Wann darf ich einen ln-Ausdruck überhaupt umformen, ohne den Definitionsbereich zu verletzen?

Einen ln-Ausdruck darfst du nur dann umformen, wenn alle entstehenden ln-Argumente weiterhin positiv sind, denn ist nur für definiert. Bei Produkten und Brüchen müssen deshalb alle Faktoren im Argument so eingeschränkt werden, dass das gesamte Argument bleibt.

Welche Fehler passieren oft, wenn ich ln-Regeln rückwärts anwende?

Häufige Fehler beim rückwärts Anwenden sind: Terme ohne ln werden fälschlich „hineingezogen“ und Vorzeichen werden beim Zusammenfassen vertauscht. Beispiel: Aus wird korrekt , aber aus darf nie werden, weil kein Logarithmus ist.

Wie vereinfache ich ln von einem Bruch mit mehreren Faktoren oben und unten?

von einem Bruch mit mehreren Faktoren vereinfachst du, indem du zuerst den Bruch in „Zähler minus Nenner“ zerlegst und dann Produkte in Summen aufteilst: . Voraussetzung ist, dass gelten.

Wie gehe ich mit ln von einer negativen Zahl in Aufgaben um?

von einer negativen Zahl ist im Reellen nicht definiert, daher musst du in reellen Aufgaben das Argument so einschränken oder umformen, dass es positiv wird. Beispiel: ist nur für erlaubt, also für ; für hat der Ausdruck keinen reellen Wert.

Warum kann ich ln von einer Summe nicht in zwei ln aufteilen?

lässt sich nicht zu aufteilen, weil der Logarithmus nur Produkte in Summen verwandelt, nicht Summen. Beispiel: , aber , und das ist nicht gleich ; deshalb ist die „Summenregel“ falsch.

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ln Regeln

Wichtige Inhalte in diesem Video

ln Regeln einfach erklärt

Hier erfährst du, welche Rechenregeln es für den natürlichen Logarithmus gibt und wie du mit den ln Regeln rechnen kannst. In unserem Video erklären wir es dir anschaulich. Schau es dir gleich an!

Inhaltsübersicht

ln Regeln einfach erklärt

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(00:11)

Für den natürlichen Logarithmus gibt es einige Rechenregeln, mit denen du den ln umformen kannst.

Erinnerung: Der Logarithmus zur Basis e ist der ln: log_e x =ln x.

ln Regeln

$\begin{align*}\ln (\textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{y}) &= \ln \textcolor{red}{x} + \ln \textcolor{blue}{y}\\ \ln (\frac{\textcolor{red}{x}}{\textcolor{blue}{y}}) &= \ln \textcolor{red}{x} - \ln \textcolor{blue}{y}\\ \ln \textcolor{red}{x}^{\textcolor{blue}{n}} &= \textcolor{blue}{n} \cdot \ln \textcolor{red}{x}\\ \ln \sqrt[\textcolor{blue}{n}]{\textcolor{red}{x}} &= \frac{1}{\textcolor{blue}{n}} \ln \textcolor{red}{x}\end{align*}$

Hier hast du ein gutes Beispiel, wie du die ln Gesetze anwendest:

ln (8 · 2)

Wie kannst du das vereinfachen? Dafür brauchst du nur die erste ln Regel:

ln 8 · 2 = ln 8 + ln 2

ln Rechenregeln

Schau dir doch die einzelnen ln Rechenregeln nochmal durch und rechne einige Beispiele dazu. Übrigens funktionieren die ln Gesetze genau wie die Logarithmus Regeln .

Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich

ln Regeln Produkt 2

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(00:32)

Mit dieser Regel kannst du ein Produkt zu einer Addition umschreiben.

ln(a · b)=ln a + ln b

Am besten schaust du dir dafür gleich mal einige Beispiele an.

ln (5 · 3) = ln 5 + ln 3
ln (2 · 4) = ln 2 + ln 4

Du kannst diese Regel auch rückwärts verwenden und so den ln zusammenfassen.

ln 3 + ln 10 = ln (3 · 10)

Achtung: ln(a+b) kannst du nicht vereinfachen!

ln Regeln Division

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(01:25)

Ganz ähnlich sieht die nächste Rechenregel aus.

$\ln \left(\cfrac{\textcolor{red}{x}}{\textcolor{blue}{y}} \right)= \ln \textcolor{red}{x} - \ln \textcolor{blue}{y}$

Hier kannst du einen Bruch zu einer Differenz umformen.

$\ln \left(\cfrac{\textcolor{red}{5}}{\textcolor{blue}{3}}\right) = \ln \textcolor{red}{5} - \ln \textcolor{blue}{3}$
$\ln \left(\cfrac{\textcolor{red}{1}}{\textcolor{blue}{2}}\right) = \ln \textcolor{red}{1} - \ln \textcolor{blue}{2}$

Alle ln Rechengesetze wirst du auch häufig wieder rückwärts anwenden, um damit den ln vereinfachen zu können.

$\ln \textcolor{red}{3} - \ln \textcolor{blue}{10} = \ln \left(\cfrac{\textcolor{red}{3}}{\textcolor{blue}{10}}\right)$

ln Regeln Potenz

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(02:16)

Mit der nächsten ln Mathe Regel kannst du einen Exponenten vor den ln ziehen.

ln xⁿ= n · ln x

An den Beispielen siehst du sehr schön, was passiert.

ln 3²= 2 · ln 3
ln 2⁵= 5 · ln 2

Natürlich funktioniert das auch in diesem Fall wieder rückwärts.

4 · ln 3 = ln 3⁴

ln Gesetze Wurzel

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(03:02)

Mit der letzten der ln Funktion Regeln kannst du Ausdrücke mit einer Wurzel vereinfachen.

$\ln \sqrt[\textcolor{blue}{n}]{\textcolor{red}{x}} = \frac{1}{\textcolor{blue}{n}} \ln \textcolor{red}{x}$

Auch dieses ln Gesetz kannst du mit den Beispielen nachvollziehen.

$\ln \sqrt[\textcolor{blue}{2}]{\textcolor{red}{16}} = \cfrac{1}{\textcolor{blue}{2}} \ln \textcolor{red}{16}$
$\ln \sqrt[\textcolor{blue}{3}]{\textcolor{red}{27}} = \cfrac{1}{\textcolor{blue}{3}} \ln \textcolor{red}{27}$

Du kannst mit dieser Regel auch den ln zusammenfassen.

$\cfrac{1}{\textcolor{blue}{2}} \ln \textcolor{red}{9} = \ln \sqrt[\textcolor{blue}{2}]{\textcolor{red}{9}} = \ln 3$

ln Regeln — häufigste Fragen

(ausklappen)

Wann darf ich einen ln-Ausdruck überhaupt umformen, ohne den Definitionsbereich zu verletzen?

Einen ln-Ausdruck darfst du nur dann umformen, wenn alle entstehenden ln-Argumente weiterhin positiv sind, denn $\ln(x)$ ist nur für definiert. Bei Produkten und Brüchen müssen deshalb alle Faktoren im Argument so eingeschränkt werden, dass das gesamte Argument bleibt.
Welche Fehler passieren oft, wenn ich ln-Regeln rückwärts anwende?

Häufige Fehler beim rückwärts Anwenden sind: Terme ohne ln werden fälschlich „hineingezogen“ und Vorzeichen werden beim Zusammenfassen vertauscht. Beispiel: Aus $\ln 3 - \ln 10$ wird korrekt $\ln\left(\frac{3}{10}\right)$ , aber aus $\ln 3 + 10$ darf nie $\ln(30)$ werden, weil kein Logarithmus ist.
Wie vereinfache ich ln von einem Bruch mit mehreren Faktoren oben und unten?

$\ln$ von einem Bruch mit mehreren Faktoren vereinfachst du, indem du zuerst den Bruch in „Zähler minus Nenner“ zerlegst und dann Produkte in Summen aufteilst: $\ln\left(\frac{A\cdot B}{C\cdot D}\right)=\ln A+\ln B-\ln C-\ln D$ . Voraussetzung ist, dass gelten.
Wie gehe ich mit ln von einer negativen Zahl in Aufgaben um?

$\ln$ von einer negativen Zahl ist im Reellen nicht definiert, daher musst du in reellen Aufgaben das Argument so einschränken oder umformen, dass es positiv wird. Beispiel: $\ln(-x)$ ist nur für erlaubt, also für ; für hat der Ausdruck keinen reellen Wert.
Warum kann ich ln von einer Summe nicht in zwei ln aufteilen?

$\ln(a+b)$ lässt sich nicht zu $\ln a+\ln b$ aufteilen, weil der Logarithmus nur Produkte in Summen verwandelt, nicht Summen. Beispiel: $\ln(1+1)=\ln 2$ , aber $\ln 1+\ln 1=0+0=0$ , und das ist nicht gleich $\ln 2$ ; deshalb ist die „Summenregel“ falsch.

Natürlicher Logarithmus

Alle Regeln, die wir dir hier vorgestellt haben, gelten für den natürlichen Logarithmus ln. Du willst mehr über dieses Thema erfahren? Dann schau dir gleich unser Video zum natürlichen Logarithmus an!