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Logarithmus
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In diesem Beitrag stellen wir dir die Logarithmus Regeln mit vielen Beispielen vor. Du möchtest die log Regeln in kurzer Zeit verstehen? In unserem Video werden die Logarithmus Rechenregeln ganz einfach erklärt!

Logarithmus Regeln Übersicht  

Die Logarithmus Regeln helfen dir dabei, Gleichungen mit einem Logarithmus einfacher zu lösen. Dabei bleibt die Basis b immer gleich. Hier hast du eine Übersicht über alle Logarithmus Rechenregeln:

Art Formel Beispiel
Produkt \log_b (\textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{y}) = \log_b \textcolor{red}{x} + \log_b \textcolor{blue}{y} \log_2(\textcolor{red}{8} \cdot \textcolor{blue}{32}) = \log_2 \textcolor{red}{8} + \log_2 \textcolor{blue}{32} = 3 +5
Quotient \log_b (\frac{\textcolor{red}{x}}{\textcolor{blue}{y}}) = \log_b \textcolor{red}{x} - \log_b \textcolor{blue}{y} \log_2(\frac{\textcolor{red}{8}}{\textcolor{blue}{32}}) = \log_2 \textcolor{red}{8} - \log_2 \textcolor{blue}{32} = 3 -5
Potenz \log_b \textcolor{red}{x}^{\textcolor{blue}{n}}=\textcolor{blue}{n} \cdot \log_b \textcolor{red}{x} \log_2 \textcolor{red}{4}^{\textcolor{blue}{3}}=\textcolor{blue}{3} \cdot \log_2 \textcolor{red}{4} = \textcolor{blue}{3} \cdot 2
Wurzel \log_b \sqrt[\textcolor{blue}{n}]{\textcolor{red}{x}} = \frac{1}{\textcolor{blue}{n}} \cdot \log_b \textcolor{red}{x} \log_2 \sqrt[\textcolor{blue}{3}]{\textcolor{red}{8}} = \frac{1}{\textcolor{blue}{3}} \cdot \log_2 \textcolor{red}{8} = \frac{1}{\textcolor{blue}{3}} \cdot 3

Schauen wir uns diese Logarithmus Regeln doch einmal genauer an. 

Logarithmus Rechenregeln

Die Logarithmus Rechenregeln oder Logarithmusgesetze helfen dir, Rechenaufgaben mit Logarithmen ganz unkompliziert zu lösen. Dabei solltest du immer prüfen, welche der 4 Regeln du anwenden kannst: Du unterscheidest zwischen den log Regeln für das Produkt, den Quotienten, die Potenz und der Wurzel. Im Folgenden bekommst du jede der Logarithmusregeln noch einmal ganz ausführlich erklärt.

Logarithmus Regeln: Produkt  

Bei dieser ersten der log Regeln hast du im Logarithmus ein Produkt beziehungsweise eine Multiplikation stehen, was du in eine Summe umwandeln kannst. Wendest du diese Logarithmusregeln andersherum an, kannst du die Logarithmen addieren, indem du die beiden Werte multiplizierst. Dafür muss die Basis b aber die gleiche sein. 

logb (xy) = logb x + logb y

Schauen wir uns doch gleich mal einige Beispiele dazu an.

  • log2 (832) = log2 8 + log2 32 = 3 + 5 = 8
  • log3 (927) = log3 9 + log3 27 = 2 + 3 = 5

Natürlich kannst du die Regel auch rückwärts anwenden und die Summe aus Logarithmen zusammenfassen.

  • log10 100 + log10 10  = log10 (10010) = log10 1000 = 3

Logarithmus Regeln: Quotient  

Die zweite der Logarithmus Rechenregeln besagt, dass wenn im Logarithmus ein Bruch steht, du diesen durch eine Differenz ausdrücken kannst.

    \[\log_b (\frac{\textcolor{red}{x}}{\textcolor{blue}{y}}) = \log_b \textcolor{red}{x} - \log_b \textcolor{blue}{y}\]

Du rechnest dann log Zähler minus log Nenner. Schau dir gleich mal ein paar Beispiele zu der zweiten der log Regeln an:

  • \log_2 (\frac{\textcolor{red}{8}}{\textcolor{blue}{32}}) = \log_2 \textcolor{red}{8} - \log_2 \textcolor{blue}{32} = 3 - 5 = -2
  • \log_3 (\frac{\textcolor{red}{9}}{\textcolor{blue}{27}}) = \log_3 \textcolor{red}{9} - \log_3 \textcolor{blue}{27} = 2 - 3 = -1

Auch diese Regel kannst du wieder rückwärts anwenden und einen Bruch erzeugen.

  • \log_{10} \textcolor{red}{100} - \log_{10} \textcolor{blue}{10} = \log_{10} \frac{\textcolor{red}{100}}{\textcolor{blue}{10}} = \log_{10} 10 = 1

Logarithmus Regeln: Potenz  

Lass dich nicht von der Potenz im Logarithmus abschrecken, denn mit dieser Logarithmus Regel kannst du den Term einfach umformen.

logb xn = n ⋅ logb x

Dabei wandert der Exponent n, also die hochgestellte Zahl, vor den Logarithmus.  

  • log2 43 = 3 ⋅ log2 4 = 3 ⋅ 2 = 6
  • log10 100010 = 10 ⋅ log10 1000 = 10 ⋅ 3 = 30

Natürlich kannst du die Regel auch wieder andersherum anwenden.

  • 2 ⋅ log3 9 = log3 92 = log3 81 = 4

Logarithmus Regeln: Wurzel  

Die letzte der log Regeln erleichtert dir das Rechnen mit Wurzeln im Logarithmus

    \[\log_b \sqrt[\textcolor{blue}{n}]{\textcolor{red}{x}} = \frac{1}{\textcolor{blue}{n}} \cdot \log_b \textcolor{red}{x}\]

Versuche die folgenden Beispiele mit den log Regeln zu lösen:

  • \log_2 \sqrt[\textcolor{blue}{3}]{\textcolor{red}{8}} = \frac{1}{\textcolor{blue}{3}} \log_2 \textcolor{red}{8}=\frac{1}{3} \cdot 3 =1
  • \log_{10} \sqrt[\textcolor{blue}{2}]{\textcolor{red}{1000}} = \frac{1}{\textcolor{blue}{2}} \log_{10} \textcolor{red}{1000} = \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2}

Manchmal gibt es Sinn, diese Rechenregel rückwärts anzuwenden. 

  • \frac{1}{\textcolor{blue}{2}} \log_3 \textcolor{red}{9} =\log_3 \sqrt[\textcolor{blue}{2}]{\textcolor{red}{9}}=\log_3 3=1

log Regeln: Basiswechsel

Beim Rechnen mit den Logarithmusregeln kann es sein, dass eine andere Basis sinnvoller wäre. Mit dem Basiswechsel kannst du diese ändern und so mit einer neuen Basis weiterrechnen.

\log_{\textcolor{red}{b}} x = \frac{\log_{\textcolor{blue}{a}} x}{\log_{\textcolor{blue}{a}} \textcolor{red}{b}}

Dabei setzt du die alte Basis b in den Logarithmus zur neuen Basis a ein und setzt diesen in den Nenner des Bruchs. Im Zähler steht dabei der alte Wert x im Logarithmus zur neuen Basis a.

An einem Beispiel kannst du erkennen, wie diese Logarithmus Regel die Rechnung erleichtern kann.

\log_{\textcolor{red}{4}} 8 = \frac{\log_{\textcolor{blue}{2}} 8}{\log_{\textcolor{blue}{2}} \textcolor{red}{4}} = \frac{3}{2}

Logarithmus

Super, jetzt kennst du dich mit allen Logarithmusregeln aus! Die hier vorgestellten Logarithmus Regeln (Log Regeln) gelten für jeden Logarithmus. Du willst nochmal erklärt bekommen, was der Logarithmus eigentlich ist? Dann schau dir jetzt unser Video zum Logarithmus an!

Zum Video: Logarithmus
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