Stochastik
Wahrscheinlichkeit Grundlagen
 – Video

Du willst wissen, was die relative Häufigkeit ist und wie du sie berechnen kannst? Dann bist du hier genau richtig! Wenn du dich beim Lernen lieber zurücklehnst, dann schau dir doch einfach unser Video dazu an.

Relative Häufigkeit einfach erklärt

Die relative Häufigkeit verstehst du am besten anhand eines Beispiels:

Stell dir vor, du und dein Freund Lukas spielen Basketball. Du triffst den Korb 8 Mal, Lukas nur 5 Mal. Dafür brauchst du ganze 40 Versuche, während Lukas nur 20 Anläufe benötigt hat. Wer von euch ist jetzt der bessere Spieler?

Das Berechnen der relativen Häufigkeit gibt dir die Antwort: Da bei dir nur 8 von 40 Versuchen erfolgreich waren, beträgt die relative Häufigkeit eines Treffers bei dir \frac{\textcolor{magenta}{8}}{\textcolor{blue}{40}}= 0,2. Bei Lukas liegt sie dagegen bei \frac{\textcolor{magenta}{5}}{\textcolor{blue}{20}} = 0,25. Da die relative Häufigkeit bei Lukas höher ist, ist er der bessere Spieler!

Um die relative Häufigkeit zu berechnen, teilst du also einfach die Anzahl eines bestimmten Ereignisses — hier das Treffen des Korbes — durch die Anzahl der Gesamtversuche.

Relative Häufigkeit: Definition

Die relative Häufigkeit gibt an, wie groß der Anteil der absoluten Häufigkeit — also der Anzahl eines bestimmten Ereignisses — an der Gesamtzahl der Versuche ist. Deshalb kannst du die relative Häufigkeit berechnen, indem du die absolute Häufigkeit durch die Versuchsanzahl teilst.

    \[\text{relative Häufigkeit} = \frac{\textcolor{magenta}{\text{absolute \ Häufigkeit}}}{\textcolor{blue}{\text{Versuchsanzahl}}}\]

Mathematisch kannst du die Formel der relativen Häufigkeit so aufschreiben:

    \[h_n(A) = \frac{\textcolor{magenta}{H_n(A)}}{\textcolor{blue}{n}}\]

Dabei bezeichnet A das Ereignis, n die Versuchsanzahl, H die absolute und h die relative Häufigkeit.

Gar nicht so schwer, oder?

Relative Häufigkeit: Häufigkeitstabelle

Eine Häufigkeitstabelle hilft dir, bei einem Experiment mit mehreren möglichen Ergebnissen den Überblick zu behalten.

Stell dir vor, du wirfst einen Würfel 100 Mal und erhältst folgende Verteilung:

Würfelergebnis 1 2 3 4 5 6
Anzahl H 12 15 14 18 19 22

Um die relative Häufigkeit zu berechnen, teilst du die jeweilige Anzahl durch die Versuchsanzahl 100. Du erhältst dann:

Würfelergebnis 1 2 3 4 5 6
Anzahl H 12 15 14 18 19 22
relative Häufigkeit h \frac{\textcolor{magenta}{12}}{\textcolor{blue}{100}} = 0,12 \frac{\textcolor{magenta}{15}}{\textcolor{blue}{100}} = 0,15 \frac{\textcolor{magenta}{14}}{\textcolor{blue}{100}} = 0,14 \frac{\textcolor{magenta}{18}}{\textcolor{blue}{100}} = 0,18 \frac{\textcolor{magenta}{19}}{\textcolor{blue}{100}} = 0,19 \frac{\textcolor{magenta}{22}}{\textcolor{blue}{100}} = 0,22

Um zu überprüfen, ob du jeweils die relative Häufigkeit richtig berechnet hast, kannst du ihre Summe bestimmen. Das Ergebnis muss immer 1 sein!

In der letzten Zeile wurden die relativen Häufigkeiten nach und nach aufaddiert. Du siehst, dass hier am Ende tatsächlich 1 rauskommt.

Würfelergebnis 1 2 3 4 5 6
Anzahl H
12 15 14 18 19 22
relative Häufigkeit h \frac{\textcolor{magenta}{12}}{\textcolor{blue}{100}} = 0,12 \frac{\textcolor{magenta}{15}}{\textcolor{blue}{100}} = 0,15 \frac{\textcolor{magenta}{14}}{\textcolor{blue}{100}} = 0,14 \frac{\textcolor{magenta}{18}}{\textcolor{blue}{100}} = 0,18 \frac{\textcolor{magenta}{19}}{\textcolor{blue}{100}} = 0,19 \frac{\textcolor{magenta}{22}}{\textcolor{blue}{100}} = 0,22
kumulierte Häufigkeit K 0,12 0,12 + 0,15 = 0,27 0,27 + 0,14 = 0,41 0,41 + 0,18 = 0,59 0,59 + 0,19 = 0,78 0,78 + 0,22 = 1

Jetzt kannst du in der letzten Zeile die sogenannte kumulierte Häufigkeit K ablesen: Sie gibt dir die zusammengezählte Häufigkeit von allen Werten an, die kleiner oder gleich deiner Zahl sind. Die relative Häufigkeit, eine Zahl kleiner oder gleich 2 zu würfeln beträgt also 0,27. Die relative Häufigkeit eine Zahl kleiner gleich 4 zu würfeln, ist dagegen 0,59.

Expertenwissen: Eigenschaften und Rechenregeln

Du kennst jetzt schon die Definition und Formel der relativen Häufigkeit. Es gibt aber auch einige nützliche Eigenschaften und Rechenregeln, die dir das Berechnen der relativen Häufigkeit erleichtern:

  • Die relative Häufigkeit kann nur Werte zwischen 0 und 1 annehmen.

0 ≤ hn(A) ≤ 1

  • Tritt ein Ereignis wirklich immer ein, hat es eine Wahrscheinlichkeit von 1. Dann nennst du es auch sicheres Ereignis und bezeichnest es mit Ω.

hn(Ω) = 1

Beispiel: Die relative Häufigkeit, dass du beim Würfeln eine Zahl zwischen 1 und 6 erhältst, ist 1.

  • Ein Ereignis A und sein Gegenereignis Ā — also das Gegenteil von A — ergänzen sich zu einem sicheren Ereignis.

hn(A) + hn( Ā) = 1      bzw.      hn(A) = 1 – hn(Ā)

Beispiel: Es ist sicher, dass du beim Würfeln entweder eine 3 (A) oder keine 3 (Ā) würfelst.

  • Du kannst auch zwei Ereignisse A und B mit einem Oder verknüpfen (Beispiel: Du würfelst eine (A) oder eine 5 (B)). Dann gilt:

hn(A∪B) = hn(A) + hn(B) – hn(A∩B)

Vielleicht erinnern dich einige dieser Regeln an die Rechenregeln der Wahrscheinlichkeit. Das ist kein Zufall:

Verhältnis zur Wahrscheinlichkeit

Das Gesetz der großen Zahlen besagt, dass sich die relative Häufigkeit und die tatsächliche Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis bei ausreichend vielen Versuchen immer weiter annähern und schließlich gleich werden.

Bei einem klassischem, sechsseitigem Würfel ist die Wahrscheinlichkeit für jede Zahl \frac{1}{6} \approx 0,17.

Wenn du aber in der Realität 100 Mal würfelst, wirst du nicht jede Zahl 17 Mal bekommen. Das kannst du auch im Vergleich zu der oben stehenden Häufigkeitstabelle sehen: Die Zahl 1 wurde nur 12 Mal gewürfelt, während die Zahl 6 ganze 22 Mal vorkam.

Laut dem Gesetz der großen Zahlen würden sich die Häufigkeiten bei ausreichend vielen Versuchen so ausbalancieren, dass du jede Zahl mit einer relativen Häufigkeit von 0,17 würfelst.

Wahrscheinlichkeit

Wie du siehst, hängt die relative Häufigkeit also eng mit der Wahrscheinlichkeit zusammen. Du möchtest noch mehr über die Wahrscheinlichkeit wissen? Dann schau dir doch unser Video dazu an!

Zum Video: Wahrscheinlichkeit
Zum Video: Wahrscheinlichkeit

Hallo, leider nutzt du einen AdBlocker.

Auf Studyflix bieten wir dir kostenlos hochwertige Bildung an. Dies können wir nur durch die Unterstützung unserer Werbepartner tun.

Schalte bitte deinen Adblocker für Studyflix aus oder füge uns zu deinen Ausnahmen hinzu. Das tut dir nicht weh und hilft uns weiter.

Danke!
Dein Studyflix-Team

Wenn du nicht weißt, wie du deinen Adblocker deaktivierst oder Studyflix zu den Ausnahmen hinzufügst, findest du hier eine kurze Anleitung. Bitte lade anschließend die Seite neu.