Analysis

Logarithmusfunktion

In diesem Artikel erfährst du alles Wichtige zur Logarithmusfunktion. Dabei stellen wir dir ihre Eigenschaften und Rechenregeln vor und rechnen viele Beispiele. Am Ende gehen wir noch kurz auf ihren Bezug zur ln Funktion ein.  

Du hast keine Lust einen Text zu lesen, aber du sollst alles über die Logarithmusfunktion wissen? Dann schau dir unser Video  an.

Inhaltsübersicht

Logarithmusfunktion einfach erklärt

Die Logarithmusfunktion 

f(x)=\log_b(x)

wird ausgesprochen als Logarithmus von x zur Basis b und beantwortet die Frage:

Merke

Mit welcher Zahl muss ich b potenzieren damit mein Ergebnis x lautet?

Das heißt ihr Funktionswert y=\log_b(x) löst bei gegebenem b und x die Gleichung: 

b^y=x.

Die log Funktion ist nur für positive Basen b und positive x-Werte definiert. 

Logarithmusfunktion
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Logarithmusfunktionen

Eigenschaften

Nun zeigen wir dir die wichtigsten Eigenschaften einer logarithmischen Funktion.

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Umkehrfunktion

Da der Funktionswert der Logarithmusfunktion die eben beschriebene Gleichung löst, ist ihre Umkehrfunktion die Exponentialfunktion

f^{-1}(x)=b^x

Merke

Denn für die Exponentialfunktion und die Logarithmusfunktion gilt:

b^{\log_b(x)}=x=\log_b(b^x).

logarithmusfunktion Umkehrfunktion
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Bsp. Umkehrfunktion

 

Die Logarithmusfunktionen haben unabhängig von der Wahl der Basis noch weitere gemeinsame Eigenschaften. 

Monotonie

Eine logarithmische Funktion ist streng monoton. Falls die Basis b zwischen Null und eins liegt, also 0<b<1, ist die Logarithmusfunktion streng monoton fallend. Gilt b>1, so ist \log_b(x) streng monoton wachsend.

Merke
  • 0<b<1: f ist streng monoton fallend
  • b>1: f ist streng monoton steigend

Für b=1 ist die Funktion nicht definiert.

Zudem sind die Funktionen nicht beschränkt und nähern sich für x-Werte nahe der Null immer mehr der y-Achse an. Aus diesem Grund ist die y-Achse eine senkrechte Asymptote . Außerdem ist sie auch die einzige Asymptote, die auftritt. Es gilt:

0<b<1: \lim \limits_{x\rightarrow 0}\log_b(x)= \infty    und     \lim \limits_{x\rightarrow \infty}\log_b(x)= -\infty

b>1: \lim \limits_{x\rightarrow 0}\log_b(x)=- \infty    und     \lim \limits_{x\rightarrow \infty}\log_b(x) =\infty

Definitionsbereich und Wertebereich

Wie bereits erwähnt, ist die Funktion nur für positive x-Werte definiert. Ihr Definitionsbereich entspricht deshalb nur den positiven reellen Zahlen:

\mathbb{D}=\mathbb{R}^+. 

Dahingegen entspricht der Wertebereich der Funktion den gesamten reellen Zahlen: 

\mathbb{W}=\mathbb{R}.

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Da sich die Funktionen der y-Achse nur annähern, aber sie nie berühren, gibt es keinen Schnittpunkt mit ihr. Allerdings existiert ein Schnittpunkt mit der x-Achse, und zwar bei

P(1,0).

Alle Logarithmusfunktionen verlaufen durch diesen Punkt, da unabhängig von b, immer b^0=1 gilt. Darüber hinaus stellt x=1 die einzige Nullstelle von \log_b(x) dar. 

Rechenregeln 

Als nächstes sehen wir uns die Rechenregeln an, welche für jede Logarithmusfunktion gelten. 

Logarithmus-Gesetze

\log_b(x \cdot y)= \log_b(x)+\log_b(y)

\log_b(\frac{x}{y})=\log_b(x)-\log_b(y)

\log_b(x^y)=y\cdot \log_b(x)

Beispiele zur Logarithmusfunktion

So viel zur Theorie. Lass uns nun ein paar Beispiele rechnen. 

Beispiel 1

Bestimme den Funktionswert von f(x)=\log_2(x) an der Stelle x=16.

Das heißt du sollst y=\log_2(16) berechnen. Dafür bestimmst du die Lösung der Gleichung 

2^y=16.

Zwei hoch wie viel ergibt 16? Die Lösung lautet 4=y=\log_2(16). Denn 2^4=2\cdot 2\cdot 2 \cdot 2=16.

Beispiel 2

Gegeben ist die Gleichung

\log_3(x)=3. 

Finde den passenden x-Wert. Wie du weißt, gilt für die Logarithmusfunktion 

b^y=x.

In diesem Fall bedeutet das 

3^3=x.

Dein Ergebnis lautet also x=27.

Beispiel 3

Löse die Gleichung 

\log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{4}\cdot x)= 5.

Hier kann dir ein Logarithmus-Gesetz weiterhelfen, nämlich

\log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{4}\cdot x)=\log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{4})+\log_{\frac{1}{2}}(x).

Damit ergibt sich die Gleichung 

\log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{4})+\log_{\frac{1}{2}}(x)= 5.

Den Funktionswert der ersten log Funktion kannst du einfach bestimmen. Er lautet

\log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{4})=2.

In die Gleichung eingesetzt, erhältst du

2+\log_{\frac{1}{2}}(x)= 5.

Nun bringst du die zwei auf die andere Seite: 

\log_{\frac{1}{2}}(x)=3.

Schließlich lautet damit die Lösung der Gleichung 

x=\frac{1}{8},

da \left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8} ergibt.

Natürliche Logarithmusfunktion

Eine spezielle Logarithmus Funktion, die sehr häufig verwendet wird, ist die natürliche Logarithmusfunktion (ln Funktion ): 

\ln(x)=\log_e(x).

Sie beschreibt die Logarithmusfunktion zur Basis e. Dabei ist e die sogenannte Eulersche Zahl e=2,71828...

Tatsächlich kannst du jede beliebige Logarithmusfunktion auf die ln Funktion zurückführen, indem du sie folgendermaßen umschreibst: 

\log_b(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(b)}.

Aus dieser Eigenschaft ergeben sich auch die Ableitung und die Stammfunktion der Logarithmusfunktion. 

Logarithmusfunktion ableiten

Da du die log Funktion auf die ln Funktion zurückführen kannst, musst du für ihre Ableitung lediglich den ln ableiten  können. 

Es gilt somit: 

f(x)= \log_b(x)=\frac{1}{\ln(b)} \cdot \ln(x) \quad \to \quad f'(x)=\frac{1}{\ln(b)} \cdot \frac{1}{x}=\frac{1}{\ln(b)\cdot x}.

Logarithmusfunktion integrieren 

Auch hier greifst du auf die Stammfunktion  der ln Funktion zurück und erhältst so:

F(x)= \frac{1}{\ln(b)} \int \frac{1}{x} = \frac{x \cdot \ln(x)-x}{\ln(b)} +C.

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