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Logarithmus
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Logarithmus auflösen einfach erklärt

Hast du eine Logarithmusgleichung mit x als Unbekannte, dann musst du den Logarithmus auflösen. Zum Beispiel hier:

logx(16) = 2

Schau dir davor nochmal an, wie ein Logarithmus aufgebaut ist:

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Logarithmus und Umwandlung in Potenz

Der Logarithmus besteht aus der Basis a und dem Logarithmanden b. Sie ergeben den Exponenten n. Mit dem Logarithmus findest du heraus, mit welcher Zahl du a hoch nehmen musst, um b zu erhalten.

Den Logarithmus kannst du also in eine Potenz umwandeln. Dann erhältst du Basis a hoch Exponent n ist gleich Logarithmand b. Durch die Umwandlung in eine Potenz ist es viel einfacher, den Logarithmus nach x aufzulösen.

Logarithmus auflösen mit x in der Basis

Schau dir zuerst an, wie du x in der Basis des Logarithmus löst.

logx(16) = 2

Um den Logarithmus nach x aufzulösen, wandelst du die Gleichung in eine Potenz um. Dazu schreibst du die Basis x hoch den Exponenten 2 auf. Das ergibt den Logarithmanden 16

    \begin{align*} log_{\textcolor{olive}{x}}(\textcolor{blue}{16}) &= \textcolor{orange}{2} \;\;\; | \; \text {Umwandeln in Potenz} \\ \textcolor{olive}{x}^{\textcolor{orange}{2}} &= \textcolor{blue}{16} \end{align*}

Jetzt kannst du die Wurzel ziehen und du hast x aufgelöst!

x = 4

Merke dir für x in der Basis:
  1. den Logarithmus in eine Potenz umwandeln
  2. die Wurzel ziehen

Logarithmus auflösen mit x im Logarithmanden

Im nächsten Fall befindet sich die Unbekannte x im Logarithmanden.

log4(x +3) = 2

Auch hier wandelst du die Rechnung zuerst in eine Potenz um. Dazu schreibst du die Basis 4 hoch 2. Das ergibt den Logarithmanden x + 3.

    \begin{align*} log_{\textcolor{olive}{4}}(\textcolor{blue}{x+3}) &= \textcolor{orange}{2} \;\;\;\;\;\;\;\; | \; \text {Umwandeln in Potenz} \\ \textcolor{olive}{4}^{\textcolor{orange}{2}} &= \textcolor{blue}{x+3} \end{align*}

Den Rest kannst du durch eine Äquivalenzumformung lösen. Du bringst das x alleine auf eine Seite, indem du minus 3 rechnest.

16 x+3   |  – 3

Und schon hast du die Gleichung nach x aufgelöst!

13 = x

Merke dir für x im Logarithmanden:
  1. den Logarithmus in eine Potenz umwandeln
  2. x durch Äquivalenzumformungen berechnen

Logarithmus auflösen mit x im Exponent im Logarithmus

Hier befindet sich x im Exponenten vom Logarithmanden.

log2(43⋅x) = 8

Du kannst auch diese Art von Logarithmusgleichung durch Umwandeln in eine Potenz auflösen. Deutlich einfacher ist es jedoch, wenn du stattdessen die Potenzregel vom 3. Logarithmusgesetz  anwendest. 

3. Logarithmusgesetz

Der Logarithmus einer Potenz ist das Gleiche wie der Exponent mal den Logarithmus. Du ziehst den Exponenten aus der Klammer also nach vorne.

loga(xy) = y ⋅  loga(x)

Nutze das 3. Logarithmusgesetz, um deine Formel in eine einfachere Form umzuschreiben. Dafür ziehst du den Exponenten vom Logarithmanden, also 3x, vor den Logarithmus und multiplizierst sie miteinander.

    \begin{align*} log_{\textcolor{olive}{2}}(\textcolor{blue}{4}^{\textcolor{brown}{3x}}) &= \textcolor{orange}{8} \;\;\; | \; \text {3. Logarithmusgesetz anwenden} \\ (\textcolor{brown}{3x}) \cdot log_{\textcolor{olive}{2}}(\textcolor{blue}{4}) &= \textcolor{orange}{8} \end{align*}

Stell deine Gleichung nun nach x um. Dazu teilst du durch den Logarithmus.

    \begin{align*} (\textcolor{brown}{3x}) \cdot log_{\textcolor{olive}{2}}(\textcolor{blue}{4}) &= \textcolor{orange}{8} \;\;\;\;\;\;\;\; | \; : log_{\textcolor{olive}{2}}(\textcolor{blue}{4}) \\ \textcolor{brown}{3x} &= \frac{\textcolor{orange}{8}}{log\textcolor{olive}{_2}(\textcolor{blue}{4})} \end{align*}

Der Logarithmus beantwortet immer die Frage „Welche Zahl muss ich in den Exponenten schreiben, damit meine Basis den Logarithmanden ergibt?“. In diesem Fall also 2 hoch was ergibt 4? Die Antwort ist 2! Also kannst du für log\textcolor{olive}{_2}(\textcolor{blue}{4}) einfach 2 schreiben, wodurch die Gleichung deutlich übersichtlicher wird. Dann kannst du durch 3 teilen.

    \begin{align*} \textcolor{brown}{3x} &= \frac{\textcolor{orange}{8}}{\textcolor{orange}{2}} \\ \textcolor{brown}{3x} &= 4 \;\;\; | \; :3 \\ x &= \frac{4}{3} \end{align*}

Mit der Potenzregel kannst du x selbst im Exponenten vom Logarithmanden ganz einfach lösen! 

Merke dir für x im Exponenten des Logarithmanden:
  1. das 3. Logarithmusgesetz anwenden
  2. x durch Äquivalenzumformung isolieren

Logarithmus auflösen mit mehreren Logarithmen

Logarithmusgleichungen können auch aus mehreren Logarithmen bestehen. Dadurch kann das x häufiger in der Gleichung vorkommen.

lg (x+4) + lg(x) = 2

Hier siehst du den dekadischen Logarithmus lg. Er hat immer die Basis 10. Du kannst also auch log_{10} schreiben.

Wie kannst du das x nun im log auflösen? Dafür machst du dir ein weiteres Logarithmusgesetz zunutze. Das 1. Logarithmusgesetz.

1. Logarithmusgesetz

Haben deine Logarithmen dieselbe Basis, nimmst du die Logarithmanden mal.

loga(x) + loga(y) = loga(x⋅ y)

Wendest du das 1. Logarithmusgesetz an, bringst du deine Unbekannte x also von zwei Logarithmen in einem Logarithmus unter.

    \begin{align*} lg(\textcolor{blue}{x+4}) + lg(\textcolor{blue}{x}) &= \textcolor{orange}{2} \;\;\; | \; \text {1. Logarithmusgesetz anwenden} \\ lg(\textcolor{blue}{(x+4) \cdot x}) &= \textcolor{orange}{2} \end{align*}

Als Nächstes wandelst du deinen Logarithmus in eine Potenz um, wie schon in den Beispielen zuvor. Da lg die Basis 10 hat, erhältst du 10 hoch 2.

    \begin{align*} lg(\textcolor{blue}{(x+4) \cdot x}) &= \textcolor{orange}{2} \;\;\; | \; \text {Umwandeln in Potenz} \\ \textcolor{blue}{(x+4) \cdot x} &= \textcolor{olive}{10}^\textcolor{orange}{2} \end{align*}

Nun vereinfachst du die Gleichung so weit es geht.

    \begin{align*} \textcolor{blue}{(x+4) \cdot x} &= \textcolor{olive}{10}^\textcolor{orange}{2} \\ \textcolor{blue}{x² + 4 \cdot x} &= \textcolor{orange}{100}\;\;\; | \; -100 \\ \textcolor{blue}{x² + 4 \cdot x} - \textcolor{orange}{100} &= 0 \end{align*}

Du erhältst eine quadratische Gleichung , welche du mit der pq-Formel lösen kannst! 

p-q-Formel

Für eine Gleichung, die wie x² + p x + q = 0 aufgebaut ist, gilt: 

    \[x_{1, 2} = - \frac{\textcolor{red}{p}}{2} \pm\sqrt{\left(\frac{\textcolor{red}{p}}{2}\right)^2-\textcolor{teal}{q}}\]

Rechne deine Gleichung anhand der p-q-Formel aus.

    \begin{align*} x^{2} + \textcolor{red}{4} x \textcolor{teal}{-100} &= 0 \\ x_{1, 2} &= - \frac{\textcolor{red}{4}}{2} \pm\sqrt{\left(\frac{\textcolor{red}{4}}{2}\right)^2-(\textcolor{teal}{-100})} \\ x_{1, 2} &=  2 \pm 10,2 \end{align*}

x1 = 8,2           x2 = -12,2

Und schon kannst du x auch bei mehreren Logarithmen aus dem log auflösen!

Merke dir für mehrere Logarithmen:
  1. das 1. Logarithmusgesetz anwenden
  2. den Logarithmus in eine Potenz umwandeln
  3. pq-Formel anwenden

Logarithmusgesetze

Möchtest du wissen, welche Logarithmusgesetze es noch gibt? Dann schau sie dir in diesem Video an!

Zum Video: Logarithmusgesetze
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