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Integralrechnung
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Integralrechnung einfach erklärt

Die Integralrechnung hilft dir, Flächeninhalte zwischen der x-Achse und einer Funktion auszurechnen. 

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Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse

Dafür brauchst du zuerst die sogenannte Stammfunktion. Wie du die berechnest, erfährst du jetzt.

Danach lernst du Schritt für Schritt, wie du die Integralrechnung bei Flächeninhalten und Anwendungsaufgaben nutzen kannst.

Stammfunktionen

Bevor du ein Integral bestimmen kannst, musst du die Stammfunktion F(x) ermitteln. Schau dir zum Beispiel 

f(x) = 2x 

an. F(x) ist eine Funktion, die abgeleitet f(x) ergibt. Deshalb ist hier

F(x) = x2

Stammfunktion F(x) von f(x)

Für F(x) gilt immer: F'(x) = f(x)

Das Bilden einer Stammfunktion ist also das Gegenteil vom Ableiten. Deshalb nennst du es manchmal auch Aufleiten

Achtung! Du hast gesehen, dass F(x) = xeine Stammfunktion von f(x) = 2x ist, weil xabgeleitet 2x ergibt. Aber auch 

  • x+ 1
  • x+ 5 und 
  • x2 – 5 

ergeben abgleitet 2x! Du kannst also hinter x2 noch eine beliebige Zahl schreiben. Die bezeichnest du allgemein mit c. Alle Stammfunktionen von f(x) = 2x haben also die Form 

x2 + c

Wichtige Beispiele fürs Aufleiten

Am wichtigsten ist, dass du Potenzfunktionen aufleiten kannst, zum Beispiel x3 oder 5x2. Dafür musst du nur zwei Schritte beachten:

  1. Erhöhe die Hochzahl um 1: x→ x4
  2. Schreibe den Bruch \frac{1}{\textcolor{red}{\text{neue Hochzahl}}} vor die Potenz: \frac{1}{\textcolor{red}{4}}x^{\textcolor{red}{4}}

Weitere wichtige Beispiele findest du in der Tabelle.

 f(x) F(x)
f(x) = 3x2 F(x) = x3
f(x) = 4x3 + 5x F(x) = x4 + 2,5x2
f(x) = 1 F(x) = x
f(x) = 2 F(x) = 2x
f(x) = ex F(x) = ex
f(x) = sin(x) F(x) = -cos(x)
f(x) = cos(x) F(x) = sin(x)
f(x) = 1/x F(x) = ln(x)

Unbestimmtes Integral

Die Menge aller Stammfunktionen von einer Funktion f(x) kannst du mit dem unbestimmten Integral angeben. Du brauchst dafür das Integrationszeichen ∫. Schau dir zum Beispiel an, wie du das unbestimmte Integral von 2x aufschreiben kannst:

    \[\int 2x \, dx = x^2 + \textcolor{blue}{c}\]

Allgemein kannst du dir merken:

Unbestimmtes Integral

    \[\int \textcolor{red}{f(x)} \, \textcolor{teal}{dx} = F(x) + \textcolor{blue}{c}\]

f(x) hießt Integrand und dx Differential. Das Differential musst du immer hinter f(x) schreiben! Das x nennst du Integrationsvariable und c ist die Integrationskonstante.

Bestimmtes Integral

Mit dem unbestimmten Integral kannst du auch ein bestimmtes Integral  berechnen. Dann stehen oben und unten an deinem Integral Zahlen, die sogenannten Integrationsgrenzen. Hier siehst du ein Beispiel:

    \[\int\limits_{\textcolor{orange}{0}}^{\textcolor{orange}{1}} 2x \, dx\]

Aber wie kannst du das Integral berechnen? Allgemein lautet die Formel für die Integralrechnung:

Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung

    \[\int\limits_a^b f(x) \, dx = \biggl[F(x)\biggr]\limits_a^b = F(b) - F(a) \]

In deinem Beispiel rechnest du also:

    \[\int\limits_{\textcolor{orange}{0}}^{\textcolor{orange}{1}} 2x \,dx = \biggl[x^2\biggr]\limits_{\textcolor{orange}{0}}^{\textcolor{orange}{1}} = {\textcolor{orange}{1}}^2 - {\textcolor{orange}{0}}^2 = 1 \]

Um ein bestimmtes Integral zu berechnen, gehst du so vor:

  • Schritt 1: Berechne die Stammfunktion F(x) und schreibe Sie in eckige Klammern
  • Schritt 2: Setze die Integrationsgrenzen a und b in F(x) ein.
  • Schritt 3: Ziehe F(a) von F(b) ab.

Anwendungsaufgabe Integralrechnung: Beispiel

Oft musst du in der Integralrechnung Anwendungsaufgaben bearbeiten. Schau dir dazu ein Beispiel an:

In einen leeren Behälter fließt Wasser. Die Zuflussrate in Litern pro Minute wird durch die Funktion f(x) = -t2 + 20t angegeben. t ist dabei die Zeit in Minuten. Wie viel Wasser ist nach 10 Minuten im Behälter?

Lösung

Wenn du eine Änderungsrate (z. B. eine Zuflussrate) gegeben hast, berechnest du die Gesamtmenge immer mithilfe von Integralrechnung. Die Integrationsgrenzen sind durch das Zeitintervall gegeben, hier als 0 und 10:

    \begin{align*} \int\limits_{\textcolor{orange}{0}}^{\textcolor{orange}{10}} -x^2+20x\, dx &= \biggl[-\frac{1}{3}x^3 +10x^2 \biggr]\limits_{\textcolor{orange}{0}}^{\textcolor{orange}{10}} \\ &= -\frac{1}{3}\cdot 10^3 +10\cdot 10^2 -(-\frac{1}{3}\cdot 0^3 +10\cdot 0^2) = \frac{2000}{3} \approx 666,7 \end{align*}

Es sind also nach 10 Minuten 666,7 Liter Wasser im Behälter.

Flächenberechnung durch Integralrechnung 

Mithilfe der Integralrechnung kannst du den Flächeninhalt zwischen der Funktion und der x-Achse innerhalb der Integrationsgrenzen berechnen. Das Integral \int\limits_{\textcolor{orange}{0}}^{\textcolor{orange}{2}} 2x \, dx gibt dir also den Flächeninhalt zwischen f(x) = 2x und der x-Achse im Intervall [0,2] an. 

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Flächeninhalt unter einer Gerade

In dem Beispiel waren deine Integrationsgrenzen vorgegeben. Wenn du den Flächeninhalt berechnen willst, den der Graph mit der x-Achse einschließt, musst du sie aber selbst herausfinden. Dann gehst du so vor:

  • Schritt 1: Berechne die Nullstellen deiner Funktion.
  • Schritt 2: Schreibe das bestimmte Integral auf. Die Nullstellen sind die Integrationsgrenzen.
  • Schritt 3: Integral berechnen.

Achtung! Wenn du mehr als zwei Nullstellen hast, musst du auch mehr als ein Integral ausrechnen. Hast du zum Beispiel die Nullstellen 2, 3 und 5, dann berechnest du ein Integral von 2 bis 3 und eines von 3 und 5.

Schau dir gleich zwei Beispiele zu Flächeninhalten in der Integralrechnung an!

Flächenberechnung Beispiel 1

Du willst die Fläche zwischen f(x) = -x2 + 4 und der x-Achse mit dem Integral berechnen.

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Flächeninhalt zwischen Parabel und x-Achse
  • Schritt 1: Berechne die Nullstellen. Du erhältst x1 = -2 und x2 = 2.
  • Schritt 2: Schreibe das bestimmte Integral auf:

        \[\int\limits_{\textcolor{orange}{-2}}^{\textcolor{orange}{2}} -x^2+4\, dx\]

  • Schritt 3: Integral lösen.

        \[\int\limits_{\textcolor{orange}{-2}}^{\textcolor{orange}{2}} -x^2+4\, dx = \biggl[-\frac{1}{3} x^3 + 4x \biggr]\limits_{\textcolor{orange}{-2}}^{\textcolor{orange}{2}} = -\frac{1}{3} \cdot 2^3 + 4 \cdot 2 - (-\frac{1}{3} \cdot (-2)^3 + 4 \cdot (-2)) = \frac{32}{3}\]

Der Flächeninhalt zwischen der Funktion und der x-Achse beträgt also \frac{32}{3}.

Flächenberechnung Beispiel 2

Schau dir noch ein Beispiel mit mehr als zwei Nullstellen an: f(x) = x3 – 4x. Bestimme den Flächeninhalt A zwischen dem Graphen und der x-Achse.

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Flächeninhalt zwischen x-Achse und Funktion
  • Schritt 1: Berechne die Nullstellen. Du erhältst x1 = -2 und x2 = 0 und x3 = 2.
  • Schritt 2: Schreibe zwei Integralrechnungen auf:

        \[A_1 = \int\limits_{\textcolor{orange}{-2}}^{\textcolor{orange}{0}} x^3-4x \,dx\]

    und

        \[A_2 = \int\limits_{\textcolor{orange}{0}}^{\textcolor{orange}{2}} x^3-4x \,dx\]

  • Schritt 3: Integral bestimmen.

    \begin{align*} A_1 = \int\limits_{\textcolor{orange}{-2}}^{\textcolor{orange}{0}} x^3-4x \,dx &= \biggl[\frac{1}{4} x^4 - 2x^2 \biggr]\limits_{\textcolor{orange}{-2}}^{\textcolor{orange}{0}} \\ &= \frac{1}{4} \cdot 0^4 - 2 \cdot 0^2 - (\frac{1}{4} \cdot  (-2)^4 - 2\cdot (-2)^2) = 4 \end{align*}

    \[A_2 = \int\limits_{\textcolor{orange}{0}}^{\textcolor{orange}{2}} x^3-4x\, dx = \biggl[\frac{1}{4} x^4 - 2x^2 \biggr]\limits_{\textcolor{orange}{0}}^{\textcolor{orange}{2}} = \frac{1}{4} \cdot 2^4 - 2 \cdot 2^2 - (\frac{1}{4} \cdot  0^4 - 2\cdot 0^2) = -4\]

Für A2 kommt also eine negative Zahl heraus. Weil ein Flächeninhalt aber nicht negativ sein kann, musst du die positive Zahl davon betrachten, also 4. Der Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse ist dann: 

A = A1 + A2 = 4 + 4 = 8

Flächen zwischen zwei Graphen

Wenn du die Fläche zwischen zwei Graphen f(x) und g(x) berechnen sollst, gehst du so vor:

  • Schritt 1: Berechne die Schnittpunkte der beiden Funktionen f(x) und g(x).
  • Schritt 2: Stelle das Integral von f(x)-g(x) mit den Schnittpunkten als Integrationsgrenzen auf.
  • Schritt 3: Integral berechnen.

Schau dir auch dazu ein Beispiel an.

Fläche zwischen Graphen: Beispiel

Du hast die Funktionen f(x) = -x2 + 4 und g(x) = 2x2 + 1 gegeben und sollst die Fläche dazwischen ausrechnen.

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Flächeninhalt zwischen zwei Graphen
  • Schritt 1: Berechne die Schnittpunkte. Dazu setzt du die beiden Funktionen gleich und löst das nach x auf. Du erhältst x1 = -1 und x2 = 1.
  • Schritt 2: Berechne zuerst f(x) – g(x) und stelle damit die Integralrechnung auf.

    \[f(x) - g(x) = -x^2+4-(2x^2+1)=-x^2+4-2x^2-1=\textcolor{red}{-3x^2+3}\]

    \[\implies \int\limits_{\textcolor{orange}{-1}}^{\textcolor{orange}{1}} \textcolor{red}{-3x^2+3} \,dx\]

  • Schritt 3: Integral bestimmen.

    \[\int\limits_{\textcolor{orange}{-1}}^{\textcolor{orange}{1}} \textcolor{red}{-3x^2+3} \, dx = \biggl[\textcolor{red}{-x^3+3x} \biggr]\limits_{\textcolor{orange}{-1}}^{\textcolor{orange}{1}} = -1^3+3 \cdot 1 - (-(-1)^3+3 \cdot (-1)) = 4 \]

Integrationsregeln

Wie auch beim Ableiten musst du bei der Integralrechnung bestimmte Integrationsregeln beachten. Hier siehst du die wichtigsten auf einen Blick. 

Die häufigste Regel in der Integralrechnung ist die Potenzregel. Damit kannst du Potenzen wie x3 oder 5x2 aufleiten. Du hast sie schon bei den Stammfunktionen kennengelernt. 

Potenzregel 

    \[\int x^n \,dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1}+c\]

Die Faktorregel ist die einfachste Integrationsregel. Du benutzt sie, wenn vor deiner Funktion eine Zahl mit Mal dahinter steht, z. B. 2 ex. Du kannst dann die Zahl einfach vor das Integral ziehen: 

Faktorregel

    \[ \int c \cdot f(x) \,dx= c \cdot \int f(x)dx \]

Die dritte der Integrationsregeln ist die Summenregel. Du verwendest sie immer, wenn in der Integralrechnung eine Summe vorkommt, zum Beispiel in x2 + 4. Du kannst dann die verschiedenen Teile der Summe einzeln integrieren :

Summenregel 

    \[\int f(x)+g(x) \,dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx\]

Ganz ähnlich wie die Summenregel funktioniert auch die Differenzregel:

Differenzregel 

    \[\int f(x)-g(x) \,dx = \int f(x) dx - \int g(x)\, dx \]

Wenn du Beispiele zu den einzelnen Regeln sehen möchtest, schau dir unser Video zu den Integrationsregeln an.

Für einige Funktionen gibt es auch noch separate Integrationsregeln. Wenn du wissen willst, wie du e-Funktion integrierst, dann schau hier vorbei!

Integralfunktion

Du hast schon gesehen, dass du für ein Integral unterschiedliche Integrationsgrenzen wählen kannst. Lass jetzt einmal die untere Grenze fest, zum Beispiel bei 0, und setze für die obere eine Variable ein, beispielsweise x. Die Integrationsvariable nennst du dann t anstatt x — sonst kommt das x ja doppelt vor. 

Dadurch entsteht eine neue Funktion in Abhängigkeit von der oberen Grenze. Du nennst sie Integralfunktion. Die feste untere Grenze bezeichnest du allgemein mit a. 

Integralfunktion von f(x)

    \[F(x) = \int_a^{\textcolor{orange}{x}} f(t) \,dt \]

Jetzt siehst du auch, warum du die Integrationsvariable t nennen musst — die Variable x ist schon für die obere Grenze verbraucht!

Du willst noch detaillierteres Wissen zur Integralrechnung? Dann schau dir auch unseren Artikel für Fortgeschrittene dazu an!

Expertenwissen: Rotationskörper

Du erhältst einen Rotationskörper, wenn du eine Fläche (z. B. ein Rechteck) um eine Achse im Koordinatensystem herumdrehst. Das Volumen von einem solchen Rotationskörper und seine Mantelfläche kannst du mit dem Integral ausrechnen. Alle wichtigen Formeln und viele Beispiele dazu findest du in diesem Video .

Merke: Die Formeln für die Rotation um die x-Achse und die Rotation um die y-Achse in der Integralrechnung sind unterschiedlich! Pass auf, dass du die beiden nicht verwechselst!

Expertenwissen: Uneigentliches Integral

Ein uneigentliches Integral ist ein Integral, bei dem die Grenzen kritische Werte enthalten. Das bedeutet, dass dort eine Zahl oder ein Zeichen steht, dass du nicht einfach in die Funktion einsetzen kannst. Dabei gibt es zwei Fälle:

  • Die Integrationsgrenzen sind unbeschränkt, d. h. a =- \infty oder b=\infty
  • f(x) ist an den Integrationsgrenzen nicht definiert. Du darfst also deine Grenze nicht in die Funktion einsetzen. 

Bei der Berechnung eines uneigentlichen Integrals an seiner kritischen Grenze machst du Folgendes: 

Anleitung: Uneigentliche Integrale lösen

Schritt 1: Ersetze die kritische Grenze b durch eine Variable :


Schritt 2: Berechne das Integral in Abhängigkeit von :
Schritt 3: Bestimme, falls vorhanden, den Grenzwert:

Merke: Wenn du bei einem uneigentlichen Integral zwei kritische Grenzen hast, musst du es aufteilen und beide Integrale einzeln berechnen. Hier findest du weitere Aufgaben, um das Thema noch besser zu verstehen. 

Expertenwissen: Partielle Integration

Wenn deine Integralrechnung ein Produkt enthält, kannst du beim Integrale lösen eine spezielle Regel verwenden: die partielle Integration. Du kannst sie dir vorstellen wie die Produktregel vom Ableiten, nur umgekehrt. Die Erklärung und viele Beispiele lernst du in einem separaten Video kennen. Hier siehst du schonmal die Formel auf einem Blick: 

Partielle Integration

    \[\int \limits_a^b f'(x) \cdot g(x) \,dx = \biggl[f(x) \cdot g(x)\biggr]\limits_a^b -\int\limits_a^b f(x)\cdot g'(x) \,dx \]

Beispiel

Wir wollen \int\limits_0^\pi x \cdot \sin(x) \,dx mithilfe von partieller Integration berechnen. Hier ist f'(x)=\sin(x) und g(x) = x. Damit gilt:

\int\limits_0^\pi x\cdot \sin(x)\,dx = \biggl[-x\cdot \cos(x)\biggr]\limits_0^\pi - \int\limits_0^\pi - \cos(x) dx = \pi +\sin(\pi)-\sin(0)=\pi.

Merke: Manchmal kann es sein, dass du bei einer Integralrechnung mehrfach partiell integrieren musst.

Merke: Es ist wichtig, dass du f'(x) und g(x) passend wählst. Die Merkhilfe LIATE erklären wir dir hier  ausführlich.

Expertenwissen: Integration durch Substitution

Alle wichtigen Infos zu Integrationsregeln zur Substitution findest du in einem eigenen Video.

Die Substitutionsregel ähnelt der Kettenregel beim Ableiten. Du verwendest sie nämlich dann, wenn du eine innere Funktion v(x) und eine äußere Funktion u(x) gegeben hast, d. h. wenn f(x) = u(v(x)). Dann substituierst (ersetzt) du v(x) = y und erhältst folgende Formel: 

Integration durch Substitution 

    \[\int\limits_a^b u(v(x))\cdot v'(x) = \int\limit_{v(a)}^{v(b)} u(y)\,dy \]

Beispiel

Du suchst die Lösung des Integrals \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(2x)dx . Dafür substituierst du y=2x und bekommst durch Ableiten und Umstellen dx = \frac{1}{2}dy. Wenn du das in die Integralrechnung einsetzt und noch die Integrationsgrenzen anpasst, erhältst du: 

    \[\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(2x)dx=\int\limits_0^\pi \sin(y)\cdot\frac{1}{2}dy = \biggl[\frac{-\cos(y)}{2}\biggr]\limits_0^\pi = 1 \]

Merke: Vergiss nicht, deine Integrationsgrenzen anzupassen, und das dx richtig zu ersetzen!

Expertenwissen: Mittelwertsatz der Integralrechnung

Ein wichtiger Satz in der Integralrechnung ist der Mittelwertsatz der Integralrechnung. Manchmal nennst du ihn auch Cauchyschen Mittelwertsatz. Mithilfe des Mittelwertsatzes kannst du Integrale abschätzen, ohne sie exakt auszurechnen. 

In der allgemeinen Fassung besagt der Mittelwertsatz der Integralrechnung, dass für ein stetiges f:[a,b] \longrightarrow \mathbb{R} und ein integrierbares g:[a,b] \longrightarrow \mathbb{R} ohne Vorzeichenwechsel ein \xi \in [a,b] existiert, sodass 

    \[\int\limits_a^b f(x)g(x)\, dx = f(\xi)\int\limits_a^b g(x)\, dx \]

Für den Spezialfall g=1 ergibt sich insbesondere:

    \[ \int\limits_a^b f(x)\, dx = f(\xi)(b-a) \]

Geometrisch kannst du diesen „ersten Mittelwertsatz der Integralrechnung“ so interpretieren, dass du zu jedem Flächeninhalt, den f(x) und die x-Achse einschließen, ein entsprechendes Rechteck mit derselben Fläche finden kannst.

Mittelwertsatz der Integralrechnung
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Mittelwertsatz der Integralrechnung

Das hilft dir vor allem dann, wenn du den durchschnittlichen Wert der Funktion im Intervall [a,b] bestimmen willst. Der ist nämlich gerade f(\xi)! Wenn du also den Durchschnitt aller y-Werte im Intervall [a,b] ermitteln sollst, berechnest du

    \[f(\xi) = \frac{1}{b-a}\int\limits_a^b f(x)\,dx = \frac{1}{b-a}\left[F(b) - F(a)\right] \]

Merke: Du solltest immer aufpassen, dass g(x) im Intervall [a,b] keinen Vorzeichenwechsel hat, d. h. dass g(x) < 0\quad  \forall x \in [a,b] oder g(x) > 0 \quad\forall x \in [a,b]. Ist das nicht der Fall, kannst du den Mittelwertsatz der Integralrechnung nicht anwenden!

Expertenwissen: Kurvenintegrale

Du kannst jetzt schon Integrale von reellen Funktionen ermitteln. Mit dem Kurvenintegral kannst du auch über Funktionen integrieren, deren Definitionsmenge D eine Teilmenge des \mathbb{R}^n ist. Du integrierst dann entlang der Kurve \gamma, die diese Teilmenge umfasst.

Kurvenintegrale 1. Art: Darunter verstehst du Kurvenintegrale einer skalaren Funktion f:\mathbb{R}^n\supset D\rightarrow \mathbb{R}. Das ist eine Zuordnung von jedem Wert x\in D\subset\mathbb{R}^n zu einer reellen Zahl f(x)\in\mathbb{R}.

Betrachte die offene Teilmenge D\subset\mathbb{R}^n und die Parametrisierung einer stückweise stetig differenzierbaren Kurve \gamma:[a,b]\rightarrow \mathbb{R} . Dann nennst du 

\int\limits_{\gamma}f\mathrm{d}s:=\int\limits_a^b f\left(\gamma(t)\right)\cdot\left\lVert\dot{\gamma}(t)\right\rVert\mathrm{d}t

das Kurvenintegral 1. Art von f längs der Kurve \gamma.

Analog dazu existiert in der Integralrechnung das Kurvenintegral 2. Art für vektorwertige Funktionen. Genaueres dazu erklären wir dir hier . Im Folgenden siehst du nochmal das Vorgehen bei Kurvenintegralen auf einen Blick:

Anleitung: Kurvenintegrale lösen

Schritt 1: Parametrisiere die Kurve und setze sie in f ein.
Schritt 2: Bestimme das Bogenelement ds. Es kann je nach Art des Kurvenintegrals skalar oder vektorwertig sein.
Schritt 3: Berechne das Kurvenintegral.

Aufleiten

Wenn du noch mehr Übung beim Aufleiten brauchst, schau dir gleich noch unser Video dazu an!

Zum Video: Aufleiten
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