In diesem Artikel erfährst du alles Wichtige zur Logarithmusfunktion. Dabei stellen wir dir ihre Eigenschaften und Rechenregeln vor und rechnen viele Beispiele. Am Ende gehen wir noch kurz auf ihren Bezug zur ln Funktion ein.
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Die Logarithmusfunktion
wird ausgesprochen als Logarithmus von x zur Basis b und beantwortet die Frage:
Mit welcher Zahl muss ich b potenzieren damit mein Ergebnis x lautet?
Das heißt ihr Funktionswert löst bei gegebenem
und
die Gleichung:
Die log Funktion ist nur für positive Basen und positive x-Werte definiert.
Da der Funktionswert der Logarithmusfunktion die eben beschriebene Gleichung löst, ist ihre Umkehrfunktion die Exponentialfunktion
.
Denn für die Exponentialfunktion und die Logarithmusfunktion gilt:
Zum Beispiel ist die Exponentialfunktion f(x) = 3x ein Spiegelbild der Logarithmusfunktion f(x) = log3 (x).
Die Logarithmusfunktion y = logb (x) ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion y = bx. Deshalb sind die Graphen Spiegelbilder an der Geraden y = x. Du bezeichnest die Umkehrfunktion mit f-1.
Die Logarithmusfunktionen haben unabhängig von der Wahl der Basis noch weitere gemeinsame Eigenschaften.
Eine logarithmische Funktion ist streng monoton. Falls die Basis b zwischen Null und eins liegt, also ist die Logarithmusfunktion streng monoton fallend. Gilt
so ist
streng monoton wachsend.
Für b=1 ist die Funktion nicht definiert.
Zudem sind die Funktionen nicht beschränkt und nähern sich für x-Werte nahe der Null immer mehr der y-Achse an. Aus diesem Grund ist die y-Achse eine senkrechte Asymptote . Außerdem ist sie auch die einzige Asymptote, die auftritt. Es gilt:
0<b<1: und
b>1: und
Wie bereits erwähnt, ist die Funktion nur für positive x-Werte definiert. Ihr Definitionsbereich entspricht deshalb nur den positiven reellen Zahlen:
Dahingegen entspricht der Wertebereich der Funktion den gesamten reellen Zahlen:
Da sich die Funktionen der y-Achse nur annähern, aber sie nie berühren, gibt es keinen Schnittpunkt mit ihr. Allerdings existiert ein Schnittpunkt mit der x-Achse, und zwar bei
Alle Logarithmusfunktionen verlaufen durch diesen Punkt, da unabhängig von b, immer gilt. Darüber hinaus stellt
die einzige Nullstelle
von
dar.
Als nächstes sehen wir uns die wichtigsten Rechenregeln der logarithmischen Funktion an:
So viel zur Theorie. Lass uns nun ein paar Beispiele rechnen.
Beispiel 1
Bestimme den Funktionswert von an der Stelle
Das heißt du sollst berechnen. Dafür bestimmst du die Lösung der Gleichung
Zwei hoch wie viel ergibt 16? Die Lösung lautet . Denn
.
Beispiel 2
Gegeben ist die Gleichung
Finde den passenden x-Wert. Wie du weißt, gilt für die Logarithmusfunktion
In diesem Fall bedeutet das
Dein Ergebnis lautet also
Beispiel 3
Löse die Gleichung
Hier kann dir ein Logarithmus-Gesetz weiterhelfen, nämlich
Damit ergibt sich die Gleichung
Den Funktionswert der ersten log Funktion kannst du einfach bestimmen. Er lautet
In die Gleichung eingesetzt, erhältst du
Nun bringst du die zwei auf die andere Seite:
Schließlich lautet damit die Lösung der Gleichung
da ergibt.
Eine spezielle Logarithmus Funktion, die sehr häufig verwendet wird, ist die natürliche Logarithmusfunktion (ln Funktion ):
Sie beschreibt die Logarithmusfunktion zur Basis e. Dabei ist e die sogenannte Eulersche Zahl
Tatsächlich kannst du jede beliebige Logarithmusfunktion auf die ln Funktion zurückführen, indem du sie folgendermaßen umschreibst:
Aus dieser Eigenschaft ergeben sich auch die Ableitung und die Stammfunktion der log Funktion.
Da du die log Funktion auf die ln Funktion zurückführen kannst, musst du für ihre Ableitung lediglich den ln ableiten können.
Es gilt somit:
Auch hier greifst du auf die Stammfunktion der ln Funktion zurück und erhältst so:
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