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Ableitung 1/x

Wichtige Inhalte in diesem Video

Ableitung 1/x berechnen

Höhere Ableitungen von 1/x

Allgemeine Regel

Ableitungen können manchmal ganz schön kompliziert sein. Wie du die Ableitung von 1/x aber ganz schnell berechnest, erfährst du im Video und hier!

Inhaltsübersicht

Ableitung 1/x berechnen

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Wenn du die Funktion $f(x)=\frac{1}{x}$ gegeben hast, dann ist die Ableitung der Funktion 1/x:

$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$

Auf die Lösung kommst du dabei mit diesem Rechenweg:

Schritt 1 – Funktion umformen: Zuerst kannst du 1/x umschreiben. Das ist nämlich nichts anderes als x^-1. Damit kannst du jetzt leichter ableiten.

Schritt 2 – Funktion ableiten: Die allgemeine Regel für das Ableiten lautet wie folgt:

$f(x)=x^a \quad\quad\quad f'(x)=a \cdot x^{a-1}$

Die Regel kannst du jetzt auch auf x^-1 anwenden. Du schreibst also die -1 vor das x. Danach ziehst du vom Exponenten noch 1 ab:

$f(x)=x^{-1} \quad\quad\quad f'(x)=(-1) \cdot x^{-1-1}=-x^{-2}$

Schritt 3 – Funktion mit Bruch schreiben: Wenn du die Ableitung von 1/x dann wieder als Bruch schreibst, kommst du auf:

$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$

Und schon hast du die Ableitung von 1/x!

Höhere Ableitungen von 1/x

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Jetzt kannst du dir als nächstes höhere Ableitungen von 1/x ansehen. Schau dir mal die zweite Ableitung an. Dafür musst du $f'(x)&=-\frac{1}{x^2}$ nochmal ableiten:

Schritt 1 – Funktion umformen: Schreibe auch hier die Funktion zunächst ohne Bruch:

f'(x) = -x^-2

Schritt 2 – Funktion ableiten: Dann schiebst du den Exponenten wieder davor und ziehst vom Exponenten 1 ab:

$f''(x)=-(-2) \cdot x^{-2-1}=2 \cdot x^{-3}=\frac{2}{x^3}$

Schritt 3 – Funktion mit Bruch schreiben: Schließlich kannst du die Formel wieder umschreiben.

$f''(x)=2 \cdot x^{-3}=\frac{2}{x^3}$

Damit hast du die zweite Ableitung von 1/x. Auch weitere Ableitungen kannst du mit denselben Regeln berechnen.

Allgemeine Regel

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Es kann vorkommen, dass du nicht einfach nur 1 durch x ableiten musst. Es können auch andere Zahlen oben im Zähler des Bruchs stehen. Der Rechenweg bleibt dabei allerdings gleich.

Merke: Allgemein kannst du dir daher die Formel $f(x)=\frac{a}{x}$ merken.

Die kannst du immer in $f(x)=a \cdot x^{-1}$ umformen und dann ableiten. Du ersetzt a dann durch die Zahl oder den Term, der bei dir oben im Zähler steht.

$\begin{split}f(x)&=\frac{17}{x}=17 \cdot x^{-1} \\ f'(x)&=-1 \cdot 17 \cdot x^{-1-1}=-17 \cdot x^{-2}=-\frac{17}{x^2}\end{split}$$

Zusammenfassung

Ableitung 1/x — das Wichtigste

Die Ableitung von 1 durch x ist −1/x².
Das berechnest du, indem du 1/x umschreibst zu x^-1.
Davon bildest du die Ableitung, indem du den Exponenten vor das x ziehst und oben minus 1 rechnest.
Heraus kommt −1x^-2, was umgeformt −1/x² ist.

Neben der Ableitung 1/x können dir noch weitere Funktionen über den Weg laufen, die nicht ganz so einfach abzuleiten sind. Die Ableitung bestimmter Funktionen zeigen wir dir hier .

Zum Video: Ableitung bestimmter Funktionen

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