Lineare Algebra

Logarithmus Regeln

In diesem Beitrag stellen wir dir die Logarithmus Regeln mit vielen Beispielen vor. %</span>Du möchtest das Thema noch schneller verstehen? Dann schau dir unser Video<span style="color: #99cc00;">VERWEIS</span> an!<span style="color: #99cc00;">

Inhaltsübersicht

Logarithmus Regeln einfach erklärt

Um Gleichungen mit einem Logarithmus  zu lösen, musst du manchmal ein paar Sachen umstellen oder anders notieren. Es gibt verschiedene Rechenregeln für Logarithmen, die dir helfen. Dabei bleibt die Basis b immer gleich.

Logarithmusregeln

\log_b (\textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{y}) = \log_b \textcolor{red}{x} + \log_b \textcolor{blue}{y}

\log_b (\frac{\textcolor{red}{x}}{\textcolor{blue}{y}}) = \log_b \textcolor{red}{x} - \log_b \textcolor{blue}{y}

\log_b \textcolor{red}{x}^{\textcolor{blue}{n}}=\textcolor{blue}{n} \cdot \log_b \textcolor{red}{x}

\log_b \sqrt[\textcolor{blue}{n}]{\textcolor{red}{x}} = \frac{1}{\textcolor{blue}{n}} \log_b \textcolor{red}{x}

Schauen wir uns diese Rechenregeln doch einmal genauer an. 

Logarithmus Rechenregeln

Beim Rechnen mit Logarithmen können dir diese Logarithmus Regeln oft weiter helfen. Dabei solltest du immer prüfen, welche Regel du anwenden kannst. 

log Regeln Produkt

Bei dieser ersten Regel hast du im Logarithmus ein Produkt beziehungsweise eine Multiplikation stehen, was du in eine Summe umwandeln kannst. Andersherum kannst du die Logarithmen addieren, indem du die beiden Werte multiplizierst. Dafür muss die Basis b aber die gleiche sein. 

\log_b (\textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{y}) = \log_b \textcolor{red}{x} + \log_b \textcolor{blue}{y}

Schauen wir uns doch gleich mal einige Beispiel dazu an.

  • \log_2 (\textcolor{red}{8} \cdot \textcolor{blue}{32}) = \log_2 \textcolor{red}{8} + \log_2 \textcolor{blue}{32} = 3 + 5 =8
  • \log_3 (\textcolor{red}{9} \cdot \textcolor{blue}{27}) = \log_3 \textcolor{red}{9} + \log_3 \textcolor{blue}{27} = 2 + 3 = 5

Natürlich kannst du die Regel auch rückwärts anwenden und die Summe aus Logarithmen zusammenfassen.

  • \log_{10} \textcolor{red}{100} + \log_{10} \textcolor{blue}{10}=\log_{10} (\textcolor{red}{100} \cdot \textcolor{blue}{10}) =\log_{10} 1000=3

log Regeln Quotient

Wenn im Logarithmus ein Bruch steht, dann kannst du diesen durch eine Differenz ausdrücken.

\log_b (\frac{\textcolor{red}{x}}{\textcolor{blue}{y}}) = \log_b \textcolor{red}{x} - \log_b \textcolor{blue}{y}

Du rechnest dann log Zähler minus log Nenner. 

  • \log_2 (\frac{\textcolor{red}{8}}{\textcolor{blue}{32}}) = \log_2 \textcolor{red}{8} - \log_2 \textcolor{blue}{32} = 3 - 5 = -2
  • \log_3 (\frac{\textcolor{red}{9}}{\textcolor{blue}{27}}) = \log_3 \textcolor{red}{9} - \log_3 \textcolor{blue}{27} = 2 - 3 = -1

Auch diese Regel kannst du wieder rückwärts anwenden und einen Bruch erzeugen.

  • \log_{10} \textcolor{red}{100} - \log_{10} \textcolor{blue}{10} = \log_{10} \frac{\textcolor{red}{100}}{\textcolor{blue}{10}} = \log_{10} 10 = 1

log Regeln Potenz

Lass dich nicht von der Potenz im Logarithmus abschrecken, denn mit dieser Logarithmus Regel kannst du den Term einfach umformen.

\log_b \textcolor{red}{x}^{\textcolor{blue}{n}}=\textcolor{blue}{n} \cdot \log_b \textcolor{red}{x}

Dabei wandert der Exponent n, also die hochgestellte Zahl, vor den Logarithmus.  

  • \log_2 \textcolor{red}{4}^{\textcolor{blue}{3}} = \textcolor{blue}{3} \cdot \log_2 \textcolor{red}{4} = 3 \cdot 2 =6
  • \log_{10} \textcolor{red}{1000}^{\textcolor{blue}{10}} = \textcolor{blue}{10} \cdot \log_{10} \textcolor{red}{1000} = 10 \cdot 3 = 30

Natürlich kannst du die Regel auch wieder andersherum anwenden.

  • \textcolor{blue}{2} \cdot \log_3 \textcolor{red}{9} = \log_3 \textcolor{red}{9}^{\textcolor{blue}{2}} = \log_3 81 = 4

log Regeln Wurzel

Für Wurzeln im Logarithmus gibt es ebenfalls eine extra Regel, mit dem du den Logarithmus vereinfachen kannst. 

\log_b \sqrt[\textcolor{blue}{n}]{\textcolor{red}{x}} = \frac{1}{\textcolor{blue}{n}} \cdot \log_b \textcolor{red}{x}

Auch zu dieser Logarithmus Regel schaust du dir am besten ein paar Beispiele an.

  • \log_2 \sqrt[\textcolor{blue}{3}]{\textcolor{red}{8}} = \frac{1}{\textcolor{blue}{3}} \log_2 \textcolor{red}{8}=\frac{1}{3} \cdot 3 =1
  • \log_{10} \sqrt[\textcolor{blue}{2}]{\textcolor{red}{1000}} = \frac{1}{\textcolor{blue}{2}} \log_{10} \textcolor{red}{1000} = \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2}

Manchmal gibt es Sinn, diese Rechenregel rückwärts anzuwenden. 

  • \frac{1}{\textcolor{blue}{2}} \log_3 \textcolor{red}{9} =\log_3 \sqrt[\textcolor{blue}{2}]{\textcolor{red}{9}}=\log_3 3=1

Logarithmus Regeln Basiswechsel

Beim Rechnen mit Logarithmen kann es sein, dass eine andere Basis sinnvoller wäre. Mit dem Basiswechsel kannst du diese ändern und so mit einer neuen Basis weiterrechnen.

\log_{\textcolor{red}{b}} x = \frac{\log_{\textcolor{blue}{a}} x}{\log_{\textcolor{blue}{a}} \textcolor{red}{b}}

Dabei setzt du die alte Basis b in den Logarithmus zur neuen Basis a ein und setzt diesen in den Nenner des Bruchs. Im Zähler steht dabei der alte Wert x im Logarithmus zur neuen Basis a.

An einem Beispiel kannst du erkennen, wie diese Logarithmus Regel die Rechnung erleichtern kann.

\log_{\textcolor{red}{4}} 8 = \frac{\log_{\textcolor{blue}{2}} 8}{\log_{\textcolor{blue}{2}} \textcolor{red}{4}} = \frac{3}{2}

Hallo, leider nutzt du einen AdBlocker.

Auf Studyflix bieten wir dir kostenlos hochwertige Bildung an. Dies können wir nur durch die Unterstützung unserer Werbepartner tun.

Schalte bitte deinen Adblocker für Studyflix aus oder füge uns zu deinen Ausnahmen hinzu. Das tut dir nicht weh und hilft uns weiter.

Danke!
Dein Studyflix-Team

Wenn du nicht weißt, wie du deinen Adblocker deaktivierst oder Studyflix zu den Ausnahmen hinzufügst, findest du hier eine kurze Anleitung. Bitte lade anschließend die Seite neu.