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Exponentialfunktion & Logarithmus
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Du suchst nach Logarithmusgesetzen, um einfacher einen Logarithmus auflösen zu können? Dann bist du hier genau richtig. %Für's entspanntere Lernen gibt es das Ganze auch als Video.

Logarithmusgesetze einfach erklärt

Um die Logarithmusgesetze zu verstehen, solltest du natürlich zunächst wissen, was ein Logarithmus ist.

Logarithmus Grundlagen:
  • \log_{\textcolor{orange}{b}}(\textcolor{red}{b}) = \textcolor{blue}{1} (da \textcolor{orange}{b}^{\textcolor{blue}{1}} = \textcolor{red}{b})
  • \log_{\textcolor{orange}{b}}(\textcolor{red}{1}) = \textcolor{blue}{0} (da \textcolor{orange}{b}^{\textcolor{blue}{0}} = \textcolor{red}{1})
  • \log_b(b^{\textcolor{red}{x}}) = \textcolor{red}{x}
  • b^{\log_b(\textcolor{red}{x})} = \textcolor{red}{x}

Logarithmusgesetze

Wenn du nun mit Logarithmen rechnen möchtest, musst du folgende Logarithmengesetze kennen. Sie helfen Dir beim Berechnen von Logarithmen mit Produkten, Brüchen, Potenzen und sogar Wurzeln.

Logarithmen addieren

    \[\log_{\textcolor{orange}{b}}(\textcolor{red}{P} \cdot \textcolor{blue}{Q}) = \log_{\textcolor{orange}{b}}(\textcolor{red}{P}) + \log_{\textcolor{orange}{b}}(\textcolor{blue}{Q})\]

Der Logarithmus eines Produktes ist die Summe der Logarithmen der beiden Faktoren.

Beispiele:

  • \log_{\textcolor{orange}{2}}(\textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{blue}{8}) = \log_{\textcolor{orange}{2}}(\textcolor{red}{2}) + \log_{\textcolor{orange}{2}}(\textcolor{blue}{8}) = 1 + 3 = 4
  • \log_{\textcolor{orange}{5}}(\textcolor{red}{25} \cdot \textcolor{blue}{125}) = \log_{\textcolor{orange}{5}}(\textcolor{red}{25}) + \log_{\textcolor{orange}{5}}(\textcolor{blue}{125}) = 2 + 3 = 5
  • \log_{\textcolor{orange}{7}}(\textcolor{red}{7} \cdot \textcolor{blue}{49}) = \log_{\textcolor{orange}{7}}(\textcolor{red}{7}) + \log_{\textcolor{orange}{7}}(\textcolor{blue}{49}) = 1 + 2 = 3
Logarithmen subtrahieren

    \[\log_{\textcolor{orange}{b}}\left(\frac{\textcolor{red}{P}}{\textcolor{blue}{Q}}\right) = \log_{\textcolor{orange}{b}}(\textcolor{red}{P}) - \log_{\textcolor{orange}{b}}(\textcolor{blue}{Q})\]

Der Logarithmus eines Bruchs ist die Differenz der Logarithmen von Zähler und Nenner.

Beispiele:

  •     \[ \log_{\textcolor{orange}{3}}\left(\frac{\textcolor{red}{3}}{\textcolor{blue}{27}}\right) = \log_{\textcolor{orange}{3}}(\textcolor{red}{3}) - \log_{\textcolor{orange}{3}}(\textcolor{blue}{27}) = 1 - 3 = -2 \]

  •     \[ \log_{\textcolor{orange}{6}}\left(\frac{\textcolor{red}{1}}{\textcolor{blue}{36}}\right) = \log_{\textcolor{orange}{6}}(\textcolor{red}{1}) - \log_{\textcolor{orange}{6}}(\textcolor{blue}{36}) = 0 - 2 = -2 \]

  •     \[ \log_{\textcolor{orange}{2}}\left(\frac{\textcolor{red}{64}}{\textcolor{blue}{512}}\right) = \log_{\textcolor{orange}{2}}(\textcolor{red}{64}) - \log_{\textcolor{orange}{2}}(\textcolor{blue}{512}) = 6 - 9 = -3 \]

Potenzregel

    \[\log_{b}\left(\textcolor{blue}{P}^{\textcolor{red}{n}}\right) = \textcolor{red}{n} \cdot \log_{b}\left(\textcolor{blue}{P}\right)\]

Der Logarithmus einer Potenz ist das Produkt aus dem Exponenten und dem Logarithmus der Basis der Potenz.

Beispiele:

  •     \[ \log_{3}\left(\textcolor{blue}{27}^{\textcolor{red}{7}}\right) = \textcolor{red}{7} \cdot \log_{3}\left(\textcolor{blue}{27}\right) = 7 \cdot 3 = 21 \]

  •     \[ \log_{9}\left(\textcolor{blue}{81}^{\textcolor{red}{5}}\right) = \textcolor{red}{5} \cdot \log_{9}\left(\textcolor{blue}{81}\right) = 5 \cdot 2 = 10 \]

  •     \[ \log_{5}\left(\textcolor{blue}{125}^{\textcolor{red}{8}}\right) = \textcolor{red}{8} \cdot \log_{5}\left(\textcolor{blue}{125}\right) = 8 \cdot 3 = 24\]

Mit der Potenzregel kannst du aber nicht nur Potenzen, sondern auch Wurzeln logarithmieren.

Wurzeln logarithmieren

    \[\log_{b}\left(\sqrt[\textcolor{red}{n}]{\textcolor{blue}{P}}\right) = \frac{\log_{b}(\textcolor{blue}{P})}{\textcolor{red}{n}}\]

Der Logarithmus einer Wurzel ist der Radikand geteilt durch den Wurzelexponenten.

Beispiele:

  •     \[ \log_{4}\left(\sqrt[\textcolor{red}{7}]{\textcolor{blue}{64}}\right) = \frac{\log_{4}(\textcolor{blue}{64})}{\textcolor{red}{7}} = \frac{3}{7} \]

  •     \[ \log_{6}\left(\sqrt[\textcolor{red}{3}]{\textcolor{blue}{216}}\right) = \frac{\log_{6}(\textcolor{blue}{216})}{\textcolor{red}{3}} = \frac{3}{3} = 1 \]

  •     \[ \log_{5}\left(\sqrt{\textcolor{blue}{125}}\right) = \log_{5}\left(\sqrt[\textcolor{red}{2}]{\textcolor{blue}{125}}\right) = \frac{\log_{5}(\textcolor{blue}{125})}{\textcolor{red}{2}} = \frac{3}{2} \]

Basiswechsel

In manchen Aufgaben wirst du einen Logarithmus zur Basis a vor dir haben und ihn zu einer anderen Basis b umwandeln müssen. Diese Aufgaben sind für dich überhaupt kein Problem, denn dafür gibt es diese Formel:

Basiswechsel

    \[\log_{\textcolor{red}{a}}(\textcolor{blue}{P}) = \frac{\log_{\textcolor{orange}{b}}(\textcolor{blue}{P})}{\log_{\textcolor{orange}{b}}(\textcolor{red}{a})}\]

Beispiele:

  • Wir wollen den Logarithmus \log_{\textcolor{red}{4}}(\textcolor{blue}{16}) zur Basis 2 umwandeln.

        \[ \log_{\textcolor{red}{4}}(\textcolor{blue}{16}) = \frac{\log_{\textcolor{orange}{2}}(\textcolor{blue}{16})}{\log_{\textcolor{orange}{2}}(\textcolor{red}{4})} \]

  • Wir wollen den Logarithmus \log_{\textcolor{red}{3}}(\textcolor{blue}{27}) zur Basis 9 umwandeln.

        \[ \log_{\textcolor{red}{3}}(\textcolor{blue}{27}) = \frac{\log_{\textcolor{orange}{9}}(\textcolor{blue}{27})}{\log_{\textcolor{orange}{9}}(\textcolor{red}{3})}\]

  • Wir wollen den Logarithmus \log_{\textcolor{red}{2}}(\textcolor{blue}{8}) zur Basis 4 umwandeln.

        \[ \log_{\textcolor{red}{2}}(\textcolor{blue}{8}) = \frac{\log_{\textcolor{orange}{4}}(\textcolor{blue}{8})}{\log_{\textcolor{orange}{4}}(\textcolor{red}{2})} \]

Potenzgesetze

Durch die Logarithmusgesetze kannst du jetzt jeden Logarithmus auflösen. Du solltest dir auch unbedingt unser Video zu Potenzgesetzen anschauen. Damit kannst du den Zusammenhang zwischen den Potenzregeln des Logarithmus ganz einfach verstehen.

Zum Video: Potenzgesetze
Zum Video: Potenzgesetze

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