Analysis
Ableitung von Funktionen
 – Video

Du möchtest die e Funktion ableiten? Wenn du eine Exponentialfunktion wie e^x ableiten möchtest, brauchst du die Kettenregel und andere Ableitungsregeln. Wie das funktioniert, zeigen wir dir in diesem Beitrag und dem Video.

E Funktion ableiten einfach erklärt

Die Ableitung der e Funktion ist die e Funktion selbst.

Ableitung e Funktion

f(x) = ex → f'(x) = ex

Das kannst du dir leicht merken. Schwieriger wird es erst, wenn du e Funktionen ableiten möchtest, die in ihrem Exponenten kompliziertere Ausdrücke als nur x stehen haben.

In so einem Fall musst du die Kettenregel  anwenden, um die e-Funktion ableiten zu können. Dafür bestimmst du die innere Funktion h(x) und äußere Funktion g(x), berechnest deren Ableitungen h'(x) und g'(x) und setzt sie anschließend in die Formel der Kettenregel

f'(x) = g'(h(x))h'(x)

ein. Die innere Funktion ist dabei in der Regel der Exponent und die äußere Funktion ist eine e Funktion.

Kettenregel e Funktion ableiten

Sehen wir uns ein paar Beispiele für kompliziertere Ableitungen von e hoch x an:

Beispiel 1

f(x) = \textcolor{red}{2e}^{\textcolor{blue}{5x^2}}

In diesem Fall lautet die

  • innere Funktion h und Ableitung h‘:

h(x) = 5x2h'(x) = 10x

  • äußere Funktion g und Ableitung g‘

g(x) = 2exg'(x) = 2ex

Zur Bestimmung der inneren Ableitung musstest du die Potenz- und Faktorregel  anwenden.

Setzt du die Funktionen in die Formel der Kettenregel ein, erhältst du schließlich

    \begin{align*} f'(x) &= \textcolor{red}{g'(}\textcolor{blue}{h(x)} \textcolor{red}{)} \cdot \textcolor{blue}{h'(x)} \\ &=\textcolor{red}{2e}^{\textcolor{blue}{{5x^2}}} \cdot \textcolor{blue}{10x}\\ &=20x \cdot e^{5x^2}  \end{align*}

Beispiel 2

Sehen wir uns ein weiteres Beispiel zum e Funktion Ableiten an:

f(x)=\textcolor{red}{e}^{\textcolor{blue}{3x^2+2}}

In diesem Beispiel erhältst du als

  • innere Funktion h und Ableitung h‘

h(x) = 3x2 + 2 h'(x) = 6x

  • äußere Funktion g und Ableitung g‘

g(x) = ex  g'(x) = ex

Diese Ergebnisse in die Formel für die Kettenregel eingesetzt, liefert dir schließlich

f'(x) = g'(h(x))h'(x) = \textcolor{red}{e}^{\textcolor{blue}{3x^2+2}}6x

E Funktion ableiten Aufgaben

Neben der Kettenregel kann es auch sein, dass du zum Bestimmen der Ableitung einer e Funktion noch weitere Ableitungsregeln benötigst. Im Folgenden stellen wir dir ein paar solcher Beispiele beziehungsweise Aufgabentypen vor, in denen du die e Funktion ableiten musst:

Ableitungsregel Funktion Ableitung
Summenregel f(x) = g(x)+h(x)

 

f(x) = e3x + ex

f'(x) = g'(x)+h'(x)

 

f'(x) = e3x • 3 + ex

Differenzregel f(x) = g(x) – h(x)

 

f(x) = e^x-e^{x^2}

f'(x) = g'(x) – h'(x)

 

f'(x) = e^x-e^{x^2}\cdot 2x

Produktregel f(x) = g(x) • h(x)

 

f(x) = e-x • 3x2

f'(x) = g'(x) • h(x) + g(x) • h'(x)

 

f'(x) = -e-x • 3x2 + e-x • 6x

Quotientenregel f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}

 

f(x) = \frac{e^x}{x^2+1}

f'(x) = \frac{g'(x)\cdot h(x)-g(x)\cdot h'(x)}{[h(x)]^2}

 

f'(x) = \frac{e^x\cdot (x^2+1)-e^x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}

Faktorregel f(x) = a • g(x)

 

f(x) = 4 • ex

f'(x) = a • g'(x)

 

f'(x) = 4 • ex

Potenzregel f(x) = xn

 

f(x) =({e^x})^4

f'(x) = n • xn-1

 

f'(x) = 4 • ({e^x})^3

Weitere Funktionen und ihre Ableitungen

Die Ableitungen der folgenden Funktionen solltest du ebenfalls auswendig wissen und anwenden können:

  Funktion Ableitung
Wurzel ableiten f(x) = \sqrt{x} f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}
Ableitung Cosinus f(x) = cos(x) f'(x) = sin(x)
Ableitung Sinus f(x) = sin(x) f'(x) = cos(x)
Ableitung Tangens f(x) = tan(x) f'(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}
ln ableiten f(x) = ln(x) f'(x) = \frac{1}{x}

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