dein z Wert in der Tabelle in zwei Teile aufgespalten. In der ersten Spalte (senkrecht) findest du die ersten zwei Ziffern 0,3 deines z Werts. Suche dort das passende Feld. Merke dir die entsprechende Zeile, in der die ersten zwei Ziffern deines z Werts stehen.

Schritt 2: Schau dir die erste Zeile an

Die dritte Ziffer 0,02, also die zweite Nachkommastelle, findest du in der ersten Zeile. Schau dir also wieder deinen z Wert an und suche in der ersten Zeile die Zahl 0,02, die der zweiten Nachkommastelle deines z Werts entspricht. Merke dir diese Spalte.

Schritt 3: Finde deine Wahrscheinlichkeit

Das Feld, in dem sich nun deine Zeile mit 0,3 und deine Spalte mit 0,02 kreuzen, ist deine gesuchte Wahrscheinlichkeit für 0,32 oder einen kleineren z Wert also 0,32.

z 0,00 0,01 0,02
0 0,5 0,50399 0,50798
0,1 0,53983 0,5438 0,54776
0,2 0,57926 0,58317 0,58706
0,3 0,61791 0,62172 0,62552

P (X 0,32) =0,62552

Wichtig: Um die Standardnormalverteilung Tabelle nutzen zu können, brauchst du entweder einen gegebenen z Wert oder eine gegebene Wahrscheinlichkeit. Wie du den z Wert berechnest, erfährst du hier !

z / Φ(z) 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0 0,5 0,50399 0,50798 0,51197 0,51595 0,51994 0,52392 0,5279 0,53188 0,53586
0,1 0,53983 0,5438 0,54776 0,55172 0,55567 0,55962 0,56356 0,56749 0,57142 0,57535
0,2 0,57926 0,58317 0,58706 0,59095 0,59483 0,59871 0,60257 0,60642 06,1026 0,61409
0,3 0,61791 0,62172 0,62552 0,6293 0,63307 0,63683 0,64058 0,64431 0,64803 0,65173
0,4 0,65542 0,6591 0,66276 0,6664 0,67003 0,67364 0,67724 0,68082 0,68439 0,68793
0,5 0,69146 0,69497 0,69847 0,70194 0,7054 0,70884 0,71226 0,71566 0,71904 0,7224
0,6 0,72575 0,72907 0,73237 0,73565 0,73891 0,74215 0,74537 0,74857 0,75175 0,7549
0,7 0,75804 0,76115 0,76424 0,7673 0,77035 0,77337 0,77637 0,77935 0,7823 0,78524
0,8 0,78814 0,79103 0,79389 0,79673 0,79955 0,80234 0,80511 0,80785 0,81057 0,81327
0,9 0,81594 0,81859 0,82121 0,82381 0,82639 0,82894 0,83147 0,83398 0,83646 0,83891
1 0,84134 0,84375 0,84614 0,84849 0,85083 0,85314 0,85543 0,85769 0,85993 0,86214
1,1 0,86433 0,8665 0,86864 0,87076 0,87286 0,87493 0,87698 0,879 0,881 0,88298
1,2 0,88493 0,88686 0,88877 0,89065 0,89251 0,89435 0,89617 0,89796 0,89973 0,90147
1,3 0,9032 0,9049 0,90658 0,90824 0,90988 0,91149 0,91309 0,91466 0,91621 0,91774
1,4 0,91924 0,92073 0,9222 0,92364 0,92507 0,92647 0,92785 0,92922 0,93056 0,93189
1,5 0,93319 0,93448 0,93574 0,93699 0,93822 0,93943 0,94062 0,94179 0,94295 0,94408
1,6 0,9452 0,9463 0,94738 0,94845 0,9495 0,95053 0,95154 0,95254 0,95352 0,95449
1,7 0,95543 0,95637 0,95728 0,95818 0,95907 0,95994 0,9608 0,96164 0,96246 0,96327
1,8 0,96407 0,96485 0,96562 0,96638 0,96712 0,96784 0,96856 0,96926 0,96995 0,97062
1,9 0,97128 0,97193 0,97257 0,9732 0,97381 0,97441 0,975 0,97558 0,97615 0,9767
2 0,97725 0,97778 0,97831 0,97882 0,97932 0,97982 0,9803 0,98077 0,98124 0,98169
2,1 0,98214 0,98257 0,983 0,98341 0,98382 0,98422 0,98461 0,985 0,98537 0,98574
2,2 0,9861 0,98645 0,98679 0,98713 0,98745 0,98778 0,98809 0,9884 0,9887 0,98899
2,3 0,98928 0,98956 0,98983 0,9901 0,99036 0,99061 0,99086 0,99111 0,99134 0,99158
2,4 0,9918 0,99202 0,99224 0,99245 0,99266 0,99286 0,99305 0,99324 0,99343 0,99361
2,5 0,99379 0,99396 0,99413 0,9943 0,99446 0,99461 0,99477 0,99492 0,99506 0,9952
2,6 0,99534 0,99547 0,9956 0,99573 0,99585 0,99598 0,99609 0,99621 0,99632 0,99643
2,7 0,99653 0,99664 0,99674 0,99683 0,99693 0,99702 0,99711 0,9972 0,99728 0,99736
2,8 0,99744 0,99752 0,9976 0,99767 0,99774 0,99781 0,99788 0,99795 0,99801 0,99807
2,9 0,99813 0,99819 0,99825 0,99831 0,99836 0,99841 0,99846 0,99851 0,99856 0,99861
3 0,99865 0,99869 0,99874 0,99878 0,99882 0,99886 0,99889 0,99893 0,99896 0,999
3,1 0,99903 0,99906 0,9991 0,99913 0,99916 0,99918 0,99921 0,99924 0,99926 0,99929
3,2 0,99931 0,99934 0,99936 0,99938 0,9994 0,99942 0,99944 0,99946 0,99948 0,9995
3,3 0,99952 0,99953 0,99955 0,99957 0,99958 0,9996 0,99961 0,99962 0,99964 0,99965
3,4 0,99966 0,99968 0,99969 0,9997 0,99971 0,99972 0,99973 0,99974 0,99975 0,99976
3,5 0,99977 0,99978 0,99978 0,99979 0,9998 0,99981 0,99981 0,99982 0,99983 0,99983
3,6 0,99984 0,99985 0,99985 0,99986 0,99986 0,99987 0,99987 0,99988 0,99988 0,99989
3,7 0,99989 0,9999 0,9999 0,9999 0,99991 0,99991 0,99992 0,99992 0,99992 0,99992
3,8 0,99993 0,99993 0,99993 0,99994 0,99994 0,99994 0,99994 0,99995 0,99995 0,99995
3,9 0,99995 0,99995 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99997 0,99997
4 0,99997 0,99997 0,99997 0,99997 0,99997 0,99997 0,99998 0,99998 0,99998 0,99998

Negative Werte in der z Werte Tabelle

Wie du wahrscheinlich gesehen hast, fängt die z Werte Tabelle bei 0 an. Was machst du also, wenn dein gegebener z Wert negativ ist?

Dafür gibt es einen Trick: Die Standardnormalverteilung ist achsensymmetrisch . Die Funktion spiegelt sich also an der y-Achse. Das heißt, sie verläuft links und rechts von der y-Achse genau spiegelverkehrt.

Es gilt: Φ(x) = 1Φ(x)

Wenn du einen negativen z Wert hast, suchst du also zunächst den dazugehörigen positiven z Wert. Dann rechnest du 1 minus den positiven z Wert.

Beispiel:

P(z ≤ -0,2) = 1 – (z ≤ 0,2)

= 1 – 0,57926= 0,42074

P(z  – 0,2) = 0,42074

Inverse Verteilungsfunktion und Quantile in der z Wert Tabelle

Die z Wert Tabelle kannst du auch rückwärts, also invers, lesen. In so einem Fall hast du die Wahrscheinlichkeit gegeben und suchst nun den zugehörigen z Wert.

Du liest in der Phi Tabelle also die Werte der sogenannten inversen Verteilungsfunktion ab.

Oft interessierst du dich dabei für bestimmte Prozentzahlen, sogenannte Quantile , in der z Wert Tabelle. Nach Quantilen fragst du zum Beispiel so: Für welches z ist die Wahrscheinlichkeit P von X z mindestens 99 %?

Du stellst sie allgemein wie folgt dar:

P (X ≤ xp) = p

Anstatt z schreibst du also xp. Die Quantile kannst du an der Tabelle einfach ablesen.

Beispiel:

Du möchtest wissen, bei welchem z Wert das 99 % – Quantil xp = 0,99 ist: Du hast also keinen z Wert, sondern eine Wahrscheinlichkeit gegeben und willst den z Wert herausbekommen:

P(X x0,99) = 0,99   Schritt 1: Suche in der z Tabelle den Wert, der 0,99 am nächsten kommt. Meistens wirst du dein Quantil nicht genau finden. In unserem Beispiel ist der Wert 0,99010 so nah an 0,99 wie möglich.  

Schritt 2: Jetzt schaust du dir an, in welcher Zeile und in welcher Spalte deine Wahrscheinlichkeit steht. Du bastelst dir deinen z Wert also rückwärts zusammen.

  • Gehe von deinem Feld 0,99010 zur ersten Spalte. Dort steht 2,3.
  • Gehe nun von der Wahrscheinlichkeit 0,99010 hoch in die erste Zeile. Da findest du die Zahl 0,03.
Zusammengebastelt lautet dein z Wert für das 99 % – Quantil also 2,33.

Standardormalverteilung

Du hast eine Normalverteilung vorliegen und möchtest nun Wahrscheinlichkeiten mit der Standardnormalverteilung Tabelle berechnen?

Dafür hilft dir die Formel

    \[z = \frac{x-\mu}{\sigma}\]

Wenn du diese Transformation zur Sigma Tabelle an ein paar Beispielen üben willst, dann schau doch hier in unserem Video  vorbei!

Zum Video: Standardnormalverteilung
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