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Wurzel ableiten einfach erklärt

Wie du die Wurzel ableitest und welche Regeln du dabei beachten musst, erklären wir dir hier im Beitrag Schritt für Schritt an Beispielen!

Inhaltsübersicht

Wurzel ableiten — einfach erklärt

Um eine Wurzel $\sqrt{x}$ abzuleiten, formst du die Wurzel in eine Potenz um. Sieh dir das am besten an dem Beispiel $f(x) = \sqrt[2]{x}$ einmal an:

$f(x) = \sqrt[\textcolor{blue}2]{x} = x^\frac{1}{\textcolor{blue}2}$

Danach leitest du die Funktion mit der Potenzregel ab.

$f'(x) = \textcolor{red}n \cdot x^{\textcolor{red}n-1} = \textcolor{red}{\frac{1}{2}} \cdot x^{\textcolor{red}{\frac{1}{2} }- 1} = \frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}}$

Einen negativen Exponenten kannst du in einen Bruch umwandeln:

$\begin{align*} f'(x) &= \frac{1 }{2}\cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}\\ &\\ &=\frac{1}{2\cdot x^{\frac{1}{2}}}\\ &\\ & = \frac{1}{2\sqrt{x}} \end{align*}$

Merke: Indem du die Wurzel in eine Potenz umwandelst, wendest du die Potenzregel an. Diese Regel benutzt du allerdings nur, wenn du eine Wurzel aus x ziehst. Steht unter der Wurzel eine komplexere Funktion, brauchst du die Kettenregel für die Ableitung.

Ableitung einfacher Wurzel

Für die Ableitung einer einfachen Wurzelfunktion kannst du also immer die Potenzregel benutzen. Dabei gehst du in folgenden drei Schritten vor:

Schritt 1: Schreibe zuerst die n-te Wurzel mit Hilfe der Potenzregel als Potenz um.

$f(x)=\sqrt[\textcolor{blue}{n}]{x}\quad\underrightarrow{in ~Potenz~ umwandeln}\quad f(x) =x^{\frac{1}{\textcolor{blue}{n}}}$

Schritt 2: Leite die Funktion ab. Das machst du, indem du f(x) mit n multiplizierst und den Exponenten um 1 verringerst.

$f(x) =x^{\frac{1}{n}}}$

$f'(x) = n \cdot x^{n-1}$

Schritt 3: Forme die Funktion bei Bedarf um. Wenn du mit der Funktion noch weiterrechnest, eignet sich manchmal eine andere Schreibweise besser.

$f'(x) = n \cdot x^{n-1} = n \cdot \frac{1}{x^{n-1}}$

Beispiel — Wurzel ableiten

Sie dir als weiteres Beispiel die Ableitung von $f(x) = \sqrt[3]{x}$ an.

Schritt 1: Wurzel in Potenz umwandeln

$f(x) = \sqrt[\textcolor{olive}{3}]{x} = x^{\frac{1}{\textcolor{olive}{3}}}$

Schritt 2: Potenzfunktion ableiten

$f'(x) = n \cdot x^{n-1}$

$f'(x) = \frac{1}{3} \cdot x^{\frac{1}{3} - 1}$

Schritt 3: Umformen

$\begin{align*} f'(x) &= \frac{1}{3} \cdot x^{\frac{1}{3} - 1}\\ & = \frac{1}{3} \cdot x^{-\frac{2}{3}}\\ &= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}\\ &= \frac{1}{3x^{\frac{2}{3}}}\\ & = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} \end{align*}$

Klasse! Eine einfache Wurzel kannst du schon mal ableiten. Wenn unter der Wurzel mehr als nur x steht, brauchst du neben der Potenzregel die Kettenregel. Schauen wir uns das Vorgehen einmal genauer an.

Ableitung einer Wurzelfunktion

Um die Kettenregel anzuwenden, teilst du die Funktion in eine äußere Funktion und eine innere Funktion. Die Wurzel ist dabei die äußere Funktion und der Inhalt der Wurzel die innere Funktion.

Zum Beispiel möchtest du Wurzelfunktion $f(x) = \sqrt{4x^2 + 8}$ ableiten. Die Wurzel $\sqrt$ ist die äußere Funktion und ${4x^2 + 8}$ die innere Funktion. Jetzt gehst du wie folgt vor:

Schritt 1: Leite die beiden Funktionen jeweils ab. Die innere Funktion leitest du dabei mit der Summenregel ab.
$f(x) =\textcolor{blue} {\sqrt{\textcolor{orange}{4x^2 + 8}}}$

$\textcolor{orange}{v(x)=4x^2+8}$

$v'(x) = 8x$

Bei der äußeren Funktion leitest du die Wurzel ab.

$\textcolor{blue}{u(v) = \sqrt{v}}$

$u'(v) = \frac{1}{2\sqrt{v}}$

Schritt 2: Multipliziere die Ableitungen miteinander. Setze dabei die innere Funktion wieder in die Wurzel ein.

$f'(x)=v'(x)\cdot u'(v)$

$f'(x) = 8x\cdot \frac{1}{2\sqrt{4x^2 + 8}}$

Schritt 3: Forme die Ableitungsfunktion um. Verrechne dafür die 8x mit dem Bruch. Danach kannst du im Nenner unter der Wurzel die 4 ausklammern und die Klammer auflösen. Zum Schluss kürzt du die 2 vor der Wurzel mit dem Zähler.
$f'(x) = \frac{4x}{\sqrt{4(x^2 + 2)}}$

$= \frac{4x}{2\sqrt{x^2 + 2}}$

$= \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 2}}$

ln ableiten

Super! Jetzt weißt du, wie du eine Wurzel ableitest. Du kannst auch andere Funktionen, wie beispielsweise den natürlichen Logarithmus ableiten. Wie du den ln ableitest, erklären wir dir Schritt für Schritt in diesem Video!

Zum Video: Ln ableiten

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