Lineare Algebra

Logarithmus

In diesem Artikel erfährst du, was ein Logarithmus ist und wann du den Logarithmus anwenden kannst. Du willst dich beim Lernen lieber zurücklehnen? Dann schau dir unser Video%VERWEIS an!

Inhaltsübersicht

Logarithmus einfach erklärt

Wenn du eine Gleichung der Art \textcolor{blue}{b}^{\textcolor{red}{x}}=\textcolor{orange}{a} gegeben hast und dich fragst, welche Zahl du für x einsetzen musst, um a zu erhalten, dann hilft dir der Logarithmus weiter.

Logarithmus log

b hoch wie viel ergibt a ( \textcolor{blue}{b}^{\textcolor{red}{x}}=\textcolor{orange}{a})?  Die Lösung x findest du mit dem Logarithmus von a zur Basis b.

\textcolor{red}{x}=\log_{\textcolor{blue}{b}} \textcolor{orange}{a}               mit a, b > 0 und \textcolor{blue}{b}\neq 1.

Das Ergebnis x ist also gerade die Zahl, die du in den Exponenten von b nehmen musst, um genau a zu erhalten.

Beispiel: Bei der Gleichung \textcolor{blue}{2}^{\textcolor{red}{x}}=\textcolor{orange}{8} fragst du dich also: 2 hoch wie viel ergibt 8? Die Antwort liefert dir der Logarithmus

\textcolor{red}{x}=\log_{\textcolor{blue}{2}} \textcolor{orange}{8} = 3,  

denn es ist \textcolor{blue}{2}^{\textcolor{red}{3}}=\underbrace{2 \cdot 2 \cdot 2}_{\textcolor{red}{3}\text{ mal}}=\textcolor{orange}{8}. Damit hast du x gefunden.

Hinweis: Dein Taschenrechner hat eine Taste für den log, bei der du die Basis unten und den Wert daneben eintragen kannst.

Logarithmus Beispiele

Du hast schon gesehen, dass dir der Logarithmus beim Lösen von Gleichungen hilft. Dabei steht die gesuchte Zahl x immer im Exponenten

  • \textcolor{blue}{3}^{\textcolor{red}{x}}=\textcolor{orange}{27}

3 hoch welche Zahl ergibt 27? Die Antwort liefert dir der Logarithmus.

\textcolor{red}{x} = \log_{\textcolor{blue}{3}} \textcolor{orange}{27} = 3

Die Zahl 3 ist die Lösung, da \textcolor{blue}{3}^{\textcolor{red}{3}}= \underbrace{3 \cdot 3 \cdot 3}_{\textcolor{red}{3}\text{ mal}}=\textcolor{orange}{27}.

  • \textcolor{blue}{10}^{\textcolor{red}{x}} = \textcolor{orange}{100}

Auch hier brauchst du den Logarithmus.

\textcolor{red}{x} = \log_{\textcolor{blue}{10}} \textcolor{orange}{100} = 2

Die Zahl 2 ist die Lösung, da \textcolor{blue}{10}^{\textcolor{red}{2}} =\underbrace{10 \cdot 10}_{\textcolor{red}{2}\text{ mal}}= \textcolor{orange}{100}.

  • \textcolor{blue}{2}^{\textcolor{red}{x}}=\textcolor{orange}{32}

Das x berechnest du mit dem Logarithmus.

\textcolor{red}{x} = \log_{\textcolor{blue}{2}} \textcolor{orange}{32} = 5

Die Zahl 5 ist die Lösung, da \textcolor{blue}{2}^{\textcolor{red}{5}}=\underbrace{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}_{\textcolor{red}{5}\text{ mal}}=\textcolor{orange}{32}.

Logarithmus berechnen

Im Folgenden zeigen wir dir, welche Regeln du beim Rechnen mit dem Logarithmus anwenden kannst und welche Besonderheiten es beim Berechnen gibt.

Regeln

Für Logarithmen gibt es eine Reihe von Rechenregeln, die dir beim Rechnen weiterhelfen können.

\log_b (\textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{y}) = \log_b \textcolor{red}{x} + \log_b \textcolor{blue}{y}                    Beispiel:   \log_2 (4 \cdot 8) = \log_2 4 + \log_2 8 = 2+3=5

\log_b (\frac{\textcolor{red}{x}}{\textcolor{blue}{y}}) = \log_b \textcolor{red}{x} - \log_b \textcolor{blue}{y}                          Beispiel:   \log_2 (\frac{4}{8}) = \log_2 4 - \log_2 8 = 2-3=-1

\log_b \textcolor{red}{x}^{\textcolor{blue}{n}}=\textcolor{blue}{n} \cdot \log_b \textcolor{red}{x}                                       Beispiel:   \log_2 4^3 = 3 \cdot \log_4 = 3 \cdot 2 = 6

\log_b \sqrt[\textcolor{blue}{n}]{\textcolor{red}{x}} = \frac{1}{\textcolor{blue}{n}} \log_b \textcolor{red}{x}                                       Beispiel:   \log_2 \sqrt[3]{16} = \frac{1}{3} \cdot \log_2 {16} = \frac{1}{3} \cdot 4 = \frac{4}{3}

Wir erklären sie dir auch nochmal ausführlich und mit vielen Beispielen in einem extra Artikel zu den Logarithmus Regeln .

Besonderheiten

Es gibt ein paar auffällige Stellen und Einschränkungen beim Logarithmus, die du dir merken kannst. 

Logarithmus
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Begriffe im Logarithmus

a, b > 0 

Die Basis b muss eine positive Zahl sein, genauso wie der sogenannte Numerus a. Du darfst also nur positive Zahlen als Argument in den Logarithmus einsetzen. Für negative Zahlen ist der Logarithmus nämlich nicht definiert

\log_{10} (-10) = \text{nicht definiert}, sonst wäre 10^x=-10.

Außerdem ist die Basis Eins ausgeschlossen, es gilt also b \neq 1.

log(0)

Der Logarithmus ist für die Stelle Null nicht definiert, ganz unabhängig davon, welche Basis du betrachtest.

\log 0 = \text{nicht definiert}, sonst wäre b^x=0.

Eigentlich ist das ganz logisch, denn b als positive Zahl ergibt mit sich selbst multipliziert immer eine weitere positive Zahl und niemals Null. 

log 1

Anders sieht es für den Logarithmus von 1 aus. Dieser ist nämlich immer Null, ganz unabhängig von der Basis.

\log 1 = 0

Das lässt sich mit den Potenzgesetzen erklären, denn für jede Zahl x ist x^0=1.

Verschiedene Logarithmen

Bisher hast du den allgemeinen Logarithmus \log_b a betrachtet. Es gibt aber ein paar besondere Logarithmen, die bestimmte Zahlen als Basis b haben und sich auch in der Schreibweise unterscheiden.

Natürlicher Logarithmus

Die Abkürzung ln steht für den natürlichen Logarithmus . Er hat als Basis die Eulersche Zahl e und du kannst ihn immer dann nutzen, wenn du nach einem Exponenten zu e suchst.

\textcolor{blue}{e}^{\textcolor{red}{x}}=\textcolor{orange}{a}

\textcolor{red}{x}=\ln \textcolor{orange}{a}=\log_{\textcolor{blue}{e}} \textcolor{orange}{a}

Es gibt sogar eine ln Funktion , über die du mehr in unserem Video erfahren kannst.

Ansonsten gelten genau die gleichen Regeln wie auch beim allgemeinen Logarithmus. Du darfst also auch nur positive Zahlen in den ln einsetzen und kannst Gleichungen mit den ln Regeln umformen.

Binärer Logarithmus

Hat ein Logarithmus Basis 2, so findest du ihn auch unter dem Namen binärer Logarithmus.

\textcolor{blue}{2}^{\textcolor{red}{x}}=\textcolor{orange}{a} \longrightarrow \textcolor{red}{x}=\log_{\textcolor{blue}{2}} \textcolor{orange}{a}

Du verwendest ihn immer dann, wenn du den Exponenten x zu einer Basis 2 suchst. 

Beispiel: 2^x=64 \longrightarrow x=\log_2 64 = 6

So kannst du zum Beispiel berechnen, dass du die 2 sechsmal mit sich selbst multiplizieren musst, um 64 zu erhalten. Dafür verwendest du log zur Basis 2 auf deinem Taschenrechner. 

Für diesen log2 gibt es verschiedene Schreibweisen. Die ausgeschriebene Variante, wo du die 2 in der Basis erkennen kannst, kommt ebenso häufig vor, wie die Abkürzungen lb oder ld

\log_2 x = \text{lb} \ x = \text{ld} \ x

Dekadischer Logarithmus

Hinter dem Begriff dekadischer Logarithmus verbirgt sich der Logarithmus zur Basis 10

\textcolor{blue}{10}^{\textcolor{red}{x}}=\textcolor{orange}{a} \longrightarrow \textcolor{red}{x}=\log_{\textcolor{blue}{10}} \textcolor{orange}{a}

Dabei gibt es verschiedene Schreibweisen für den log 10. Manchmal wird die Basis einfach gar nicht mit aufgeschrieben oder der dekadische Logarithmus wird zu lg verkürzt. 

\log_{10} x = \log x = \lg x

Wenn du also wissen möchtest, welche Zahl du in den Exponenten von 10 schreiben musst, um 1000 zu erhalten, dann kannst du das auf verschiedene Arten notieren.

Beispiel:  10^x=1000

Deine Frage hast du so erstmal mathematisch notiert. Jetzt benutzt du den dekadischen Logarithmus. Als Lösung bekommst du den Logarithmuswert x.

x = \log_{10} 1000 = \log 1000 = \lg 1000 = 3

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