Logarithmusfunktion

Logarithmusfunktion einfach erklärt

Die Logarithmusfunktion 

wird ausgesprochen als Logarithmus von x zur Basis b und beantwortet die Frage:

Mit welcher Zahl muss ich b potenzieren damit mein Ergebnis x lautet?

Das heißt ihr Funktionswert löst bei gegebenem und die Gleichung: 

Die log Funktion ist nur für positive Basen und positive x-Werte definiert. 

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Eigenschaften

Nun zeigen wir dir die wichtigsten Eigenschaften einer logarithmischen Funktion.

Umkehrfunktion

Da der Funktionswert der Logarithmusfunktion die eben beschriebene Gleichung löst, ist ihre Umkehrfunktion die Exponentialfunktion

.

Denn für die Exponentialfunktion und die Logarithmusfunktion gilt:

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Zum Beispiel ist die Exponentialfunktion f(x) = 3^x ein Spiegelbild der Logarithmusfunktion f(x) = log₃ (x).

Die Logarithmusfunktionen haben unabhängig von der Wahl der Basis noch weitere gemeinsame Eigenschaften. 

Monotonie

Eine logarithmische Funktion ist streng monoton. Falls die Basis b zwischen Null und eins liegt, also ist die Logarithmusfunktion streng monoton fallend. Gilt so ist streng monoton wachsend.

Zudem sind die Funktionen nicht beschränkt und nähern sich für x-Werte nahe der Null immer mehr der y-Achse an. Aus diesem Grund ist die y-Achse eine senkrechte Asymptote . Außerdem ist sie auch die einzige Asymptote, die auftritt. Es gilt:

0<b<1:    und    

b>1:    und    

Definitionsbereich und Wertebereich

Wie bereits erwähnt, ist die Funktion nur für positive x-Werte definiert. Ihr Definitionsbereich entspricht deshalb nur den positiven reellen Zahlen:

Dahingegen entspricht der Wertebereich der Funktion den gesamten reellen Zahlen: 

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Da sich die Funktionen der y-Achse nur annähern, aber sie nie berühren, gibt es keinen Schnittpunkt mit ihr. Allerdings existiert ein Schnittpunkt mit der x-Achse, und zwar bei

Alle Logarithmusfunktionen verlaufen durch diesen Punkt, da unabhängig von b, immer gilt. Darüber hinaus stellt die einzige Nullstelle von dar. 

Rechenregeln 

Als nächstes sehen wir uns die wichtigsten Rechenregeln der logarithmischen Funktion an:

Beispiele zur Logarithmusfunktion

So viel zur Theorie. Lass uns nun ein paar Beispiele rechnen. 

Beispiel 1

Bestimme den Funktionswert von an der Stelle

Das heißt du sollst berechnen. Dafür bestimmst du die Lösung der Gleichung 

Zwei hoch wie viel ergibt 16? Die Lösung lautet . Denn .

Beispiel 2

Gegeben ist die Gleichung

Finde den passenden x-Wert. Wie du weißt, gilt für die Logarithmusfunktion 

In diesem Fall bedeutet das 

Dein Ergebnis lautet also

Beispiel 3

Löse die Gleichung 

Hier kann dir ein Logarithmus-Gesetz weiterhelfen, nämlich

Damit ergibt sich die Gleichung 

Den Funktionswert der ersten log Funktion kannst du einfach bestimmen. Er lautet

In die Gleichung eingesetzt, erhältst du

Nun bringst du die zwei auf die andere Seite: 

Schließlich lautet damit die Lösung der Gleichung 

da ergibt.

Natürliche Logarithmusfunktion

Eine spezielle Logarithmus Funktion, die sehr häufig verwendet wird, ist die natürliche Logarithmusfunktion (ln Funktion ): 

Sie beschreibt die Logarithmusfunktion zur Basis e. Dabei ist e die sogenannte Eulersche Zahl

Tatsächlich kannst du jede beliebige Logarithmusfunktion auf die ln Funktion zurückführen, indem du sie folgendermaßen umschreibst: 

Aus dieser Eigenschaft ergeben sich auch die Ableitung und die Stammfunktion der log Funktion. 

Logarithmusfunktion ableiten

Da du die log Funktion auf die ln Funktion zurückführen kannst, musst du für ihre Ableitung lediglich den ln ableiten  können. 

Es gilt somit: 

Logarithmusfunktion integrieren 

Auch hier greifst du auf die Stammfunktion  der ln Funktion zurück und erhältst so: