Wurzel ableiten
In diesem Artikel erklären wir dir, wie du die Wurzel ableiten kannst. Dabei gehen wir auf die Kettenregel ein und zeigen dir viele Beispiele, in denen wir Wurzeln ableiten.
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Wurzel ableiten einfach erklärt
Um eine Wurzelfunktion ableiten zu können, musst du sie zunächst einmal als Potenz umschreiben. Das ist möglich, denn:
Jede Wurzel kann als Exponent dargestellt werden:
Ist das getan, kannst du die Ableitung Wurzel x einfach mit der Potenzregel bestimmen:
Für erhältst du die Quadratwurzel. Die Zwei vorne auf der Wurzel wird dabei immer weggelassen. Dementsprechend gilt:
Denn .
Wurzeln ableiten mit Kettenregel
Aufwändiger wird es, wenn du nicht einfach nur Wurzel x ableiten sollst, sondern für x ein komplizierterer Ausdruck unter der Wurzel steht, wie beispielsweise bei .
In diesem Fall bist du gezwungen die Kettenregel
anzuwenden, um die Wurzel ableiten zu können. Dafür musst du die innere Funktion und äußere Funktion
der verketteten Funktion
identifizieren. Anschließend bestimmst du deren Ableitungen und
und setzt sie zusammen mit
in die Formel der Kettenregel ein
Beispiel 1
Um die Wurzel für die obere Funktion
berechnen zu können, bestimmst du daher:
- die innere Funktion h(x) und Ableitung h'(x):
- die äußere Funktion g(x) und Ableitung g'(x):
Dabei hast du die Potenz- und die Faktorregel angewandt.
Nun setzt du deine Ergebnisse in die Formel der Kettenregel ein und erhältst
Beispiel 2
Sehen wir uns ein weiteres Beispiel für die Ableitung einer Wurzel an:
Um diese 3. Wurzel ableiten zu können, musst du sie als erstes folgendermaßen umschreiben:
Danach bestimmst du:
- innere Funktion h(x) und Ableitung h'(x):
- äußere Funktion g(x) und Ableitung g'(x):
Schließlich liefert dir ,
und
in die Formel der Kettenregel eingesetzt:
Nun kannst du noch den Exponent wieder als Wurzel darstellen und erhältst damit:
Ableitung Wurzel
Bisher haben wir beim Wurzel Ableiten neben der Kettenregel nur die Potenz- und die Faktorregel angewandt. Bei den folgenden Beispielen musst du, um die Funktion mit der Wurzel ableiten zu können, noch weitere Ableitungsregeln anwenden.
Ableitungsregel | Funktion | Ableitung |
Summenregel |
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Differenzregel |
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Produktregel |
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Quotientenregel |
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Faktorregel |
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Potenzregel |
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Weitere Funktionen und ihre Ableitungen
Die Ableitungen der folgenden Funktionen solltest du ebenfalls kennen und anwenden können.
Funktion | Ableitung | |
e Funktion ableiten | ![]() |
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Ableitung Cosinus | ![]() |
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Ableitung Sinus | ![]() |
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Ableitung Tangens | ![]() |
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ln ableiten | ![]() |
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