Du fragst dich, was Wahrscheinlichkeitsrechnung ist und willst verschiedene Beispiele dazu sehen? Hier und im Video erfährst du alles rund um dieses spannende Thema!
Schau dir Wahrscheinlichkeitsrechnung gleich an einem Beispiel an:
Wenn du zum Beispiel eine Münze wirfst, erhältst du zufällig Kopf oder Zahl. Du weißt vorher nicht, was herauskommt. Aber du kannst berechnen, wie groß die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis ist (z.B. für Kopf). Damit beschäftigt sich die Wahrscheinlichkeitsrechnung.
In unserem Beispiel sind Kopf und Zahl beide gleich wahrscheinlich. Du hast also eine Fifty-Fifty-Chance: Die Wahrscheinlichkeit für Kopf ist ½ (oder 50 %) und die für Zahl auch.
In der Wahrscheinlichkeitsrechnung ermittelst du Wahrscheinlichkeiten für bestimmte Ereignisse in einem Zufallsexperiment, zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit für Kopf beim Werfen einer Münze. In der Mathematik zählst du die Wahrscheinlichkeitsrechnung zum Teilgebiet der Stochastik.
Das Zufallsexperiment mit der Münze kannst du an einem Baumdiagramm
darstellen. Dabei zeichnest du ganz oben einen Knoten und dann zwei Linien nach unten, weil es zwei mögliche Ergebnisse gibt (Kopf und Zahl). Du nennst diese Linien Pfade. Neben sie schreibst du die Wahrscheinlichkeiten für das jeweilige Ergebnis, hier also ½.
An einem Baumdiagramm, auch Ereignisbaum genannt, kannst du ganz leicht verstehen, wie dein Zufallsexperiment aufgebaut ist. Das hilft dir bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung enorm!
Wenn du wie im vorherigen Beispiel eine Münze wirfst, dann sind Kopf und Zahl gleich wahrscheinlich. Beide Ergebnisse haben eine Chance von ½. Wenn alle möglichen Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, sprichst du von einem Laplace-Experiment .
Bei Laplace-Experimenten kannst du die Wahrscheinlichkeit mit einer Formel berechnen. Dabei teilst du die Anzahl der betrachteten Ergebnisse durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse (beim Würfel 6 mögliche Ergebnisse, nämlich 1 bis 6). Die Wahrscheinlichkeit, eine 3 oder eine 5 (also 2 betrachtete Ergebnisse) zu würfeln ist also:
Die Münze, der Würfel und die Lose — all das sind Zufallsexperimente. Das bedeutet, dass es mindestens zwei mögliche Ausgänge gibt und du vorher nicht weißt, was herauskommen wird.
Du unterscheidest zwei verschiedene Arten von Zufallsexperimenten: einstufige und mehrstufige.
Du kannst auch mehrstufige Zufallsexperimente in ein Baumdiagramm einzeichnen. Es hat dann so viele Ebenen, wie du Versuchsdurchgänge machst:
Übrigens: Wenn du bei mehrstufigen Zufallsexperimenten Wahrscheinlichkeiten berechnen sollst, helfen dir oft die Pfadregeln weiter. Wir erklären sie dir in einem extra Video !
Die Begriffe Ergebnis und Ereignis bedeuten nicht das Gleiche. Schau dir das am Wurf eines Würfels an:
Du kennst jetzt schon mehrstufige Zufallsexperimente, bei denen alle Ebenen im Baumdiagramm genau gleich aussehen. Das ist aber nicht immer der Fall. Schau dir zum Beispiel folgendes Zufallsexperiment an:
Aus einer Klasse wird zufällig ein Schüler ausgewählt. In der Klasse sind 10 Jungen und 15 Mädchen.
Wenn du einen Jungen auswählst, ist es viel wahrscheinlicher, dass er Latein lernt, als wenn du ein Mädchen auswählst. Denn bei den Jungen lernen 8 von 10 Latein (also 80 %) und bei den Mädchen nur 3 von 15 (das sind nur 20 %).
Wie wahrscheinlich es ist, dass ein Schüler Latein lernt, hängt also davon ab, ob du einen Jungen oder ein Mädchen auswählst. Die beiden Ereignisse sind also abhängig. Besteht kein Zusammenhang, nennst du sie unabhängig . Das ist zum Beispiel bei zweimal Würfeln der Fall.
Wenn du bei abhängigen Ereignissen Wahrscheinlichkeiten berechnen willst, hilft dir der Satz von Bayes weiter. Du möchtest noch mehr Formeln zur Wahrscheinlichkeitsrechnung kennenlernen? Dann schau hier vorbei!
Übrigens: Bei abhängigen Ereignissen ist die Darstellung in einer Vierfeldertafel oft leichter als im Baumdiagramm. Schau dir also gleich unser Video dazu an!
Stell dir vor, du möchtest deine Wand in zwei Farben streichen. Zur Auswahl stehen gelb, orange, rot und grau. Du wählst zufällig zwei Farben aus. Es gibt dann viele verschiedene Kombinationsmöglichkeiten, zum Beispiel gelb–orange, orange–rot, rot–grau, …. Aber wie viele sind es genau?
Das verrät dir der Binomialkoeffizient . Er besteht aus zwei Zahlen, die übereinander in einer Klammer stehen. Oben steht die Anzahl der Möglichkeiten insgesamt (Abkürzung: n). Unten steht die Anzahl der Farben, die du auswählst (Abkürzung: k):
Du kannst den Binomialkoeffizienten ganz leicht mit einer Formel berechnen. Das Ausrufezeichen steht dabei für die Fakultät :
Tipp: Wahrscheinlich hast du auf deinem Taschenrechner eine Taste für den Binomialkoeffizienten, nämlich nCr. Dann musst du ihn nicht per Hand ausrechnen!
Der Binomialkoeffizient spielt eine große Rolle bei der Binomialverteilung und der Bernoulli-Formel . Damit kannst du dann nicht nur die Anzahl der Möglichkeiten ausrechnen, sondern auch Wahrscheinlichkeiten. Besonders bei langen Zufallsexperimenten mit sehr vielen Durchgängen hilft sie dir weiter.
Jetzt kennst du schon viele wichtige Begriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Schau dir zum Schluss noch zwei typische Beispiele an: Das Urnenmodell und die Lottoziehungen.
Wahrscheinlichkeitsrechnung am Urnenmodell
Beim Urnenmodell stellst du dir eine Urne vor, also ein Gefäß, in das du nicht hineinschauen kannst. Darin sind Kugeln, meist in unterschiedlichen Farben, zum Beispiel 3 blaue und 2 rote. Du ziehst nun aus der Urne. Die Chance, eine blaue Kugel zu ziehen, liegt dann bei und die für rot bei
. Wenn du mehrfach ziehst, kannst du außerdem unterscheiden, ob du die Kugel nach jeder Ziehung zurücklegst
oder nicht
.
Oft findest du in der Wahrscheinlichkeitsrechnung Aufgaben, die mit dem Urnenmodell zu tun haben — entweder ganz offensichtlich oder indirekt, wie zum Beispiel beim Lotto.
Wahrscheinlichkeitsrechnung beim Lotto
Beim Lotto wählst du aus 49 Zahlen 6 aus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass du alle 6 richtig hast? Das kannst du mit dem Binomialkoeffizienten berechnen. Dabei ist die Anzahl der Möglichkeiten insgesamt 49 (n = 49) und du wählst 6 aus (k = 6). Insgesamt gibt es also
Die Wahrscheinlichkeitsrechnung hängt eng mit der Kombinatorik zusammen. Dabei beschäftigst du dich damit, wie viele Kombinationsmöglichkeiten es zum Beispiel beim Ziehen von Kugeln gibt. Wenn du mehr darüber erfahren willst, schau dir gleich unser Video an!
Hallo, leider nutzt du einen AdBlocker.
Auf Studyflix bieten wir dir kostenlos hochwertige Bildung an. Dies können wir nur durch die Unterstützung unserer Werbepartner tun.
Schalte bitte deinen Adblocker für Studyflix aus oder füge uns zu deinen Ausnahmen hinzu. Das tut dir nicht weh und hilft uns weiter.
Danke!
Dein Studyflix-Team
Wenn du nicht weißt, wie du deinen Adblocker deaktivierst oder Studyflix zu den Ausnahmen hinzufügst, findest du hier eine kurze Anleitung. Bitte lade anschließend die Seite neu.