Logarithmusgesetze
Du suchst nach Logarithmusgesetzen, um einfacher einen Logarithmus auflösen zu können? Dann bist du hier genau richtig. Für’s entspanntere Lernen gibt es das Ganze auch als Video.
Logarithmusgesetze einfach erklärt
Um die Logarithmusgesetze zu verstehen, solltest du natürlich zunächst wissen, was ein Logarithmus ist.
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Logarithmusgesetze
Wenn du nun mit Logarithmen rechnen möchtest, musst du folgende Logarithmengesetze kennen. Sie helfen Dir beim Berechnen von Logarithmen mit Produkten, Brüchen, Potenzen und sogar Wurzeln.
![\[\log_{\textcolor{orange}{b}}(\textcolor{red}{P} \cdot \textcolor{blue}{Q}) = \log_{\textcolor{orange}{b}}(\textcolor{red}{P}) + \log_{\textcolor{orange}{b}}(\textcolor{blue}{Q})\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2b3473a0a78d5dc579b4be7493292bc4_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Der Logarithmus eines Produktes ist die Summe der Logarithmen der beiden Faktoren.
Beispiele:
![\[\log_{\textcolor{orange}{b}}\left(\frac{\textcolor{red}{P}}{\textcolor{blue}{Q}}\right) = \log_{\textcolor{orange}{b}}(\textcolor{red}{P}) - \log_{\textcolor{orange}{b}}(\textcolor{blue}{Q})\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-135cf4fe4a68986e027f37caf77b7925_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Der Logarithmus eines Bruchs ist die Differenz der Logarithmen von Zähler und Nenner.
Beispiele:
![\[ \log_{\textcolor{orange}{3}}\left(\frac{\textcolor{red}{3}}{\textcolor{blue}{27}}\right) = \log_{\textcolor{orange}{3}}(\textcolor{red}{3}) - \log_{\textcolor{orange}{3}}(\textcolor{blue}{27}) = 1 - 3 = -2 \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-80e69cfe553ed70faaa46f9ef7fa8fc5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ \log_{\textcolor{orange}{6}}\left(\frac{\textcolor{red}{1}}{\textcolor{blue}{36}}\right) = \log_{\textcolor{orange}{6}}(\textcolor{red}{1}) - \log_{\textcolor{orange}{6}}(\textcolor{blue}{36}) = 0 - 2 = -2 \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-21c59a9cf8316d6eab99b9857aebd90a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ \log_{\textcolor{orange}{2}}\left(\frac{\textcolor{red}{64}}{\textcolor{blue}{512}}\right) = \log_{\textcolor{orange}{2}}(\textcolor{red}{64}) - \log_{\textcolor{orange}{2}}(\textcolor{blue}{512}) = 6 - 9 = -3 \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5d9900f1e7d34c02f9157468c1c01bb8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\log_{b}\left(\textcolor{blue}{P}^{\textcolor{red}{n}}\right) = \textcolor{red}{n} \cdot \log_{b}\left(\textcolor{blue}{P}\right)\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-03fcc3ef3cb545e3ea209d0e36017149_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Der Logarithmus einer Potenz ist das Produkt aus dem Exponenten und dem Logarithmus der Basis der Potenz.
Beispiele:
![\[ \log_{3}\left(\textcolor{blue}{27}^{\textcolor{red}{7}}\right) = \textcolor{red}{7} \cdot \log_{3}\left(\textcolor{blue}{27}\right) = 7 \cdot 3 = 21 \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ec6faedab4756541cda979f073a9ca5e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ \log_{9}\left(\textcolor{blue}{81}^{\textcolor{red}{5}}\right) = \textcolor{red}{5} \cdot \log_{9}\left(\textcolor{blue}{81}\right) = 5 \cdot 2 = 10 \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-47248048534ccaf8a9739211aaf3a29d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ \log_{5}\left(\textcolor{blue}{125}^{\textcolor{red}{8}}\right) = \textcolor{red}{8} \cdot \log_{5}\left(\textcolor{blue}{125}\right) = 8 \cdot 3 = 24\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-84b38aec24aa76939224e41605e81bcc_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Mit der Potenzregel kannst du aber nicht nur Potenzen, sondern auch Wurzeln logarithmieren.
![\[\log_{b}\left(\sqrt[\textcolor{red}{n}]{\textcolor{blue}{P}}\right) = \frac{\log_{b}(\textcolor{blue}{P})}{\textcolor{red}{n}}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d7aa87485e3aef79189ecd2ccb077a20_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Der Logarithmus einer Wurzel ist der Radikand geteilt durch den Wurzelexponenten.
Beispiele:
![\[ \log_{4}\left(\sqrt[\textcolor{red}{7}]{\textcolor{blue}{64}}\right) = \frac{\log_{4}(\textcolor{blue}{64})}{\textcolor{red}{7}} = \frac{3}{7} \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4670463f7ebd8a33a3f251440c3d6a11_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ \log_{6}\left(\sqrt[\textcolor{red}{3}]{\textcolor{blue}{216}}\right) = \frac{\log_{6}(\textcolor{blue}{216})}{\textcolor{red}{3}} = \frac{3}{3} = 1 \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-376538f742611f013c3edc0059bb047c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ \log_{5}\left(\sqrt{\textcolor{blue}{125}}\right) = \log_{5}\left(\sqrt[\textcolor{red}{2}]{\textcolor{blue}{125}}\right) = \frac{\log_{5}(\textcolor{blue}{125})}{\textcolor{red}{2}} = \frac{3}{2} \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4e3cb986f76ff6e349ff12eb3f0ec32f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Basiswechsel
In manchen Aufgaben wirst du einen Logarithmus zur Basis a vor dir haben und ihn zu einer anderen Basis b umwandeln müssen. Diese Aufgaben sind für dich überhaupt kein Problem, denn dafür gibt es diese Formel:
![\[\log_{\textcolor{red}{a}}(\textcolor{blue}{P}) = \frac{\log_{\textcolor{orange}{b}}(\textcolor{blue}{P})}{\log_{\textcolor{orange}{b}}(\textcolor{red}{a})}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f30fa5878c96365b40974e7516b26df2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Beispiele:
- Wir wollen den Logarithmus
zur Basis 2 umwandeln.![\[ \log_{\textcolor{red}{4}}(\textcolor{blue}{16}) = \frac{\log_{\textcolor{orange}{2}}(\textcolor{blue}{16})}{\log_{\textcolor{orange}{2}}(\textcolor{red}{4})} \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-099e917ec82d8ebfa1d946953b8ee901_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
- Wir wollen den Logarithmus
zur Basis 9 umwandeln.![\[ \log_{\textcolor{red}{3}}(\textcolor{blue}{27}) = \frac{\log_{\textcolor{orange}{9}}(\textcolor{blue}{27})}{\log_{\textcolor{orange}{9}}(\textcolor{red}{3})}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3d40d351ccc8351970ae4d3d5ef0be27_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
- Wir wollen den Logarithmus
zur Basis 4 umwandeln.![\[ \log_{\textcolor{red}{2}}(\textcolor{blue}{8}) = \frac{\log_{\textcolor{orange}{4}}(\textcolor{blue}{8})}{\log_{\textcolor{orange}{4}}(\textcolor{red}{2})} \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-af6c4feb615eb8728f9aee685ed8c17f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Potenzgesetze
Durch die Logarithmusgesetze kannst du jetzt jeden Logarithmus auflösen. Du solltest dir auch unbedingt unser Video zu Potenzgesetzen anschauen. Damit kannst du den Zusammenhang zwischen den Potenzregeln des Logarithmus ganz einfach verstehen.
