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Logarithmus
 – Video

In diesem Artikel erfährst du, was ein Logarithmus ist und wann du den Logarithmus anwenden kannst. Du willst dich beim Lernen lieber zurücklehnen? Dann schau dir unser Video an!

Logarithmus einfach erklärt

Wie oft musst du die 2 mit sich selbst mal nehmen, damit 8 rauskommt? Dabei hilft dir der Logarithmus.

2? = 8

Du schreibst den Logarithmus dabei so:

log28 = ?

Der Log berechnet dir, dass du die 2 dreimal mit sich selbst multiplizieren musst, damit 8 rauskommt:

log2 8 = 3

Und das stimmt auch wie du hier siehst:

23 = 2 · 2 · 2 = 8

Die ist die Zahl, die mit sich selbst mal genommen wird. Du schreibst sie unten an den log und nennst sie deswegen auch Basis. 8 ist die Zahl, die am Ende rauskommen soll.%Die beiden Sätze sind super! Allgemein gilt also:

Logarithmus log

b hoch wie viel ergibt a (bx = a)?  Die Lösung x findest du mit dem Logarithmus von a zur Basis b.

= logb a               mit a, b > 0 und b ≠ 1.

Das Ergebnis x ist also gerade die Zahl, die du in den Exponenten von b schreiben musst, um genau a zu erhalten.

Hinweis: Dein Taschenrechner hat eine Taste für den log, bei der du die Basis unten und den Wert daneben eintragen kannst.

Logarithmus Beispiele

Du hast schon gesehen, dass dir Logarithmen beim Lösen von Gleichungen hilft. Dabei steht die gesuchte Zahl x immer im Exponenten

3x = 27

3 hoch welche Zahl ergibt 27? Die Antwort liefert dir der log.

x = log3 27

Die Zahl 3 ist die Lösung, da

33 = 3 · 3 · 3 = 27

10x = 100

Auch hier musst du logarithmieren.

= log10 100

Die Zahl 2 ist die Lösung, da

102 = 10 · 10 = 100

2x = 32

Das x berechnest du mit dem Logarithmus.

x = log2 32

Die Zahl 5 ist die Lösung, da

25 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32

Besonderheiten

Es gibt ein paar auffällige Stellen und Einschränkungen bei Logarithmen, die du dir merken kannst. 

Logarithmus
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Begriffe im Logarithmus

a, b > 0 

Die Basis b muss eine positive Zahl sein, genauso wie der sogenannte Numerus a. Du darfst also nur positive Zahlen als Argument in den Logarithmus einsetzen. Für negative Zahlen ist der Logarithmus nämlich nicht definiert

log10 -10 = nicht definiert, sonst wäre 10x = -10

Außerdem ist die Basis Eins ausgeschlossen, es gilt also b ≠ 1.

log(0)

Der Logarithmus von Null ist nicht definiert, ganz unabhängig davon, welche Basis du betrachtest.

log 0 = nicht definiert, sonst wäre bx = 0

Eigentlich ist das ganz logisch, denn b als positive Zahl ergibt mit sich selbst multipliziert immer eine weitere positive Zahl und niemals Null. 

log 1

Anders sieht es für den Logarithmus von 1 aus. Dieser ist nämlich immer Null, ganz unabhängig von der Basis.

log 1 = 0

Das lässt sich mit den Potenzgesetzen erklären, denn für jede Zahl ist x0 = 1.

Besondere Logarithmen

Bisher hast du den allgemeinen Logarithmus \log_b a betrachtet. Es gibt aber ein paar besondere Logarithmen, die bestimmte Zahlen als Basis b haben und sich auch in der Schreibweise unterscheiden.

Natürlicher Logarithmus

Die Abkürzung ln steht für den natürlichen Logarithmus . Er hat als Basis die Eulersche Zahl e und du kannst ihn immer dann nutzen, wenn du nach einem Exponenten zu e suchst.

ex = a

x = ln a = loge a

Ansonsten gelten genau die gleichen Regeln wie auch beim allgemeinen Logarithmus. Du darfst also auch nur positive Zahlen in den ln einsetzen und kannst Gleichungen mit den ln Regeln umformen.

Den natürlichen Logarithmus erklären wir dir ausführlich in unserem extra Video!

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Zum Video: Natürlicher Logarithmus

Binärer Logarithmus

Hat ein Logarithmus Basis 2, so findest du ihn auch unter dem Namen binärer Logarithmus.

2x = a x = log2 a 

Du verwendest ihn immer dann, wenn du den Exponenten x zu einer Basis 2 suchst. 

Beispiel: 2x = 64 ⇒ x = log2 64 = 6

So kannst du zum Beispiel berechnen, dass du die 2 sechsmal mit sich selbst multiplizieren musst, um 64 zu erhalten. Dafür verwendest du log zur Basis 2 auf deinem Taschenrechner. 

Für diesen log Basis 2 gibt es verschiedene Schreibweisen. Die ausgeschriebene Variante, wo du die 2 in der Basis erkennen kannst, kommt ebenso häufig vor, wie die Abkürzungen lb oder ld

log2 x = lb x = ld x

Dekadischer Logarithmus

Hinter dem Begriff dekadischer Logarithmus verbirgt sich der Logarithmus zur Basis 10

10x = ax = log10 a

Dabei gibt es verschiedene Schreibweisen für den log 10. Manchmal wird die Basis einfach gar nicht mit aufgeschrieben oder der dekadische Logarithmus wird zu lg verkürzt. 

log10 x = log x = lg x

Wenn du also wissen möchtest, welche Zahl du in den Exponenten von 10 schreiben musst, um 1000 zu erhalten, dann kannst du das auf verschiedene Arten notieren.

Beispiel:  10x = 1000

Deine Frage hast du so erstmal mathematisch notiert. Jetzt benutzt du den dekadischen Logarithmus. Als Lösung bekommst du den Logarithmuswert x.

x = log10 1000 = log 1000 = lg 1000 = 3

Logarithmus berechnen

Im Folgenden zeigen wir dir, welche Regeln du beim Rechnen mit dem log Mathe anwenden kannst und welche Besonderheiten es beim Berechnen gibt.

Regeln

Für Logarithmieren gibt es eine Reihe von Rechenregeln, die dir beim Rechnen weiterhelfen können.

\log_b (\textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{y}) = \log_b \textcolor{red}{x} + \log_b \textcolor{blue}{y}                    Beispiel:   \log_2 (4 \cdot 8) = \log_2 4 + \log_2 8 = 2+3=5

\log_b (\frac{\textcolor{red}{x}}{\textcolor{blue}{y}}) = \log_b \textcolor{red}{x} - \log_b \textcolor{blue}{y}                          Beispiel:   \log_2 (\frac{4}{8}) = \log_2 4 - \log_2 8 = 2-3=-1

\log_b \textcolor{red}{x}^{\textcolor{blue}{n}}=\textcolor{blue}{n} \cdot \log_b \textcolor{red}{x}                                       Beispiel:   \log_2 4^3 = 3 \cdot \log_4 = 3 \cdot 2 = 6

\log_b \sqrt[\textcolor{blue}{n}]{\textcolor{red}{x}} = \frac{1}{\textcolor{blue}{n}} \log_b \textcolor{red}{x}                                       Beispiel:   \log_2 \sqrt[3]{16} = \frac{1}{3} \cdot \log_2 {16} = \frac{1}{3} \cdot 4 = \frac{4}{3}

Wir erklären sie dir auch nochmal ausführlich und mit vielen Beispielen in einem extra Artikel zu den Logarithmus Regeln .

Logarithmus Regeln

Sehr gut! Die Berechnung des Logarithmus bereitet dir nun keine Probleme mehr. Damit du auch Gleichungen lösen kannst, in denen ein Logarithmus vorkommt, schau dir jetzt unbedingt unser Video zu den Logarithmus Regeln an!

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Zum Video: Logarithmus Regeln

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