Hoch 0
Was ist eigentlich x hoch 0? Wie du mit einer Null im Exponenten rechnest, erklären wir dir Video in unserem Beitrag.
Inhaltsübersicht
Hoch 0 rechnen einfach erklärt
Bei einer Potenz multiplizierst du eine Zahl so oft mit sich selbst, wie im Exponenten der Zahl steht. Schau dir dazu die 2 hoch 3 an:
23 = 2 • 2 • 2 = 8
Doch wie funktioniert das, wenn du eine 0 im Exponenten hast? Du kannst eine Zahl ja nicht 0 mal mit sich selbst multiplizieren, oder?
Die Antwort ist: Eine beliebige Zahl hoch 0 ist gleich 1! Dabei ist es egal, welche Zahl du hoch Null nimmst:
- 20 = 1
- 2340 = 1
- e0 = 1
Ausnahme: 0 hoch 0 ist nicht definiert. Schauen wir uns doch mal an, warum das so ist.
Warum ist Hoch 0 gleich 1?
Nutzen wir als Beispiel die Reihe der Potenzen von 2:
Du fängst bei der 21 an. Immer wenn sich der Exponent um 1 erhöht, musst du die vorherige Zahl mit 2 malnehmen. Die Reihe geht also 2, 4, 8, 16, u. s. w.
In die andere Richtung, also wenn sich der Exponent um 1 verringert, teilst du immer durch 2. Wenn du von der 21 zur 20 gehst, musst du also die 2 durch 2 teilen: 2 : 2 = 1. Das Ergebnis der Potenz 2 hoch 0 ist also 1!
Das kannst du dir allgemein so vorstellen: Eine 1 kannst du auch als Bruch schreiben, bei der du eine Zahl durch sich selbst teilst.
![\[1 = \frac{x^m}{x^m}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1c700a96bfc6228944db025e964be884_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Wenn du das umformst und die Exponenten voneinander abziehst, kommst du auf das allgemeine x0.
![\[1 = \frac{x^m}{x^m} = x^{m-m} = x^0\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7b3b3358041e37a0988705f0ea4bee39_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Potenzen mit Exponent 0 berechnen
Dass x hoch 0 immer 1 ist, ist allgemeingültig. Das bedeutet, dass du auch komplexere Terme schnell ausrechnen kannst, wenn du siehst, dass sie hoch 0 genommen werden. Rechnen wir das folgende Beispiel aus:
Mithilfe der Potenzregeln kannst du den Term in der Klammer aufteilen und jeden Teil einzeln hoch 0 rechnen. Wenn ein Teil des Terms selbst einen Exponenten hat, multiplizierst du den mit der 0:
![\[ \begin{array}{rl} &(3x^3y^2)^0 \\ =& 3^0 \cdot (x^3)^0 \cdot (y^2)^0\\ =& 3^0 \cdot x^{(3 \cdot 0)} \cdot y^{(2 \cdot 0)} \\ =& 3^0 \cdot x^0 \cdot y^0\\ =& 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 \end{array} \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-89e76fd1b90914c852fd407e47e20943_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Wie du siehst, ist jeder Ausdruck gleich 1, wenn er eine Potenz mit 0 im Exponenten hat.
Besonderheit: 0 hoch 0
Dass eine Zahl x hoch 0 immer gleich 1 ist, gilt nur, solange du für das x keine 0 verwendest. Der Ausdruck 0 hoch 0 ist nämlich nicht definiert. Schau dir dazu die Potenzen mit der 0 als Basis und verschiedenen Exponenten an:
02 = 0 • 0 = 0
04 = 0 • 0 • 0 • 0 = 0
Wenn die Basis einer Zahl 0 ist, dann ist das Ergebnis einer Potenz auch 0 — egal was der Exponent ist. Du rechnest ja immer 0 mal 0.
Aber was ist dann mit null hoch null? Die eine Regel sagt, es müsste 1 ergeben, weil 0 im Exponenten steht. Die andere Regel sagt, dass bei der Basis 0 das Ergebnis immer 0 ist.
Weil sich die Aussagen widersprechen, ist 0 hoch 0 undefiniert. Dein Taschenrechner wird dir allerdings sagen, dass das Ergebnis trotzdem 1 ist. Das liegt daran, dass es in bestimmten Feldern der Mathematik sinnvoll ist, 0 hoch 0 als 1 zu definieren.
Hoch 0 — häufigste Fragen
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Warum ist hoch 0 gleich 1?
Du kannst die Zahl 1 so umschreiben, dass du auf die allgemeine Darstellung x0 = 1 kommst. Das bedeutet, dass eine beliebige Zahl (außer 0) hoch 0 immer 1 sein muss.
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Was ist, wenn etwas hoch 0 ist?
Wenn eine Zahl oder ein Term hoch 0 ist, dann ist das Ergebnis dieser Potenz immer gleich 1.
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Ist 0 hoch 0 gleich 1?
Das Ergebnis von 0 hoch 0 ist nicht definiert. Es kann je nach Betrachtung entweder 0 oder 1 sein. Meistens wird 00 gleich 1 definiert, damit man in bestimmten mathematischen Bereichen damit rechnen kann.
Eulersche Zahl
Auch wenn du e hoch 0 rechnest, kommst du als Ergebnis auf 1. Wenn du mehr zu der eulerschen Zahl e erfahren willst, dann schau hier vorbei.
