Logarithmusfunktion
In diesem Artikel erfährst du alles Wichtige zur Logarithmusfunktion. Dabei stellen wir dir ihre Eigenschaften und Rechenregeln vor und rechnen viele Beispiele. Am Ende gehen wir noch kurz auf ihren Bezug zur ln Funktion ein.
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Logarithmusfunktion einfach erklärt
Die Logarithmusfunktion
wird ausgesprochen als Logarithmus von x zur Basis b und beantwortet die Frage:
Mit welcher Zahl muss ich b potenzieren damit mein Ergebnis x lautet?
Das heißt ihr Funktionswert 
löst bei gegebenem 
und 
die Gleichung:
Die log Funktion ist nur für positive Basen und positive x-Werte definiert.
Eigenschaften
Nun zeigen wir dir die wichtigsten Eigenschaften einer logarithmischen Funktion.
Umkehrfunktion
Da der Funktionswert der Logarithmusfunktion die eben beschriebene Gleichung löst, ist ihre Umkehrfunktion
die Exponentialfunktion
.
Denn für die Exponentialfunktion und die Logarithmusfunktion gilt:
Die Logarithmusfunktionen haben unabhängig von der Wahl der Basis noch weitere gemeinsame Eigenschaften.
Monotonie
Eine logarithmische Funktion ist streng monoton. Falls die Basis b zwischen Null und eins liegt, also 
ist die Logarithmusfunktion streng monoton fallend. Gilt 
so ist 
streng monoton wachsend.
-
: f ist streng monoton fallend -
: f ist streng monoton steigend
Für b=1 ist die Funktion nicht definiert.
Zudem sind die Funktionen nicht beschränkt und nähern sich für x-Werte nahe der Null immer mehr der y-Achse an. Aus diesem Grund ist die y-Achse eine senkrechte Asymptote . Außerdem ist sie auch die einzige Asymptote, die auftritt. Es gilt:
0<b<1: 
und 
b>1: 
und 
Definitionsbereich und Wertebereich
Wie bereits erwähnt, ist die Funktion nur für positive x-Werte definiert. Ihr Definitionsbereich entspricht deshalb nur den positiven reellen Zahlen:
Dahingegen entspricht der Wertebereich der Funktion den gesamten reellen Zahlen:
Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Da sich die Funktionen der y-Achse nur annähern, aber sie nie berühren, gibt es keinen Schnittpunkt mit ihr. Allerdings existiert ein Schnittpunkt mit der x-Achse, und zwar bei
Alle Logarithmusfunktionen verlaufen durch diesen Punkt, da unabhängig von b, immer 
gilt. Darüber hinaus stellt 
die einzige Nullstelle von dar.
Rechenregeln
Als nächstes sehen wir uns die Rechenregeln an, welche für jede Logarithmusfunktion gelten.
Beispiele zur Logarithmusfunktion
So viel zur Theorie. Lass uns nun ein paar Beispiele rechnen.
Beispiel 1
Bestimme den Funktionswert von 
an der Stelle 
Das heißt du sollst 
berechnen. Dafür bestimmst du die Lösung der Gleichung
Zwei hoch wie viel ergibt 16? Die Lösung lautet 
. Denn 
.
Beispiel 2
Gegeben ist die Gleichung
Finde den passenden x-Wert. Wie du weißt, gilt für die Logarithmusfunktion
In diesem Fall bedeutet das
Dein Ergebnis lautet also 
Beispiel 3
Löse die Gleichung
Hier kann dir ein Logarithmus-Gesetz weiterhelfen, nämlich
Damit ergibt sich die Gleichung
Den Funktionswert der ersten log Funktion kannst du einfach bestimmen. Er lautet
In die Gleichung eingesetzt, erhältst du
Nun bringst du die zwei auf die andere Seite:
Schließlich lautet damit die Lösung der Gleichung
da 
ergibt.
Natürliche Logarithmusfunktion
Eine spezielle Logarithmus Funktion, die sehr häufig verwendet wird, ist die natürliche Logarithmusfunktion (ln Funktion):
Sie beschreibt die Logarithmusfunktion zur Basis e. Dabei ist e die sogenannte Eulersche Zahl 
Tatsächlich kannst du jede beliebige Logarithmusfunktion auf die ln Funktion zurückführen, indem du sie folgendermaßen umschreibst:
Aus dieser Eigenschaft ergeben sich auch die Ableitung und die Stammfunktion der Logarithmusfunktion.
Logarithmusfunktion ableiten
Da du die log Funktion auf die ln Funktion zurückführen kannst, musst du für ihre Ableitung lediglich den ln ableiten können.
Es gilt somit:
Logarithmusfunktion integrieren
Auch hier greifst du auf die Stammfunktion der ln Funktion zurück und erhältst so:
