Lineare Algebra

Natürlicher Logarithmus

Ob natürlicher Logarithmus oder Logarithmus naturalis, hier erfährst du alles Wichtige zum ln x! %</span>Du möchtest dich beim Lernen lieber entspannt zurücklehnen? Dann schau dir jetzt unser Video<span style="color: #99cc00;">VERWEIS</span> zum <strong>natürlichen Logarithmus</strong> an!<span style="color: #99cc00;">

Inhaltsübersicht

Natürlicher Logarithmus einfach erklärt

Der natürliche Logarithmus ist eigentlich nur ein Spezialfall vom allgemeinen Logarithmus . Er hat als sogenannte Basis die Eulersche Zahl e. Er wird als ln geschrieben.

\textcolor{red}{x}=\underbrace{\log_{\textcolor{blue}{e}}}_{= \ln} (\textcolor{orange}{y} )= \ln (\textcolor{orange}{y})

Du kennst bei solchen Aufgaben also schon das Ergebnis y und die Basis e und suchst jetzt nur noch den Exponenten x.

\textcolor{blue}{e}^{\textcolor{red}{x}} = \textcolor{orange}{y}

Das x ist also gerade die Zahl, die dir anzeigt, wie oft du e mal e rechnen musst, um zum gegebenen Ergebnis y zu kommen. Das e steht dabei für die Eulersche Zahl. %VERWEIS e

e=2,71828...

Hinweis: Dein Taschenrechner hat eine extra Taste für den natürlichen Logarithmus ln x.

Natürlicher Logarithmus berechnen

Der natürliche Logarithmus wird auch als Logarithmus naturalis bezeichnet. Damit kannst du alle Gleichungen lösen, bei denen du dich fragst, welche Zahl x du in den Exponenten von e nehmen musst, um eine andere Zahl y zu erhalten. %Hier würde ich dann eine Grafik aus der Animation einfügen, die die Begriffe Basis, Exponent und Potenzwert nochmal klärt

\textcolor{blue}{e}^{\textcolor{red}{x}} = \textcolor{orange}{y}

\longrightarrow \textcolor{red}{x} = \ln (\textcolor{orange}{y})

Beispiel 1

Betrachte die Gleichung

e^{\textcolor{red}{x}}=\textcolor{orange}{10}.

Das x kannst du nun ganz einfach mit dem natürlichen Logarithmus berechnen.

  \textcolor{red}{x} = \ln (\textcolor{orange}{10})\approx 2,3

Beispiel 2

Angenommen du willst wissen, welche Zahl x du in den Exponenten von e nehmen musst, um als Ergebnis den Potenzwert 21 zu erhalten. Dieses Problem kannst du dann als Gleichung formulieren.

e^{\textcolor{red}{x}}=\textcolor{orange}{21}

Um das x zu berechnen, nutzt du jetzt den natürlichen Logarithmus. Du wendest auf beide Seiten den natürlichen Logarithmus an.

\ln\left(e^{\textcolor{red}{x}}\right)=\ln \left(\textcolor{orange}{21} \right)

Das kannst du nun umformen.

\textcolor{red}{x} \cdot \underbrace{\ln\left(e\right)}_{=1}=\ln \left(\textcolor{orange}{21} \right)

\textcolor{red}{x}=\ln (\textcolor{orange}{21}) \approx 3,04

Dafür nutzt du die Taste auf deinem Taschenrechner und setzt entsprechend die 21 ein.

Hinweis: Den natürlichen Logarithmus kannst du auch als eine Funktion betrachten. Alles Wichtige zur ln Funktion haben wir in einem extra Video für dich zusammengefasst.

Sonderfall

Der ln 1 ist eine besondere Stelle. Hier ist der natürliche Logarithmus nämlich gerade Null.

\ln (1) = 0

Erinnere dich an die Potenzgesetze, besonders an die Regel x^0=1. Eine Zahl hoch Null ergibt also Eins. Das gilt dann auch, wenn du die Eulersche Zahl e als Basis nimmst.

e^0=1

Deshalb ist auch der ln 1 gleich Null, denn die Null ist gerade die Zahl, die du in den Exponenten von e schreiben musst, um Eins zu erhalten.

Natürlicher Logarithmus Regeln

Für den natürlichen Logarithmus gibt es ein paar Rechenregeln, die du kennen solltest.

Natürlicher Logarithmus Regeln

\ln(x \cdot y) = \ln x + \ln y

\ln (\frac{x}{y}) = \ln x - \ln y

\ln x^n = n \cdot \ln x

\ln \sqrt[n]{x}=\frac{1}{n} \ln x

Viele Beispiele dazu findest du auch in unserem extra Artikel zu den ln Regeln .

Natürlicher Logarithmus Aufgaben

Jetzt kannst du den natürlichen Logarithmus anwenden. Hier findest du nochmal zwei Aufgaben zum Üben.

a) 8=e^x

b) 30=e^x

Lösungen

In beiden Fällen bekommst du das Ergebnis mit dem natürlichen Logarithmus.

a) x=\ln (8) \approx 2,08

b) x=\ln(30) \approx 3,40

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