In diesem Artikel zeigen wir dir, wie du die Ableitung Sinus bestimmst und in welchem Zusammenhang sie mit dem Cosinus steht. Dafür wiederholen wir nochmal kurz die Kettenregel und zeigen dir viele Beispiele.
Du möchtest schnell verstehen, wie du jeden Sinus ableiten kannst? Kein Problem. Schau dir einfach unser Video dazu an.
Ableitung Sinus einfach erklärt
Die Ableitung des Sinus ist sehr einfach, sie ist einfach der Cosinus:
Am besten du prägst dir diese Ableitung von sin(x) sehr gut ein.
Sinus Ableitung mit Kettenregel
Wenn du anstatt nur x einen komplizierteren Ausdruck im Sinus stehen hast, wie zum Beispiel bei , benötigst du die Kettenregel
, um die sin Ableitung zu bestimmen.
Dafür identifizierst du die innere Funktion und die äußere Funktion
der verketteten Funktion:
Im Anschluss daran bestimmst du deren Ableitungen und
und setzt sie zusammen mit
in die Formel der Kettenregel ein
Dieses Vorgehen wollen wir nun anhand zweier Beispiele einüben.
Beispiel 1
Möchtest du also die Funktion
ableiten, bestimmst du zunächst die
- innere Funktion h(x) und Ableitung h'(x):
- äußere Funktion g(x) und Ableitung g'(x):
Dabei hast du für die innere Ableitung die Potenz- und Faktorregel verwendet.
Als nächstes setzt du die Ableitungen und
zusammen mit
in die Formel der Kettenregel ein. Das liefert dir als Ergebnis:
Beispiel 2
Um das Vorgehen noch etwas zu vertiefen, betrachten wir ein weiteres Beispiel zur Ableitung von Sinus, hierfür diene die folgende Funktion
Für die Ableitung bestimmst du erneut die
- innere Funktion h(x) und Ableitung h'(x):
- äußere Funktion g(x) und Ableitung g'(x):
Nun setzt du deine Ergebnisse in die Formel der Kettenregel ein und erhältst damit die Ableitung
Im Folgenden sehen wir uns den Zusammenhang zwischen der Sinus Ableitung und dem Cosinus an.
Ableitung Sinus Cosinus
Die Ableitung von cos(x) entspricht dem negativen sin(x):
Leitest du nun erneut ab, erhältst du
. Führst du dieses sin cos Ableiten fort, bekommst du nach insgesamt viermaligem Ableiten wieder die anfängliche Funktion sin(x):
Wie du siehst, ist die Sinus Cosinus Ableitung nicht besonders schwer. Du musst lediglich aufpassen, dass du die Ableitungen nicht verwechselst.
Ableitung Sinus Beispiele
Nun kann es natürlich auch sein, das du, anders als beim Ableiten, neben der Kettenregel und der Potenz- und Faktorregel, noch weitere Ableitungsregeln benötigst. In der folgenden Tabelle sind einige solcher Beispiele in Kombination mit Ableitung Sinus.
Ableitungsregel | Funktion | Ableitung |
Summenregel |
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Differenzregel |
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Produktregel |
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Quotientenregel |
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Faktorregel |
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Potenzregel |
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Weitere Funktionen und Ableitungen
Genauso gut wie die Ableitung von sin x, solltest du dir auch die Ableitungen der folgenden Funktionen einprägen.
Funktion | Ableitung | |
Ableitung Cosinus | ![]() |
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Ableitung Tangens | ![]() |
![]() |
Wurzel ableiten | ![]() |
![]() |
ln ableiten | ![]() |
![]() |
e Funktion ableiten | ![]() |
![]() |
Ableitung Sinus Herleitung
Anstatt dir die Ableitung der Sinusfunktion zu merken, kannst du sie dir auch herleiten, wenn du sin ableiten möchtest.
Dafür kannst du die h-Methode zur Darstellung der Ableitung nutzen:
Wendest du nun das Additionstheorem
an, kannst du den Bruch im Zähler folgendermaßen umschreiben:
Jetzt klammerst du aus und erhältst
Als nächstes spaltest du den Bruch in zwei Brüche auf und betrachtest damit zwei separate Grenzwerte.
Da und
nicht von der Variable
abhängen, kannst du sie jeweils aus dem Grenzwert ziehen:
Nun hast du beim Erreichen der Grenze zweimal den unbestimmten Ausdruck
Denn
und
In so einem Fall kannst du die Regel von l’Hospital anwenden, um die Grenzwerte zu berechnen. Sie sagt aus, dass
und liefert dir damit:
Setzt du nun die berechneten Grenzwerte in die Funktion ein, bekommst du schließlich als Ergebnis:
Damit hast du dir die Ableitung Sinus hergeleitet.