Wie rechne ich einen Logarithmus mit einer anderen Basis um?

Einen Logarithmus mit anderer Basis rechnest du mit der Basiswechsel-Formel um: für eine frei gewählte Basis mit . Praktisch nimmt man oft oder , weil diese Tasten am Rechner vorhanden sind.

Welche Fehler passieren oft beim Umformen mit Logarithmus-Regeln?

Häufige Fehler beim Umformen mit Logarithmus-Regeln sind falsches „Verteilen“ und vergessene Klammern. Zum Beispiel ist , richtig ist nur . Ein weiterer Fehler ist ohne zu prüfen, ob gilt.

Wann muss ich beim Logarithmus die Definitionsmenge extra prüfen?

Die Definitionsmenge musst du beim Logarithmus immer extra prüfen, sobald eine Variable im Logarithmus-Argument oder in der Basis steht. Es muss gelten und für die Basis zusätzlich und . Beispiel: Bei ist nur erlaubt, sonst ist der Ausdruck nicht definiert.

Wie löse ich eine Gleichung mit Logarithmen auf beiden Seiten?

Eine Gleichung mit Logarithmen auf beiden Seiten löst man, indem man zuerst die Logarithmen auf dieselbe Basis bringt und dann die Argumente gleichsetzt, falls die Logarithmen gleich sind. Beispiel: Aus folgt . Danach immer prüfen, ob alle Logarithmus-Argumente positiv sind.

Warum ist ln in Mathe und Naturwissenschaften so wichtig?

Der natürliche Logarithmus ist in Mathe und Naturwissenschaften wichtig, weil er zur Basis gehört und damit eng mit Exponentialfunktionen verknüpft ist. Viele Wachstums- und Zerfallsprozesse werden mit modelliert, und ist die passende Umkehrfunktion, um Exponenten aus solchen Modellen zu bestimmen.

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Logarithmus

Wichtige Inhalte in diesem Video

Logarithmus Beispiele

(01:30)

Besonderheiten

(02:12)

Besondere Logarithmen

(02:55)

In diesem Artikel erfährst du, was ein Logarithmus ist und wann du den Logarithmus anwenden kannst. Du willst dich beim Lernen lieber zurücklehnen? Dann schau dir unser Video an!

Inhaltsübersicht

Logarithmus einfach erklärt

Wie oft musst du die 2 mit sich selbst mal nehmen, damit 8 rauskommt? Dabei hilft dir der Logarithmus.

2^? = 8

Du schreibst den Logarithmus dabei so:

log₂8 = ?

Der Log berechnet dir, dass du die 2 dreimal mit sich selbst multiplizieren musst, damit 8 rauskommt:

log₂ 8 = 3

Und das stimmt auch wie du hier siehst:

2³ = 2 · 2 · 2 = 8

Die 2 ist die Zahl, die mit sich selbst mal genommen wird. Du schreibst sie unten an den log und nennst sie deswegen auch Basis. 8 ist die Zahl, die am Ende rauskommen soll. Allgemein gilt also:

Logarithmus log

b hoch wie viel ergibt a (b^x = a)? Die Lösung x findest du mit dem Logarithmus von a zur Basis b.

x = log_b a mit a, b > 0 und b ≠ 1.

Das Ergebnis x ist also gerade die Zahl, die du in den Exponenten von b schreiben musst, um genau a zu erhalten.

Hinweis: Dein Taschenrechner hat eine Taste für den log, bei der du die Basis unten und den Wert daneben eintragen kannst.

Logarithmus Beispiele

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(01:30)

Du hast schon gesehen, dass dir Logarithmen beim Lösen von Gleichungen hilft. Dabei steht die gesuchte Zahl x immer im Exponenten.

Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich

3^x = 27

3 hoch welche Zahl ergibt 27? Die Antwort liefert dir der log.

x = log₃ 27

Die Zahl 3 ist die Lösung, da

3³ = 3 · 3 · 3 = 27

10^x = 100

Auch hier musst du logarithmieren.

x = log₁₀ 100

Die Zahl 2 ist die Lösung, da

10² = 10 · 10 = 100

2^x = 32

Das x berechnest du mit dem Logarithmus.

x = log₂ 32

Die Zahl 5 ist die Lösung, da

2⁵ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32

Besonderheiten

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(02:12)

Es gibt ein paar auffällige Stellen und Einschränkungen bei Logarithmen, die du dir merken kannst.

a, b > 0

Die Basis b muss eine positive Zahl sein, genauso wie der sogenannte Numerus a. Du darfst also nur positive Zahlen als Argument in den Logarithmus einsetzen. Für negative Zahlen ist der Logarithmus nämlich nicht definiert.

log₁₀ -10 = nicht definiert, sonst wäre 10^x = -10

Außerdem ist die Basis Eins ausgeschlossen, es gilt also b ≠ 1.

log(0)

Der Logarithmus von Null ist nicht definiert, ganz unabhängig davon, welche Basis du betrachtest.

log 0 = nicht definiert, sonst wäre b^x = 0

Eigentlich ist das ganz logisch, denn b als positive Zahl ergibt mit sich selbst multipliziert immer eine weitere positive Zahl und niemals Null.

log 1

Anders sieht es für den Logarithmus von 1 aus. Dieser ist nämlich immer Null, ganz unabhängig von der Basis.

log 1 = 0

Das lässt sich mit den Potenzgesetzen erklären, denn für jede Zahl ist x⁰ = 1.

Besondere Logarithmen

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(02:55)

Bisher hast du den allgemeinen Logarithmus $\log_b a$ betrachtet. Es gibt aber ein paar besondere Logarithmen, die bestimmte Zahlen als Basis b haben und sich auch in der Schreibweise unterscheiden.

Natürlicher Logarithmus

Die Abkürzung ln steht für den natürlichen Logarithmus . Er hat als Basis die Eulersche Zahl e und du kannst ihn immer dann nutzen, wenn du nach einem Exponenten zu e suchst.

e^x = a

x = ln a = log_e a

Ansonsten gelten genau die gleichen Regeln wie auch beim allgemeinen Logarithmus. Du darfst also auch nur positive Zahlen in den ln einsetzen und kannst Gleichungen mit den ln Regeln umformen.

Den natürlichen Logarithmus erklären wir dir ausführlich in unserem extra Video!

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Binärer Logarithmus

Hat ein Logarithmus Basis 2, so findest du ihn auch unter dem Namen binärer Logarithmus.

2^x = a ⇒ x = log₂ a

Du verwendest ihn immer dann, wenn du den Exponenten x zu einer Basis 2 suchst.

Beispiel: 2^x = 64 ⇒ x = log₂ 64 = 6

So kannst du zum Beispiel berechnen, dass du die 2 sechsmal mit sich selbst multiplizieren musst, um 64 zu erhalten. Dafür verwendest du log zur Basis 2 auf deinem Taschenrechner.

Für diesen log Basis 2 gibt es verschiedene Schreibweisen. Die ausgeschriebene Variante, wo du die 2 in der Basis erkennen kannst, kommt ebenso häufig vor, wie die Abkürzungen lb oder ld.

log₂ x = lb x = ld x

Dekadischer Logarithmus

Hinter dem Begriff dekadischer Logarithmus verbirgt sich der Logarithmus zur Basis 10.

10^x = a ⇒ x = log₁₀ a

Dabei gibt es verschiedene Schreibweisen für den log 10. Manchmal wird die Basis einfach gar nicht mit aufgeschrieben oder der dekadische Logarithmus wird zu lg verkürzt.

log₁₀ x = log x = lg x

Wenn du also wissen möchtest, welche Zahl du in den Exponenten von 10 schreiben musst, um 1000 zu erhalten, dann kannst du das auf verschiedene Arten notieren.

Beispiel: 10^x = 1000

Deine Frage hast du so erstmal mathematisch notiert. Jetzt benutzt du den dekadischen Logarithmus. Als Lösung bekommst du den Logarithmuswert x.

x = log₁₀ 1000 = log 1000 = lg 1000 = 3

Logarithmus berechnen

Im Folgenden zeigen wir dir, welche Regeln du beim Rechnen mit dem log Mathe anwenden kannst und welche Besonderheiten es beim Berechnen gibt.

Regeln

Für Logarithmieren gibt es eine Reihe von Rechenregeln, die dir beim Rechnen weiterhelfen können.

$\log_b (\textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{y}) = \log_b \textcolor{red}{x} + \log_b \textcolor{blue}{y}$ Beispiel: $\log_2 (4 \cdot 8) = \log_2 4 + \log_2 8 = 2+3=5$

$\log_b (\frac{\textcolor{red}{x}}{\textcolor{blue}{y}}) = \log_b \textcolor{red}{x} - \log_b \textcolor{blue}{y}$ Beispiel: $\log_2 (\frac{4}{8}) = \log_2 4 - \log_2 8 = 2-3=-1$

$\log_b \textcolor{red}{x}^{\textcolor{blue}{n}}=\textcolor{blue}{n} \cdot \log_b \textcolor{red}{x}$ Beispiel: $\log_2 4^3 = 3 \cdot \log_4 = 3 \cdot 2 = 6$

$\log_b \sqrt[\textcolor{blue}{n}]{\textcolor{red}{x}} = \frac{1}{\textcolor{blue}{n}} \log_b \textcolor{red}{x}$ Beispiel: $\log_2 \sqrt[3]{16} = \frac{1}{3} \cdot \log_2 {16} = \frac{1}{3} \cdot 4 = \frac{4}{3}$

Wir erklären sie dir auch nochmal ausführlich und mit vielen Beispielen in einem extra Artikel zu den Logarithmus Regeln .

Logarithmus — häufigste Fragen

(ausklappen)

Wie rechne ich einen Logarithmus mit einer anderen Basis um?

Einen Logarithmus mit anderer Basis rechnest du mit der Basiswechsel-Formel um: $\log_b(a)=\frac{\log_c(a)}{\log_c(b)}$ für eine frei gewählte Basis mit $c\neq 1$ . Praktisch nimmt man oft oder , weil diese Tasten am Rechner vorhanden sind.
Welche Fehler passieren oft beim Umformen mit Logarithmus-Regeln?

Häufige Fehler beim Umformen mit Logarithmus-Regeln sind falsches „Verteilen“ und vergessene Klammern. Zum Beispiel ist $\log_b(x+y)\neq \log_b(x)+\log_b(y)$ , richtig ist nur $\log_b(x\cdot y)=\log_b(x)+\log_b(y)$ . Ein weiterer Fehler ist $\log_b(x^n)=n\log_b(x)$ ohne zu prüfen, ob gilt.
Wann muss ich beim Logarithmus die Definitionsmenge extra prüfen?

Die Definitionsmenge musst du beim Logarithmus immer extra prüfen, sobald eine Variable im Logarithmus-Argument oder in der Basis steht. Es muss gelten und für die Basis zusätzlich und $b\neq 1$ . Beispiel: Bei $\ln(x-2)$ ist nur erlaubt, sonst ist der Ausdruck nicht definiert.
Wie löse ich eine Gleichung mit Logarithmen auf beiden Seiten?

Eine Gleichung mit Logarithmen auf beiden Seiten löst man, indem man zuerst die Logarithmen auf dieselbe Basis bringt und dann die Argumente gleichsetzt, falls die Logarithmen gleich sind. Beispiel: Aus $\log_3(x)=\log_3(7)$ folgt . Danach immer prüfen, ob alle Logarithmus-Argumente positiv sind.
Warum ist ln in Mathe und Naturwissenschaften so wichtig?

Der natürliche Logarithmus $\ln$ ist in Mathe und Naturwissenschaften wichtig, weil er zur Basis gehört und damit eng mit Exponentialfunktionen verknüpft ist. Viele Wachstums- und Zerfallsprozesse werden mit modelliert, und $\ln$ ist die passende Umkehrfunktion, um Exponenten aus solchen Modellen zu bestimmen.

Logarithmus Regeln

Sehr gut! Die Berechnung des Logarithmus bereitet dir nun keine Probleme mehr. Damit du auch Gleichungen lösen kannst, in denen ein Logarithmus vorkommt, schau dir jetzt unbedingt unser Video zu den Logarithmus Regeln an!