Wann darf ich einen Logarithmus überhaupt ausrechnen und wann nicht?

Einen Logarithmus darfst du nur ausrechnen, wenn die Basis positiv ist, gilt und das Argument größer als 0 ist. Ist , ist der Logarithmus im Reellen nicht definiert. Beispiel: geht nicht, schon.

Wie erkenne ich schnell, welches Logarithmusgesetz ich gerade brauche?

Du erkennst das passende Logarithmusgesetz am „Innenleben“ des Logarithmus: Steht innen ein Produkt, wird daraus eine Summe; steht innen ein Bruch, wird daraus eine Differenz; steht innen eine Potenz, kommt der Exponent nach vorn. Beispiel: .

Welche Fehler passieren oft, wenn ich Logarithmen zusammenfasse?

Häufige Fehler beim Zusammenfassen sind: Logarithmen mit verschiedenen Basen direkt zu addieren, Summen im Argument falsch zu „trennen“ und Vorzeichen beim Quotientengesetz zu vertauschen. Beispiel: Falsch ist ; richtig ist, dass nur Produkte zerlegt werden, also .

Wie gehe ich vor, wenn in einer Aufgabe mehrere Logarithmen mit verschiedenen Basen stehen?

Bei mehreren Logarithmen mit verschiedenen Basen bringst du sie zuerst auf eine gemeinsame Basis, meist mit der Basiswechsel-Formel (für , ). Danach kannst du erst sinnvoll zusammenfassen. Beispiel: wird nach dem Umrechnen vergleichbar.

Wie löse ich eine Gleichung, in der Logarithmen vorkommen?

Eine Gleichung mit Logarithmen löst man, indem man die Logarithmen zuerst mit Gesetzen zu einem Logarithmus zusammenfasst und dann beide Seiten exponentiert (also die Umkehrfunktion nutzt). Danach löst du die entstehende Potenzgleichung und prüfst am Ende die Definitionsmenge . Beispiel: Aus folgt durch Exponentieren .

Video

Quiz

Hier geht's zum Video „Potenzgesetze“

Logarithmusgesetze

Hier und im Video findest du alle Logarithmusgesetze mit Beispielen!

Inhaltsübersicht

Übersicht der Logarithmusgesetze

im Videozur Stelle im Video springen

(00:14)

Die Logarithmusgesetze zeigen dir, wie du richtig mit Logarithmen multiplizierst, dividierst, Potenzen berechnest oder Wurzeln ziehst. Hier siehst du alle Regeln im Überblick.

1. Logarithmen multiplizieren: Der Logarithmus eines Produktes ist gleich die Summe der Logarithmen der beiden Faktoren.

log_b(P • Q) = log_b(P) + log_b(Q)
➡️ Beispiel: log₂(2 • 8) = log₂(2) + log₂(8) = 1 + 3 = 4

2. Logarithmen dividieren: Der Logarithmus eines Bruchs ist der Logarithmus vom Zähler minus dem Logarithmus vom Nenner.

log_b( $\frac{\textcolor{red}{\boldsymbol{P}}}{\textcolor{blue}{\boldsymbol{Q}}}$ ) = log_b(P) – log_b(Q)
➡️ Beispiel: log₃( $\frac{\textcolor{red}{\boldsymbol{3}}}{\textcolor{blue}{\boldsymbol{27}}}$ ) = log₃(3) – log₃(27) = 1 – 3 = -2

3. Logarithmen potenzieren: Der Logarithmus einer Potenz ist der Exponent mal der Logarithmus der Basis.

log_b(Pⁿ) = n • log_b(P)
➡️ Beispiel: log₃(27⁷) = 7 • log₃(27) = 7 • 3 = 21

4. Wurzelziehen von Logarithmen: Der Logarithmus einer Wurzel ist der Logarithmus des Wurzelinhalts geteilt durch den Wurzelexponenten.

log_b( $\sqrt[\textcolor{red}{\boldsymbol{n}}]{\textcolor{blue}{\boldsymbol{P}}}$ ) = $\frac{\log_{b}(\textcolor{blue}{\boldsymbol{P}})}{\textcolor{red}{\boldsymbol{n}}}$
➡️ Beispiel: log₄( $\sqrt[\textcolor{red}{\boldsymbol{7}}]{\textcolor{blue}{\boldsymbol{64}}}$ ) = $\frac{\log_{b}(\textcolor{blue}{\boldsymbol{64}})}{\textcolor{red}{\boldsymbol{7}}}$ = $\frac{3}{7}$

Übersicht der Logarithmusgesetze — PDF

Es ist nützlich, die Logarithmusgesetze immer schnell zur Hand zu haben.

logarithmusgesetze; logarithmus gesetze; ln gesetze; logarithmus rechenregeln; rechenregeln logarithmus; ln regeln; log regeln — Übersicht der Logarithmusregeln

Daher kannst du dir die Übersicht hier kostenlos als PDF herunterladen.

Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich

Logarithmusgesetze — häufigste Fragen

(ausklappen)

Wann darf ich einen Logarithmus überhaupt ausrechnen und wann nicht?

Einen Logarithmus $\log_b(x)$ darfst du nur ausrechnen, wenn die Basis positiv ist, $b \neq 1$ gilt und das Argument größer als 0 ist. Ist $x \le 0$ , ist der Logarithmus im Reellen nicht definiert. Beispiel: $\log_2(-3)$ geht nicht, $\log_2(3)$ schon.
Wie erkenne ich schnell, welches Logarithmusgesetz ich gerade brauche?

Du erkennst das passende Logarithmusgesetz am „Innenleben“ des Logarithmus: Steht innen ein Produkt, wird daraus eine Summe; steht innen ein Bruch, wird daraus eine Differenz; steht innen eine Potenz, kommt der Exponent nach vorn. Beispiel: $\log_5\!\left(\frac{a^2}{b}\right)=2\log_5(a)-\log_5(b)$ .
Welche Fehler passieren oft, wenn ich Logarithmen zusammenfasse?

Häufige Fehler beim Zusammenfassen sind: Logarithmen mit verschiedenen Basen direkt zu addieren, Summen im Argument falsch zu „trennen“ und Vorzeichen beim Quotientengesetz zu vertauschen. Beispiel: Falsch ist $\log_2(3+5)=\log_2(3)+\log_2(5)$ ; richtig ist, dass nur Produkte zerlegt werden, also $\log_2(3\cdot 5)=\log_2(3)+\log_2(5)$ .
Wie gehe ich vor, wenn in einer Aufgabe mehrere Logarithmen mit verschiedenen Basen stehen?

Bei mehreren Logarithmen mit verschiedenen Basen bringst du sie zuerst auf eine gemeinsame Basis, meist mit der Basiswechsel-Formel $\log_b(x)=\frac{\log_a(x)}{\log_a(b)}$ (für , $a\neq 1$ ). Danach kannst du erst sinnvoll zusammenfassen. Beispiel: $\log_2(8)+\log_4(8)$ wird nach dem Umrechnen vergleichbar.
Wie löse ich eine Gleichung, in der Logarithmen vorkommen?

Eine Gleichung mit Logarithmen löst man, indem man die Logarithmen zuerst mit Gesetzen zu einem Logarithmus zusammenfasst und dann beide Seiten exponentiert (also die Umkehrfunktion nutzt). Danach löst du die entstehende Potenzgleichung und prüfst am Ende die Definitionsmenge . Beispiel: Aus $\log_3(x)=2$ folgt durch Exponentieren .

Potenzgesetze

Durch die Logarithmusgesetze kannst du jetzt jeden Logarithmus auflösen. Falls du auch mit Potenzen rechnen musst, haben wir hier eine Übersicht aller Potenzgesetze für dich.