Lineare Algebra

ln Regeln

Hier erfährst du, welche Rechenregeln es für den natürlichen Logarithmus gibt und wie du mit den ln Regeln rechnen kannst. In unserem Video%VERWEIS erklären wir es dir anschaulich. Schau es dir gleich an!

Inhaltsübersicht

ln Regeln einfach erklärt

Für den natürlichen Logarithmus  gibt es einige Rechenregeln, mit denen du den ln umformen kannst. 

ln Regeln

\ln (\textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{y}) = \ln \textcolor{red}{x} + \ln \textcolor{blue}{y}

\ln (\frac{\textcolor{red}{x}}{\textcolor{blue}{y}}) = \ln \textcolor{red}{x} - \ln \textcolor{blue}{y}

\ln \textcolor{red}{x}^{\textcolor{blue}{n}} = \textcolor{blue}{n} \cdot \ln \textcolor{red}{x}

\ln \sqrt[\textcolor{blue}{n}]{\textcolor{red}{x}} = \frac{1}{\textcolor{blue}{n}} \ln \textcolor{red}{x}

Erinnerung: Der Logarithmus zur Basis e ist der ln: \underbrace{\log_e}_{\ln}x = \ln x.

Wenn du den natürlichen Logarithmus als Funktion betrachtest, dann gibt es noch mehr Regeln zum Beispiel fürs Ableiten. Mehr dazu erfährst du in unserem Beitrag zur ln Funktion

ln Rechenregeln

Gehen wir doch die einzelnen Rechenregeln gemeinsam durch und schauen uns einige Beispiele dazu an. Übrigens funktionieren die ln Gesetze genau wie die Logarithmus Regeln

ln Regeln Produkt

Mit dieser Regel kannst du ein Produkt zu einer Addition umschreiben.

\ln (\textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{y}) = \ln \textcolor{red}{x} + \ln \textcolor{blue}{y}

Am besten schaust du dir dafür gleich mal einige Beispiele an.

  • \ln (\textcolor{red}{5} \cdot \textcolor{blue}{3}) = \ln \textcolor{red}{5} + \ln \textcolor{blue}{3} \approx 2,71
  • \ln (\textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{blue}{4}) = \ln \textcolor{red}{2} + \ln \textcolor{blue}{4} \approx 2,08

Du kannst diese Regel auch rückwärts verwenden und so den ln zusammenfassen.

  • \ln \textcolor{red}{3} + \ln \textcolor{blue}{10} = \ln (\textcolor{red}{3} \cdot \textcolor{blue}{10}) = \ln 30 \approx 3,40

ln Regeln Division

Ganz ähnlich sieht die nächste Rechenregel aus.

\ln \frac{\textcolor{red}{x}}{\textcolor{blue}{y}} = \ln \textcolor{red}{x} - \ln \textcolor{blue}{y}

Hier kannst du einen Bruch zu einer Differenz umformen.

  • \ln \frac{\textcolor{red}{5}}{\textcolor{blue}{3}} = \ln \textcolor{red}{5} - \ln \textcolor{blue}{3} \approx 0,51
  • \ln \frac{\textcolor{red}{1}}{\textcolor{blue}{2}} = \ln \textcolor{red}{1} - \ln \textcolor{blue}{2} \approx -0,69

Alle ln Gesetze wirst du auch häufig wieder rückwärts anwenden, um damit den ln vereinfachen zu können. 

  • \ln \textcolor{red}{3} - \ln \textcolor{blue}{10} = \ln \frac{\textcolor{red}{3}}{\textcolor{blue}{10}} \approx -1,20

ln Regeln Potenz

Mit der nächsten Regel kannst du einen Exponenten vor den ln ziehen.

\ln \textcolor{red}{x}^{\textcolor{blue}{n}} = \textcolor{blue}{n} \cdot \ln \textcolor{red}{x}

An den Beispielen siehst du sehr schön was passiert.

  • \ln \textcolor{red}{3}^{\textcolor{blue}{2}} = \textcolor{blue}{2} \cdot \ln \textcolor{red}{3} \approx 2,20
  • \ln \textcolor{red}{2}^{\textcolor{blue}{5}} = \textcolor{blue}{5} \cdot \ln \textcolor{red}{2} \approx 3,47

Natürlich funktioniert das auch in diesem Fall wieder rückwärts. 

  • \textcolor{blue}{4} \cdot \ln \textcolor{red}{3} = \ln \textcolor{red}{3}^{\textcolor{blue}{4}} = \ln 81 \approx 4,39

ln Gesetze Wurzel

Mit der letzten der ln Rechenregeln kannst du Ausdrücke mit einer Wurzel vereinfachen.

\ln \sqrt[\textcolor{blue}{n}]{\textcolor{red}{x}} = \frac{1}{\textcolor{blue}{n}} \ln \textcolor{red}{x}

Auch dieses ln Gesetz kannst du mit den Beispielen nachvollziehen.

  • \ln \sqrt[\textcolor{blue}{2}]{\textcolor{red}{16}} = \frac{1}{\textcolor{blue}{2}} \ln \textcolor{red}{16} \approx 1,39
  • \ln \sqrt[\textcolor{blue}{3}]{\textcolor{red}{27}} = \frac{1}{\textcolor{blue}{3}} \ln \textcolor{red}{27} \approx -1,09

Du kannst mit dieser Regel auch den ln zusammenfassen.

  • \frac{1}{\textcolor{blue}{2}} \ln \textcolor{red}{9} = \ln \sqrt[\textcolor{blue}{2}]{\textcolor{red}{9}} = \ln 3 \approx 1,10

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